Derivado de Pincherle

Tipo de derivada de un operador lineal

En matemáticas , la derivada de Pincherle ^[1] de un operador lineal sobre el espacio vectorial de polinomios en la variable x sobre un cuerpo es el conmutador de con la multiplicación por x en el álgebra de endomorfismos . Es decir, es otro operador lineal . ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle T:\mathbb {K} [x]\to \mathbb {K} [x]}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (\mathbb {K} [x])}$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle T':\mathbb {K} [x]\to \mathbb {K} [x]}$

${\displaystyle T':=[T,x]=Tx-xT=-\operatorname {ad} (x)T,\,}$

(para el origen de la notación, véase el artículo sobre la representación adjunta ) de modo que ${\displaystyle \operatorname {ad} }$

${\displaystyle T'\{p(x)\}=T\{xp(x)\}-xT\{p(x)\}\qquad \forall p(x)\in \mathbb {K} [x].}$

Este concepto debe su nombre al matemático italiano Salvatore Pincherle (1853-1936).

Propiedades

La derivada de Pincherle, como cualquier conmutador , es una derivación , lo que significa que satisface las reglas de suma y productos: dados dos operadores lineales y pertenecientes a ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \operatorname {End} \left(\mathbb {K} [x]\right),}$

1. ${\displaystyle (T+S)^{\prime }=T^{\prime }+S^{\prime }}$;
2. ${\displaystyle (TS)^{\prime }=T^{\prime }\!S+TS^{\prime }}$¿Dónde está la composición de los operadores ? ${\displaystyle TS=T\circ S}$

También se tiene donde está el corchete de Lie habitual , que se desprende de la identidad de Jacobi . ${\displaystyle [T,S]^{\prime }=[T^{\prime },S]+[T,S^{\prime }]}$ ${\displaystyle [T,S]=TS-ST}$

La derivada habitual , D  =  d / dx , es un operador sobre polinomios. Mediante un cálculo sencillo, su derivada de Pincherle es

${\displaystyle D'=\left({d \over {dx}}\right)'=\operatorname {Id} _{\mathbb {K} [x]}=1.}$

Esta fórmula se generaliza a

${\displaystyle (D^{n})'=\left({{d^{n}} \over {dx^{n}}}\right)'=nD^{n-1},}$

por inducción . Esto demuestra que la derivada de Pincherle de un operador diferencial

${\displaystyle \partial =\sum a_{n}{{d^{n}} \over {dx^{n}}}=\sum a_{n}D^{n}}$

también es un operador diferencial, por lo que la derivada de Pincherle es una derivación de . ${\displaystyle \operatorname {Diff} (\mathbb {K} [x])}$

Cuando tiene característica cero, el operador de desplazamiento ${\displaystyle \mathbb {K} }$

${\displaystyle S_{h}(f)(x)=f(x+h)\,}$

se puede escribir como

${\displaystyle S_{h}=\sum _{n\geq 0}{{h^{n}} \over {n!}}D^{n}}$

por la fórmula de Taylor . Su derivada de Pincherle es entonces

${\displaystyle S_{h}'=\sum _{n\geq 1}{{h^{n}} \over {(n-1)!}}D^{n-1}=h\cdot S_{h}.}$

En otras palabras, los operadores de desplazamiento son vectores propios de la derivada de Pincherle, cuyo espectro es todo el espacio de escalares . ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Si T es equivariante al desplazamiento , es decir, si T conmuta con S _h o , entonces también tenemos , por lo que también es equivariante al desplazamiento y para el mismo desplazamiento . ${\displaystyle [T,S_{h}]=0}$ ${\displaystyle [T',S_{h}]=0}$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle h}$

El "operador delta de tiempo discreto"

${\displaystyle (\delta f)(x)={{f(x+h)-f(x)} \over h}}$

es el operador

${\displaystyle \delta ={1 \over h}(S_{h}-1),}$

cuya derivada de Pincherle es el operador de desplazamiento . ${\displaystyle \delta '=S_{h}}$

Véase también

• Conmutador
• Operador delta
• Cálculo umbral

Referencias

1. Rota, Gian-Carlo; Mullin, Ronald (1970). Teoría de grafos y sus aplicaciones . Academic Press. pp. 192. ISBN. 0123268508.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. " Derivada de Pincherle ". De MathWorld—Un recurso web de Wolfram.
• Biografía de Salvatore Pincherle en el archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor .