cálculo geométrico

Cálculo infinitesimal sobre funciones definidas en un álgebra geométrica

En matemáticas , el cálculo geométrico extiende el álgebra geométrica para incluir la diferenciación y la integración . El formalismo es poderoso y se puede demostrar que abarca otras teorías matemáticas, incluido el cálculo vectorial , la geometría diferencial y las formas diferenciales . ^[1]

Diferenciación

Con un álgebra geométrica dada, sean y sean vectores y sea una función multivectorial de un vector. La derivada direccional de a lo largo de at se define como ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle (\nabla _{b}F)(a)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {F(a+\epsilon b)-F(a)}{\epsilon }},}$

siempre que el límite exista para todos , donde el límite se toma para escalar . Esto es similar a la definición habitual de derivada direccional, pero la extiende a funciones que no necesariamente tienen valores escalares. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \epsilon }$

A continuación, elija un conjunto de vectores base y considere los operadores, denominados , que realizan derivadas direccionales en las direcciones de : ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle \partial _{i}:F\mapsto (x\mapsto (\nabla _{e_{i}}F)(x)).}$

Luego, usando la notación de suma de Einstein , considere el operador:

${\displaystyle e^{i}\partial _{i},}$

lo que significa

${\displaystyle F\mapsto e^{i}\partial _{i}F,}$

donde el producto geométrico se aplica después de la derivada direccional. Más detalladamente:

${\displaystyle F\mapsto (x\mapsto e^{i}(\nabla _{e_{i}}F)(x)).}$

Este operador es independiente de la elección del marco y, por lo tanto, puede usarse para definir lo que en cálculo geométrico se llama derivada vectorial :

${\displaystyle \nabla =e^{i}\partial _{i}.}$

Esto es similar a la definición habitual de gradiente , pero también se extiende a funciones que no necesariamente tienen valores escalares.

La derivada direccional es lineal respecto a su dirección, es decir:

${\displaystyle \nabla _{\alpha a+\beta b}=\alpha \nabla _{a}+\beta \nabla _{b}.}$

De esto se deduce que la derivada direccional es el producto interno de su dirección por la derivada vectorial. Lo único que hay que observar es que la dirección se puede escribir de modo que: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=(a\cdot e^{i})e_{i}}$

${\displaystyle \nabla _{a}=\nabla _{(a\cdot e^{i})e_{i}}=(a\cdot e^{i})\nabla _{e_{i}}=a\cdot (e^{i}\nabla _{e_{i}})=a\cdot \nabla .}$

Por este motivo, se suele señalar . ${\displaystyle \nabla _{a}F(x)}$ ${\displaystyle a\cdot \nabla F(x)}$

El orden estándar de operaciones para la derivada vectorial es que actúa sólo sobre la función más cercana a su derecha inmediata. Dadas dos funciones y , entonces, por ejemplo, tenemos ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \nabla FG=(\nabla F)G.}$

Regla del producto

Aunque la derivada parcial exhibe una regla del producto , la derivada vectorial solo hereda parcialmente esta propiedad. Considere dos funciones y : ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (FG)&=e^{i}\partial _{i}(FG)\\&=e^{i}((\partial _{i}F)G+F(\partial _{i}G))\\&=e^{i}(\partial _{i}F)G+e^{i}F(\partial _{i}G).\end{aligned}}}$

Como el producto geométrico no es conmutativo con en general, necesitamos una nueva notación para proceder. Una solución es adoptar la notación de sobrepunto , en la que el alcance de una derivada vectorial con un sobrepunto es la función con valores multivectoriales que comparte el mismo sobrepunto. En este caso, si definimos ${\displaystyle e^{i}F\neq Fe^{i}}$

${\displaystyle {\dot {\nabla }}F{\dot {G}}=e^{i}F(\partial _{i}G),}$

entonces la regla del producto para la derivada del vector es

${\displaystyle \nabla (FG)=\nabla FG+{\dot {\nabla }}F{\dot {G}}.}$

Derivado interior y exterior

Sea un multivector de grado. Luego podemos definir un par adicional de operadores, las derivadas interior y exterior, ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \nabla \cdot F=\langle \nabla F\rangle _{r-1}=e^{i}\cdot \partial _{i}F,}$

