Generalizaciones de la derivada.

Construcción fundamental del cálculo diferencial.

En matemáticas , la derivada es una construcción fundamental del cálculo diferencial y admite muchas generalizaciones posibles dentro de los campos del análisis matemático , la combinatoria , el álgebra , la geometría , etc.

derivado de frechet

La derivada de Fréchet define la derivada para espacios vectoriales normados generales . Brevemente, una función , un subconjunto abierto de , se llama diferenciable de Fréchet en si existe un operador lineal acotado tal que ${\displaystyle V,W}$ ${\displaystyle f:U\to W}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle A:V\to W}$

$${\displaystyle \lim _{\|h\|\to 0}{\frac {\|f(x+h)-f(x)-Ah\|_{W}}{\|h\|_{V}}}=0.}$$

Las funciones se definen como diferenciables en alguna vecindad abierta de , en lugar de en puntos individuales, ya que no hacerlo tiende a conducir a muchos contraejemplos patológicos . ${\displaystyle x}$

La derivada de Fréchet es bastante similar a la fórmula de la derivada que se encuentra en el cálculo elemental de una variable,

$${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=A,}$$

AA ${\displaystyle t\mapsto f'(x)\cdot t}$

En cálculo multivariable , en el contexto de ecuaciones diferenciales definidas por una función vectorial R ⁿ a R ^m , la derivada de Fréchet A es un operador lineal en R considerado como un espacio vectorial sobre sí mismo, y corresponde a la mejor aproximación lineal de una función. . Si tal operador existe, entonces es único y puede representarse mediante una matriz m por n conocida como matriz jacobiana J _x (ƒ) del mapeo ƒ en el punto x . Cada entrada de esta matriz representa una derivada parcial , que especifica la tasa de cambio de una coordenada de rango con respecto a un cambio en una coordenada de dominio. Por supuesto, la matriz jacobiana de composición g _° f es un producto de las matrices jacobianas correspondientes: J _x ( g _° f ) =J _{ƒ( x )} ( g )J _x (ƒ). Esta es una declaración de dimensiones superiores de la regla de la cadena .

Para funciones con valores reales de R ⁿ a R ( campos escalares ), la derivada de Fréchet corresponde a un campo vectorial llamado derivada total . Esto puede interpretarse como el gradiente , pero es más natural utilizar la derivada exterior .

La derivada convectiva tiene en cuenta los cambios debidos a la dependencia del tiempo y al movimiento en el espacio a lo largo de un campo vectorial, y es un caso especial de la derivada total.

Para funciones con valores vectoriales de R a R ⁿ (es decir, curvas paramétricas ), la derivada de Fréchet corresponde a tomar la derivada de cada componente por separado. La derivada resultante se puede asignar a un vector. Esto es útil, por ejemplo, si la función con valores vectoriales es el vector de posición de una partícula a través del tiempo, entonces la derivada es el vector de velocidad de la partícula a través del tiempo.

En el análisis complejo , los objetos centrales de estudio son las funciones holomorfas , que son funciones de valores complejos en los números complejos donde existe la derivada de Fréchet.

En cálculo geométrico , la derivada geométrica satisface una forma más débil de la regla (producto) de Leibniz. Especializa la derivada de Fréchet a los objetos del álgebra geométrica. El cálculo geométrico es un formalismo poderoso que se ha demostrado que abarca marcos similares de formas diferenciales y geometría diferencial. ^[1]

Derivada exterior y derivada de mentira

En el álgebra exterior de formas diferenciales sobre una variedad suave , la derivada exterior es el único mapa lineal que satisface una versión graduada de la ley de Leibniz y eleva al cuadrado a cero. Es una derivación de grado 1 en álgebra exterior. En R ³ , el gradiente , la curvatura y la divergencia son casos especiales de la derivada exterior. Una interpretación intuitiva del gradiente es que apunta "hacia arriba": en otras palabras, apunta en la dirección del aumento más rápido de la función. Se puede utilizar para calcular derivadas direccionales de funciones escalares o direcciones normales. La divergencia da una medida de cuánta "fuente" o "sumidero" hay cerca de un punto. Se puede utilizar para calcular el flujo mediante el teorema de divergencia . Curl mide cuánta " rotación " tiene un campo vectorial cerca de un punto.

La derivada de Lie es la tasa de cambio de un campo vectorial o tensorial a lo largo del flujo de otro campo vectorial. En campos vectoriales, es un ejemplo de corchete de Lie (los campos vectoriales forman el álgebra de Lie del grupo de difeomorfismo de la variedad). Es una derivación de grado 0 en álgebra.

Junto con el producto interior (una derivación de grado -1 en el álgebra exterior definida por contracción con un campo vectorial), la derivada exterior y la derivada de Lie forman una superálgebra de Lie .

Topología diferencial

En topología diferencial , un campo vectorial puede definirse como una derivación en el anillo de funciones suaves en una variedad , y un vector tangente puede definirse como una derivación en un punto. Esto permite la abstracción de la noción de derivada direccional de una función escalar a variedades generales. Para variedades que son subconjuntos de R ⁿ , este vector tangente concordará con la derivada direccional .

El diferencial o avance de un mapa entre variedades es el mapa inducido entre espacios tangentes de esos mapas. Abstrae la matriz jacobiana .

Derivada covariante

En geometría diferencial , la derivada covariante opta por tomar derivadas direccionales de campos vectoriales a lo largo de curvas . Esto extiende la derivada direccional de funciones escalares a secciones de paquetes de vectores o paquetes principales . En la geometría de Riemann , la existencia de una métrica elige una única derivada covariante libre de torsión preferida , conocida como conexión de Levi-Civita . Véase también derivada covariante de calibre para un tratamiento orientado a la física.

La derivada covariante exterior extiende la derivada exterior a formas con valores vectoriales.

Derivados débiles

Dada una función que es localmente integrable , pero no necesariamente diferenciable clásicamente, una derivada débil puede definirse mediante integración por partes . Primero defina funciones de prueba, que son funciones infinitamente diferenciables y con soporte compacto , y índices múltiples , que son listas de longitud de números enteros con . Aplicado a funciones de prueba, . Entonces la derivada débil de existe si existe una función tal que para todas las funciones de prueba , tenemos ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$ ${\textstyle |\alpha |:=\sum _{1}^{n}\alpha _{i}}$ ${\textstyle D^{\alpha }\varphi :={\frac {\partial ^{|\alpha |}\varphi }{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dotsm x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$ ${\textstyle \alpha ^{\text{th}}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}u\ D^{\alpha }\!\varphi \ dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\mathbb {R} ^{n}}v\ \varphi \ dx}$

Si existe tal función, entonces , que es única en casi todas partes . Esta definición coincide con la derivada clásica de funciones , y puede extenderse a un tipo de funciones generalizadas llamadas distribuciones , el espacio dual de funciones de prueba. Las derivadas débiles son particularmente útiles en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales y en partes del análisis funcional. ${\displaystyle D^{\alpha }u:=v}$ ${\displaystyle u\in C^{|\alpha |}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$

Derivadas fraccionarias y de orden superior

En los números reales se puede iterar el proceso de diferenciación, es decir, aplicar derivadas más de una vez, obteniendo derivadas de segundo y superior orden. También se pueden definir derivadas superiores para funciones de varias variables, estudiadas en cálculo multivariable . En este caso, en lugar de aplicar repetidamente la derivada, se aplican repetidamente derivadas parciales con respecto a diferentes variables. Por ejemplo, las derivadas parciales de segundo orden de una función escalar de n variables se pueden organizar en una matriz de n por n , la matriz de Hesse . Uno de los puntos sutiles es que las derivadas superiores no están intrínsecamente definidas y dependen de la elección de las coordenadas de manera complicada (en particular, la matriz de Hesse de una función no es un tensor ). Sin embargo, las derivadas superiores tienen aplicaciones importantes para el análisis de los extremos locales de una función en sus puntos críticos . Para una aplicación avanzada de este análisis a la topología de variedades , consulte la teoría de Morse .

Además de las n  -ésimas derivadas para cualquier número natural n , existen varias formas de definir derivadas de orden fraccionario o negativo, que se estudian en cálculo fraccionario . La derivada de orden −1 corresponde a la integral, de ahí el término difintegral .

Derivados cuaterniónicos

En el análisis cuaterniónico , las derivadas se pueden definir de forma similar a las funciones reales y complejas. Dado que los cuaterniones no son conmutativos, el límite del cociente de diferencias produce dos derivadas diferentes: Una derivada izquierda ${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left[h^{-1}\left(f(a+h)-f(a)\right)\right]}$

y una derivada derecha

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left[\left(f(a+h)-f(a)\right)h^{-1}\right].}$

La existencia de estos límites son condiciones muy restrictivas. Por ejemplo, si tiene derivadas izquierdas en cada punto de un conjunto abierto y conectado , entonces para . ${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {H} }$ ${\displaystyle U\subset \mathbb {H} }$ ${\displaystyle f(q)=a+qb}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {H} }$

Operador de diferencia, análogos q y escalas de tiempo.

• La derivada q de una función está definida por la fórmula
  $${\displaystyle D_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.}$$
  Para x distinto de cero, si f es una función diferenciable de x entonces en el límite cuando q → 1 obtenemos la derivada ordinaria, por lo tanto, la derivada q puede verse como su deformación q . Una gran cantidad de resultados del cálculo diferencial ordinario, como la fórmula binomial y la expansión de Taylor , tienen análogos q naturales que se descubrieron en el siglo XIX, pero que permanecieron relativamente oscuros durante gran parte del siglo XX, fuera de la teoría de las matemáticas especiales . funciones . El progreso de la combinatoria y el descubrimiento de grupos cuánticos han cambiado drásticamente la situación y la popularidad de los análogos q va en aumento.
• El operador diferencia de las ecuaciones en diferencias es otro análogo discreto de la derivada estándar.
  $${\displaystyle \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)}$$
• La derivada q, el operador de diferencia y la derivada estándar pueden verse como la misma cosa en diferentes escalas de tiempo . Por ejemplo, tomando , podemos tener ${\displaystyle \varepsilon =(q-1)x}$
  $${\displaystyle {\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}={\frac {f(x+\varepsilon )-f(x)}{\varepsilon }}.}$$
  La derivada q es un caso especial de la diferencia de Hahn , ^[2]
  $${\displaystyle {\frac {f(qx+\omega )-f(x)}{qx+\omega -x}}.}$$
  La diferencia de Hahn no es sólo una generalización de la derivada q sino también una extensión de la diferencia directa.
• Tenga en cuenta también que la derivada q no es más que un caso especial de la conocida derivada. Llevar . Entonces nosotros tenemos, ${\displaystyle z=qx}$
  $${\displaystyle \lim _{z\to x}{\frac {f(z)-f(x)}{z-x}}=\lim _{q\to 1}{\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}=\lim _{q\to 1}{\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.}$$

Derivadas en álgebra

En álgebra, las generalizaciones de la derivada se pueden obtener imponiendo la regla de diferenciación de Leibniz en una estructura algebraica, como un anillo o un álgebra de Lie .

Derivaciones

Una derivación es una aplicación lineal en un anillo o álgebra que satisface la ley de Leibniz (la regla del producto). También se pueden definir derivadas superiores y operadores diferenciales algebraicos . Se estudian en un entorno puramente algebraico en la teoría diferencial de Galois y la teoría de los módulos D , pero también aparecen en muchas otras áreas, donde a menudo concuerdan con definiciones menos algebraicas de derivadas.

Por ejemplo, la derivada formal de un polinomio sobre un anillo conmutativo R está definida por

${\displaystyle \left(a_{d}x^{d}+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\right)'=da_{d}x^{d-1}+(d-1)a_{d-1}x^{d-2}+\cdots +a_{1}.}$

El mapeo es entonces una derivación en el anillo polinómico R [ X ]. Esta definición también se puede extender a funciones racionales . ${\displaystyle f\mapsto f'}$

La noción de derivación se aplica tanto a anillos conmutativos como no conmutativos, e incluso a estructuras algebraicas no asociativas, como las álgebras de Lie.

Derivada de un tipo

En teoría de tipos , muchos tipos de datos abstractos pueden describirse como el álgebra generada por una transformación que mapea estructuras basadas en el tipo nuevamente en el tipo. Por ejemplo, el tipo T de árboles binarios que contienen valores de tipo A se puede representar como el álgebra generada por la transformación 1+A×T ² →T. El "1" representa la construcción de un árbol vacío y el segundo término representa la construcción de un árbol a partir de un valor y dos subárboles. El "+" indica que se puede construir un árbol de cualquier manera.

La derivada de tal tipo es el tipo que describe el contexto de una subestructura particular con respecto a su siguiente estructura contenedora externa. Dicho de otra manera, es el tipo que representa la "diferencia" entre los dos. En el ejemplo del árbol, la derivada es un tipo que describe la información necesaria, dado un subárbol particular, para construir su árbol padre. Esta información es una tupla que contiene un indicador binario de si el hijo está a la izquierda o a la derecha, el valor en el padre y el subárbol hermano. Este tipo se puede representar como 2×A×T, que se parece mucho a la derivada de la transformación que generó el tipo de árbol.

Este concepto de derivado de un tipo tiene aplicaciones prácticas, como la técnica de cremallera utilizada en lenguajes de programación funcionales .

Operadores diferenciales

Un operador diferencial combina varias derivadas, posiblemente de diferentes órdenes, en una expresión algebraica. Esto es especialmente útil al considerar ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con coeficientes constantes. Por ejemplo, si f ( x ) es una función dos veces diferenciable de una variable, la ecuación diferencial se puede reescribir en la forma , donde ${\displaystyle f''+2f'-3f=4x-1}$ ${\displaystyle L(f)=4x-1}$

$${\displaystyle L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+2{\frac {d}{dx}}-3}$$

operador diferencial de coeficiente constante lineal de segundo ordenxcombinación linealx − 1, por analogía con la integración

$${\displaystyle f(x)=L^{-1}(4x-1).}$$

La combinación de derivadas de diferentes variables da como resultado la noción de operador diferencial parcial . El operador lineal que asigna a cada función su derivada es un ejemplo de operador diferencial en un espacio funcional . Mediante la transformada de Fourier se pueden definir operadores pseudodiferenciales que permiten el cálculo fraccionario.

Algunos de estos operadores son tan importantes que tienen nombres propios:

• El operador de Laplace o laplaciano en R ³ es un operador diferencial parcial de segundo orden Δ dado por la divergencia del gradiente de una función escalar de tres variables, o explícitamente como
  $${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$$
  Se pueden definir operadores análogos para funciones de cualquier número de variables.
• El operador d'alembertiano u onda es similar al laplaciano, pero actúa sobre funciones de cuatro variables. Su definición utiliza el tensor métrico indefinido del espacio de Minkowski , en lugar del producto escalar euclidiano de R ³ :
  $${\displaystyle \square ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}.}$$
• La derivada de Schwarz es un operador diferencial no lineal que describe cómo se aproxima una función compleja mediante un mapa lineal fraccionario , de la misma manera que una derivada normal describe cómo se aproxima una función mediante un mapa lineal.
• Las derivadas de Wirtinger son un conjunto de operadores diferenciales que permiten la construcción de un cálculo diferencial para funciones complejas que es completamente análogo al cálculo diferencial ordinario para funciones de variables reales.

Otras generalizaciones

En análisis funcional , la derivada funcional define la derivada con respecto a una función de un funcional en un espacio de funciones. Esta es una extensión de la derivada direccional a un espacio vectorial de dimensión infinita . Un caso importante es la derivada variacional en el cálculo de variaciones .

La subderivada y el subgradiente son generalizaciones de la derivada a funciones convexas utilizadas en el análisis convexo.

En álgebra conmutativa , los diferenciales de Kähler son derivaciones universales de un anillo o módulo conmutativo . Se pueden utilizar para definir un análogo de la derivada exterior de la geometría diferencial que se aplica a variedades algebraicas arbitrarias , en lugar de simplemente variedades suaves.

En el análisis p-ádico , la definición habitual de derivada no es lo suficientemente sólida y, en su lugar, se requiere una diferenciabilidad estricta .

La derivada de Gateaux extiende la derivada de Fréchet a espacios vectoriales topológicos localmente convexos . La diferenciabilidad de Fréchet es una condición estrictamente más fuerte que la diferenciabilidad de Gateaux, incluso en dimensiones finitas. Entre los dos extremos está la cuasiderivada .

En la teoría de la medida , la derivada de Radon-Nikodym generaliza el jacobiano , utilizado para cambiar variables, a medidas. Expresa una medida μ en términos de otra medida ν (bajo ciertas condiciones).

La derivada H es una noción de derivada en el estudio de los espacios abstractos de Wiener y el cálculo de Malliavin . Se utiliza en el estudio de procesos estocásticos .

Los laplacianos y las ecuaciones diferenciales que utilizan el laplaciano se pueden definir en fractales . No existe un análogo completamente satisfactorio de la derivada o gradiente de primer orden. ^[3]

La derivada de Carlitz es una operación similar a la diferenciación habitual pero con el contexto habitual de números reales o complejos cambiado a campos locales de característica positiva en forma de serie formal de Laurent con coeficientes en algún campo finito F _q (se sabe que cualquier campo local de característica positiva es isomorfa a un campo en serie de Laurent). Junto con análogos adecuadamente definidos de la función exponencial , logaritmos y otros, la derivada se puede utilizar para desarrollar nociones de suavidad, analicidad, integración, series de Taylor y una teoría de ecuaciones diferenciales. ^[4]

Puede ser posible combinar dos o más de las nociones diferentes anteriores de extensión o abstracción del derivado original. Por ejemplo, en geometría de Finsler , se estudian espacios que se parecen localmente a los espacios de Banach . Por lo tanto, uno podría querer una derivada con algunas de las características de una derivada funcional y de la derivada covariante .

El cálculo multiplicativo reemplaza la suma por la multiplicación y, por lo tanto, en lugar de tratar con el límite de una razón de diferencias, trata con el límite de una exponenciación de razones. Esto permite el desarrollo de la derivada geométrica y la derivada bigeométrica. Además, así como el operador diferencial clásico tiene un análogo discreto, el operador de diferencia, también existen análogos discretos de estas derivadas multiplicativas .

Ver también

• Derivada aritmética  : función definida sobre números enteros en teoría de números
• Diferenciación automática  : técnicas para evaluar la derivada de una función especificada por un programa de computadora
• Derivada de Brzozowski  : función definida en lenguajes formales en informática
• Derivada de Dini  - Clase de generalizaciones de la derivada
• Derivada fractal  - Generalización de derivada a fractales
• Derivada de Hasse  – Concepto matemático
• Derivada logarítmica  – Operación matemática en cálculo
• Diferenciación logarítmica  – Método de diferenciación matemática
• Análisis no clásico  - Rama de las matemáticasPages displaying short descriptions of redirect targets
• Diferenciación numérica  : uso del análisis numérico para estimar derivadas de funciones
• Derivada de Pincherle  : tipo de derivada de un operador lineal
• Derivada q  – Análoga Q de la derivada ordinaria
• Semidiferenciabilidad
• Derivada simétrica  - generalización de la derivadaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Derivada topológica

Notas

1. David Hestenes , Garrett Sobczyk: Del álgebra de Clifford al cálculo geométrico, un lenguaje unificado para las matemáticas y la física (Dordrecht/Boston:G.Reidel Publ.Co., 1984, ISBN  90-277-2561-6
2. Hahn, Wolfgang (1949). "Über polinomo ortogonal, die q-Differenzengleichungen genügen". Mathematische Nachrichten . 2 (1–2): 4–34. doi :10.1002/mana.19490020103. ISSN  0025-584X. SEÑOR  0030647.
3. Análisis sobre fractales, Robert S. Strichartz - Artículo en Avisos de la AMS
4. Kochubei, Anatoly N. (2009). Análisis en Característica Positiva . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-50977-0.