Curl (matemáticas)

Densidad de circulación en un campo vectorial.

Representación de un campo vectorial bidimensional con una curvatura uniforme.

En cálculo vectorial , el rizo , también conocido como rotor , es un operador vectorial que describe la circulación infinitesimal de un campo vectorial en el espacio euclidiano tridimensional . La curvatura en un punto del campo está representada por un vector cuya longitud y dirección denotan la magnitud y el eje de la circulación máxima. ^[1] La curvatura de un campo se define formalmente como la densidad de circulación en cada punto del campo.

Un campo vectorial cuya curvatura es cero se llama irrotacional . El curl es una forma de diferenciación de campos vectoriales. La forma correspondiente del teorema fundamental del cálculo es el teorema de Stokes , que relaciona la integral de superficie del rizo de un campo vectorial con la integral de línea del campo vectorial alrededor de la curva límite.

La notación curl F es más común en América del Norte. En el resto del mundo, particularmente en la literatura científica del siglo XX, se utiliza tradicionalmente la notación alternativa rot F , que proviene de la "tasa de rotación" que representa. Para evitar confusiones, los autores modernos tienden a utilizar la notación de producto cruzado con el operador del (nabla), como en , ^[2] que también revela la relación entre los operadores curl (rotor), divergencia y gradiente . ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$

A diferencia del gradiente y la divergencia , la curvatura tal como se formula en el cálculo vectorial no se generaliza simplemente a otras dimensiones; Algunas generalizaciones son posibles, pero sólo en tres dimensiones la curvatura definida geométricamente de un campo vectorial vuelve a ser un campo vectorial. Esta deficiencia es consecuencia directa de las limitaciones del cálculo vectorial; por otro lado, cuando se expresa como un campo tensor antisimétrico mediante el operador cuña del cálculo geométrico , el rizo se generaliza a todas las dimensiones. La circunstancia es similar a la del producto cruz tridimensional y, de hecho, la conexión se refleja en la notación del rizo. ${\displaystyle \nabla \times }$

El nombre "rizo" fue sugerido por primera vez por James Clerk Maxwell en 1871 ^[3] , pero aparentemente el concepto fue utilizado por primera vez en la construcción de una teoría del campo óptico por James MacCullagh en 1839. ^{[4] [5]}

Definición

Las componentes de F en la posición r , normal y tangente a una curva cerrada C en un plano, que encierra un área vectorial plana . ${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} }$

regla de la mano derecha

El rizo de un campo vectorial F , denotado por rizo F , o , o rot F , es un operador que asigna funciones C k en R ³ a funciones C ^{k −1} en R ³ y, en particular, asigna funciones R continuamente diferenciables. ³ → R ³ a funciones continuas R ³ → R ³ . Se puede definir de varias maneras, que se mencionarán a continuación: ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$

Una forma de definir la curvatura de un campo vectorial en un punto es implícitamente a través de sus proyecciones sobre varios ejes que pasan por el punto: si es cualquier vector unitario, la proyección de la curvatura de F sobre puede definirse como el valor límite de un Integral de recta cerrada en un plano ortogonal a dividido por el área encerrada, ya que el camino de integración se contrae indefinidamente alrededor del punto. ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$

Más específicamente, el rizo se define en un punto p como ^{[6] [7]}

$${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )(p)\cdot \mathbf {\hat {u}} \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{{}={}}}\lim _{A\to 0}{\frac {1}{|A|}}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }$$

integral de línealímite Cárea A| Un |FCnormalCregla de la mano derecha ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$

La fórmula anterior significa que la proyección de la curvatura de un campo vectorial a lo largo de un determinado eje es la densidad de área infinitesimal de la circulación del campo proyectada sobre un plano perpendicular a ese eje. Esta fórmula no define a priori un campo vectorial legítimo, ya que las densidades de circulación individuales con respecto a varios ejes a priori no necesitan relacionarse entre sí de la misma manera que lo hacen los componentes de un vector; que efectivamente se relacionan entre sí de esta manera precisa debe probarse por separado.

A esta definición se adapta naturalmente el teorema de Kelvin-Stokes , como fórmula global correspondiente a la definición. Equipara la integral de superficie de la curvatura de un campo vectorial con la integral de línea anterior tomada alrededor del límite de la superficie.

Otra forma en que se puede definir el vector de curvatura de una función F en un punto es explícitamente como el valor límite de una integral de superficie valorada por un vector alrededor de un caparazón que encierra a p dividido por el volumen encerrado, ya que el caparazón se contrae indefinidamente alrededor de p .