${\displaystyle \nabla \wedge F=\langle \nabla F\rangle _{r+1}=e^{i}\wedge \partial _{i}F.}$

En particular, si es grado 1 (función con valores vectoriales), entonces podemos escribir ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \nabla F=\nabla \cdot F+\nabla \wedge F}$

e identificar la divergencia y el rizo como

${\displaystyle \nabla \cdot F=\operatorname {div} F,}$

${\displaystyle \nabla \wedge F=I\,\operatorname {curl} F.}$

A diferencia de la derivada vectorial, ni el operador de la derivada interior ni el operador de la derivada exterior son invertibles.

Derivada multivectorial

La derivada con respecto a un vector como se analizó anteriormente se puede generalizar a una derivada con respecto a un multivector general, llamada derivada multivectorial .

Sea una función multivectorial de un multivector. La derivada direccional de con respecto a en la dirección , donde y son multivectores, se define como ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A*\partial _{X}F(X)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {F(X+\epsilon A)-F(X)}{\epsilon }}\ ,}$

¿Dónde está el producto escalar ? Con una base vectorial y la correspondiente base dual , la derivada multivectorial se define en términos de la derivada direccional como ^[2] ${\displaystyle A*B=\langle AB\rangle }$ ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle \{e^{i}\}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial X}}=\partial _{X}=\sum _{i<\dots <j}e^{i}\wedge \cdots \wedge e^{j}(e_{j}\wedge \cdots \wedge e_{i})*\partial _{X}\ .}$

Esta ecuación simplemente se expresa en términos de componentes en una base recíproca de palas, como se analiza en la sección del artículo Álgebra geométrica#Base dual . ${\displaystyle \partial _{X}}$

Una propiedad clave de la derivada multivectorial es que

${\displaystyle \partial _{X}\langle XA\rangle =P_{X}(A)\ ,}$

¿Dónde está la proyección de sobre las calificaciones contenidas en ? ${\displaystyle P_{X}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

La derivada multivectorial encuentra aplicaciones en la teoría de campos lagrangiana .

Integración

Sea un conjunto de vectores base que abarcan un espacio vectorial -dimensional. Del álgebra geométrica, interpretamos que el pseudoescalar es el volumen con signo del paralelotopo - subtendido por estos vectores base. Si los vectores de base son ortonormales , entonces esta es la unidad pseudoescalar. ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{n}}$ ${\displaystyle n}$

De manera más general, podemos restringirnos a un subconjunto de los vectores base, donde , para tratar la longitud, el área u otro volumen general de un subespacio en el espacio vectorial dimensional general. Denotamos estos vectores base seleccionados por . Un volumen general del paralelotopo subtendido por estos vectores base es el multivector de grado . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}}$

De manera aún más general, podemos considerar un nuevo conjunto de vectores proporcionales a los vectores base, donde cada uno de ellos es un componente que escala uno de los vectores base. Somos libres de elegir componentes tan infinitamente pequeños como queramos, siempre que sigan siendo distintos de cero. Dado que el producto externo de estos términos puede interpretarse como un volumen, una forma natural de definir una medida es ${\displaystyle \{x^{i_{1}}e_{i_{1}},\ldots ,x^{i_{k}}e_{i_{k}}\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \{x^{i_{j}}\}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{k}X&=\left(dx^{i_{1}}e_{i_{1}}\right)\wedge \left(dx^{i_{2}}e_{i_{2}}\right)\wedge \cdots \wedge \left(dx^{i_{k}}e_{i_{k}}\right)\\&=\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.\end{aligned}}}$

Por tanto, la medida es siempre proporcional a la unidad pseudoescalar de un subespacio -dimensional del espacio vectorial. Compare la forma de volumen de Riemann en la teoría de formas diferenciales. La integral se toma con respecto a esta medida: ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \int _{V}F(x)\,d^{k}X=\int _{V}F(x)\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.}$

Más formalmente, consideremos algún volumen dirigido del subespacio. Podemos dividir este volumen en una suma de simples . Sean las coordenadas de los vértices. En cada vértice asignamos una medida como la medida promedio de los simples que comparten el vértice. Entonces la integral de con respecto a este volumen se obtiene en el límite de una partición más fina del volumen en simples más pequeños: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ ${\displaystyle \Delta U_{i}(x)}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle U(x)}$

${\displaystyle \int _{V}F\,dU=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}F(x_{i})\,\Delta U_{i}(x_{i}).}$

Teorema fundamental del cálculo geométrico.

