En matemáticas , las funciones antiholomórficas (también llamadas funciones antianalíticas [1] ) son una familia de funciones estrechamente relacionadas pero distintas de las funciones holomorfas .
Se dice que una función de la variable compleja z definida en un conjunto abierto en el plano complejo es antiholomórfica si su derivada con respecto a z existe en la vecindad de todos y cada uno de los puntos de ese conjunto, donde z es el conjugado complejo .
A continuación se presenta una definición de función antiholomórfica: [1]
"[una] función de una o más variables complejas [se dice que es antiholomórfica si (y sólo si) es el conjugado complejo de una función holomorfa ".
Se puede demostrar que si f ( z ) es una función holomorfa en un conjunto abierto D , entonces f ( z ) es una función antiholomórfica en D , donde D es la reflexión contra el eje x de D , o en otras palabras, D es el conjunto de conjugados complejos de elementos de D . Además, de esta manera se puede obtener cualquier función antiholomórfica a partir de una función holomorfa. Esto implica que una función es antiholomórfica si y sólo si puede expandirse en una serie de potencias en z en una vecindad de cada punto de su dominio. Además , una función f ( z ) es antiholomórfica en un conjunto abierto D si y solo si la función f ( z ) es holomorfa en D.
Si una función es a la vez holomorfa y antiholomórfica, entonces es constante en cualquier componente conexo de su dominio.