Más específicamente, el rizo puede definirse mediante la fórmula vectorial

$${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )(p){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{{}={}}}\lim _{V\to 0}{\frac {1}{|V|}}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} \times \mathbf {F} \ \mathrm {d} S}$$

donde la integral de superficie se calcula a lo largo del límite S del volumen V , | V | siendo la magnitud del volumen y apuntando hacia afuera desde la superficie S perpendicularmente en cada punto de S. ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

En esta fórmula, el producto cruz en el integrando mide la componente tangencial de F en cada punto de la superficie S , junto con la orientación de estas componentes tangenciales con respecto a la superficie S. Así, la integral de superficie mide la extensión total en la que F circula alrededor de S , junto con la orientación neta de esta circulación en el espacio. La curvatura de un campo vectorial en un punto es entonces la densidad de volumen infinitesimal de la circulación neta del vector (es decir, tanto en magnitud como en orientación espacial) del campo alrededor del punto.

A esta definición se adapta naturalmente otra fórmula global (similar al teorema de Kelvin-Stokes) que iguala la integral de volumen del rizo de un campo vectorial con la integral de superficie anterior tomada sobre el límite del volumen.

Mientras que las dos definiciones anteriores de rizo no tienen coordenadas, existe otra definición "fácil de memorizar" de rizo en coordenadas ortogonales curvilíneas , por ejemplo, en coordenadas cartesianas , esféricas , cilíndricas o incluso elípticas o parabólicas :

$${\displaystyle {\begin{aligned}&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{1}={\frac {1}{h_{2}h_{3}}}\left({\frac {\partial (h_{3}F_{3})}{\partial u_{2}}}-{\frac {\partial (h_{2}F_{2})}{\partial u_{3}}}\right),\\[5pt]&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{2}={\frac {1}{h_{3}h_{1}}}\left({\frac {\partial (h_{1}F_{1})}{\partial u_{3}}}-{\frac {\partial (h_{3}F_{3})}{\partial u_{1}}}\right),\\[5pt]&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{3}={\frac {1}{h_{1}h_{2}}}\left({\frac {\partial (h_{2}F_{2})}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial (h_{1}F_{1})}{\partial u_{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

La ecuación para cada componente (curl F ) _k se puede obtener intercambiando cada aparición de un subíndice 1, 2, 3 en permutación cíclica: 1 → 2, 2 → 3 y 3 → 1 (donde los subíndices representan los índices relevantes) .

Si ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) son las coordenadas cartesianas y ( u ₁ , u ₂ , u ₃ ) son las coordenadas ortogonales, entonces

$${\displaystyle h_{i}={\sqrt {\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x_{2}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x_{3}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}}}}$$

u _iuna permutación cíclicaíndices

Uso

En la práctica, las dos definiciones sin coordenadas descritas anteriormente rara vez se utilizan porque, prácticamente en todos los casos, el operador curl se puede aplicar utilizando algún conjunto de coordenadas curvilíneas , para las cuales se han derivado representaciones más simples.

La notación ∇ × F tiene su origen en las similitudes con el producto cruz tridimensional , y es útil como mnemónico en coordenadas cartesianas si ∇ se toma como operador diferencial vectorial del . Esta notación que involucra operadores es común en física y álgebra .

Expandido en coordenadas cartesianas tridimensionales (ver Del en coordenadas cilíndricas y esféricas para representaciones de coordenadas esféricas y cilíndricas ), ∇ × F es, para F, compuesto por [ F _x , F _y , F _z ] (donde los subíndices indican los componentes de el vector, no derivadas parciales):

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {\hat {\imath }}}&{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}&{\boldsymbol {\hat {k}}}\\[5mu]{\dfrac {\partial }{\partial x}}&{\dfrac {\partial }{\partial y}}&{\dfrac {\partial }{\partial z}}\\[5mu]F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$$

ijkvectores unitariosejes xyz^[8]

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right){\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\boldsymbol {\hat {k}}}}$$

Aunque se expresa en términos de coordenadas, el resultado es invariante bajo rotaciones adecuadas de los ejes de coordenadas, pero el resultado se invierte bajo reflexión.