La razón para definir la derivada vectorial y la integral como se indicó anteriormente es que permiten una fuerte generalización del teorema de Stokes . Sea una función multivectorial de entrada de grado y posición general , lineal en su primer argumento. Entonces el teorema fundamental del cálculo geométrico relaciona la integral de una derivada sobre el volumen con la integral sobre su frontera: ${\displaystyle {\mathsf {L}}(A;x)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \int _{V}{\dot {\mathsf {L}}}\left({\dot {\nabla }}dX;x\right)=\oint _{\partial V}{\mathsf {L}}(dS;x).}$

Como ejemplo, consideremos una función con valores vectoriales y un multivector de grado () . Encontramos eso ${\displaystyle {\mathsf {L}}(A;x)=\langle F(x)AI^{-1}\rangle }$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}{\dot {\mathsf {L}}}\left({\dot {\nabla }}dX;x\right)&=\int _{V}\langle {\dot {F}}(x){\dot {\nabla }}\,dX\,I^{-1}\rangle \\&=\int _{V}\langle {\dot {F}}(x){\dot {\nabla }}\,|dX|\rangle \\&=\int _{V}\nabla \cdot F(x)\,|dX|.\end{aligned}}}$

Asimismo,

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\partial V}{\mathsf {L}}(dS;x)&=\oint _{\partial V}\langle F(x)\,dS\,I^{-1}\rangle \\&=\oint _{\partial V}\langle F(x){\hat {n}}\,|dS|\rangle \\&=\oint _{\partial V}F(x)\cdot {\hat {n}}\,|dS|.\end{aligned}}}$

Así recuperamos el teorema de la divergencia ,

${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot F(x)\,|dX|=\oint _{\partial V}F(x)\cdot {\hat {n}}\,|dS|.}$

Derivada covariante

Una superficie suficientemente lisa en un espacio dimensional se considera una variedad . A cada punto del colector, podemos unir una hoja que sea tangente al colector. Localmente, actúa como un pseudoescalar del espacio -dimensional. Esta pala define una proyección de vectores sobre el colector: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\cdot B^{-1})B.}$

Así como la derivada del vector se define en todo el espacio dimensional, es posible que deseemos definir una derivada intrínseca , definida localmente en la variedad: ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \partial }$

${\displaystyle \partial F={\mathcal {P}}_{B}(\nabla )F.}$

(Nota: el lado derecho de lo anterior puede no estar en el espacio tangente a la variedad. Por lo tanto, no es lo mismo que , que necesariamente se encuentra en el espacio tangente). ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(\nabla F)}$

Si es un vector tangente a la variedad, entonces tanto la derivada del vector como la derivada intrínseca dan la misma derivada direccional: ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a\cdot \partial F=a\cdot \nabla F.}$

Aunque esta operación es perfectamente válida, no siempre es útil porque no necesariamente está en el colector. Por lo tanto, definimos la derivada covariante como la proyección forzada de la derivada intrínseca sobre la variedad: ${\displaystyle \partial F}$

${\displaystyle a\cdot DF={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot \partial F)={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot {\mathcal {P}}_{B}(\nabla )F).}$

Dado que cualquier multivector general se puede expresar como la suma de una proyección y un rechazo, en este caso

${\displaystyle a\cdot \partial F={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot \partial F)+{\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial F),}$

introducimos una nueva función, el tensor de forma , que satisface ${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)}$

${\displaystyle F\times {\mathsf {S}}(a)={\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial F),}$

¿Dónde está el producto del conmutador ? En una base de coordenadas locales que abarca la superficie tangente, el tensor de forma viene dado por ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \{e_{i}\}}$

${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)=e^{i}\wedge {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial e_{i}).}$

Es importante destacar que en una variedad general, la derivada covariante no conmuta. En particular, el conmutador está relacionado con el tensor de forma mediante

${\displaystyle [a\cdot D,\,b\cdot D]F=-({\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b))\times F.}$

Es evidente que el término es de interés. Sin embargo, al igual que la derivada intrínseca, no está necesariamente en la variedad. Por lo tanto, podemos definir el tensor de Riemann como la proyección sobre la variedad: ${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)}$

${\displaystyle {\mathsf {R}}(a\wedge b)=-{\mathcal {P}}_{B}({\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)).}$

Por último, si es de grado , entonces podemos definir las derivadas covariantes interiores y exteriores como ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle D\cdot F=\langle DF\rangle _{r-1},}$

${\displaystyle D\wedge F=\langle DF\rangle _{r+1},}$

y lo mismo para la derivada intrínseca.

Relación con la geometría diferencial

En una variedad, localmente podemos asignar una superficie tangente abarcada por un conjunto de vectores base . Podemos asociar las componentes de un tensor métrico , los símbolos de Christoffel y el tensor de curvatura de Riemann de la siguiente manera: ${\displaystyle \{e_{i}\}}$

${\displaystyle g_{ij}=e_{i}\cdot e_{j},}$

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=(e_{i}\cdot De_{j})\cdot e^{k},}$

${\displaystyle R_{ijkl}=({\mathsf {R}}(e_{i}\wedge e_{j})\cdot e_{k})\cdot e_{l}.}$

Estas relaciones integran la teoría de la geometría diferencial dentro del cálculo geométrico.

Relación con formas diferenciales

En un sistema de coordenadas local ( ), las diferenciales de coordenadas , ..., forman un conjunto básico de formas uniformes dentro del gráfico de coordenadas . Dado un índice múltiple con for , podemos definir un formulario ${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$ ${\displaystyle dx^{1}}$ ${\displaystyle dx^{n}}$ ${\displaystyle I=(i_{1},\ldots ,i_{k})}$ ${\displaystyle 1\leq i_{p}\leq n}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq k}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \omega =f_{I}\,dx^{I}=f_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}.}$

Alternativamente, podemos introducir un multivector de grado como ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=f_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\wedge e^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e^{i_{k}}}$

y una medida

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{k}X&=\left(dx^{i_{1}}e_{i_{1}}\right)\wedge \left(dx^{i_{2}}e_{i_{2}}\right)\wedge \cdots \wedge \left(dx^{i_{k}}e_{i_{k}}\right)\\&=\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.\end{aligned}}}$

Aparte de una sutil diferencia de significado para el producto exterior con respecto a formas diferenciales versus el producto exterior con respecto a vectores (en el primero los incrementos son covectores, mientras que en el segundo representan escalares), vemos las correspondencias de la forma diferencial

${\displaystyle \omega \cong A^{\dagger }\cdot d^{k}X=A\cdot \left(d^{k}X\right)^{\dagger },}$

su derivada

${\displaystyle d\omega \cong (D\wedge A)^{\dagger }\cdot d^{k+1}X=(D\wedge A)\cdot \left(d^{k+1}X\right)^{\dagger },}$

y su Hodge dual

${\displaystyle \star \omega \cong (I^{-1}A)^{\dagger }\cdot d^{k}X,}$

Incorporar la teoría de las formas diferenciales dentro del cálculo geométrico.

Historia

A continuación se muestra un diagrama que resume la historia del cálculo geométrico.

Historia del cálculo geométrico.

Referencias y lecturas adicionales

1. David Hestenes , Garrett Sobczyk: Del álgebra de Clifford al cálculo geométrico, un lenguaje unificado para las matemáticas y la física (Dordrecht/Boston:G.Reidel Publ.Co., 1984, ISBN  90-277-2561-6
2. Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2007). Álgebra geométrica para físicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 395.ISBN​ 978-0-521-71595-9.

• Macdonald, Alan (2012). Cálculo vectorial y geométrico. Charleston: Crear espacio. ISBN 9781480132450. OCLC  829395829.