En un sistema de coordenadas general, la curvatura viene dada por ^[1]

$${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )^{k}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\varepsilon ^{k\ell m}\nabla _{\ell }F_{m}}$$

εtensor de Levi-Civita∇derivada covariantetensor métricoconvención de suma de Einstein ${\displaystyle g}$

$${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )={\frac {1}{\sqrt {g}}}\mathbf {R} _{k}\varepsilon ^{k\ell m}\partial _{\ell }F_{m}}$$

R _kderivada exterior

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left(\star {\big (}{\mathrm {d} }\mathbf {F} ^{\flat }{\big )}\right)^{\sharp }}$$

Aquí ♭ y ♯ son los isomorfismos musicales , y ★ es el operador estrella de Hodge . Esta fórmula muestra cómo calcular la curvatura de F en cualquier sistema de coordenadas y cómo extender la curvatura a cualquier variedad de Riemann tridimensional orientada . Dado que esto depende de la elección de la orientación, el rizo es una operación quiral . En otras palabras, si se invierte la orientación, entonces la dirección del rizo también se invierte.

Ejemplos

Ejemplo 0

Supongamos que el campo vectorial describe el campo de velocidad de un flujo de fluido (como un tanque grande de líquido o gas ) y una pequeña bola está ubicada dentro del fluido o gas (el centro de la bola está fijo en un punto determinado). Si la bola tiene una superficie rugosa, el fluido que pasa por ella la hará girar. El eje de rotación (orientado según la regla de la mano derecha) apunta en la dirección de la curvatura del campo en el centro de la pelota, y la velocidad angular de rotación es la mitad de la magnitud de la curvatura en este punto. ^[9] La curvatura del campo vectorial en cualquier punto viene dada por la rotación de un área infinitesimal en el plano xy (para el componente del eje z de la curvatura), en el plano zx (para el componente del eje y de la curvatura) y plano yz (para el componente del eje x del vector de curvatura). Esto se puede ver en los ejemplos siguientes.

Ejemplo 1

Campo vectorial F ( x , y )=[ y ,− x ] (izquierda) y su curvatura (derecha).

El campo vectorial

$${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=y{\boldsymbol {\hat {\imath }}}-x{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}}$$

$${\displaystyle F_{x}=y,F_{y}=-x,F_{z}=0.}$$

Tras una inspección visual, el campo puede describirse como "giratorio". Si los vectores del campo representaran una fuerza lineal que actúa sobre los objetos presentes en ese punto, y se colocara un objeto dentro del campo, el objeto comenzaría a girar en el sentido de las agujas del reloj alrededor de sí mismo. Esto es cierto independientemente de dónde se coloque el objeto.

Calculando el rizo:

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =0{\boldsymbol {\hat {\imath }}}+0{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\left({\frac {\partial }{\partial x}}(-x)-{\frac {\partial }{\partial y}}y\right){\boldsymbol {\hat {k}}}=-2{\boldsymbol {\hat {k}}}}$$

El campo vectorial resultante que describe el rizo apuntaría en todos los puntos en la dirección z negativa . Los resultados de esta ecuación se alinean con lo que se podría haber predicho usando la regla de la mano derecha usando un sistema de coordenadas diestro . Al ser un campo vectorial uniforme, el objeto descrito anteriormente tendría la misma intensidad de rotación independientemente de dónde estuviera colocado.

Ejemplo 2

Campo vectorial F ( x , y ) = [0, − x ² ] (izquierda) y su curvatura (derecha).

Para el campo vectorial

$${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=-x^{2}{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}}$$

el rizo no es tan obvio en el gráfico. Sin embargo, tomando el objeto del ejemplo anterior y colocándolo en cualquier lugar de la línea x = 3 , la fuerza ejercida en el lado derecho sería ligeramente mayor que la fuerza ejercida en el izquierdo, lo que provocaría que girara en el sentido de las agujas del reloj. Usando la regla de la mano derecha, se puede predecir que el rizo resultante sería recto en la dirección z negativa . A la inversa, si se coloca en x = −3 , el objeto rotaría en sentido antihorario y la regla de la mano derecha daría como resultado una dirección z positiva .

Calculando el rizo:

$${\displaystyle {\nabla }\times \mathbf {F} =0{\boldsymbol {\hat {\imath }}}+0{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(-x^{2}\right){\boldsymbol {\hat {k}}}=-2x{\boldsymbol {\hat {k}}}.}$$

El rizo apunta en la dirección z negativa cuando x es positivo y viceversa. En este campo, la intensidad de rotación sería mayor a medida que el objeto se aleja del plano x = 0 .

Más ejemplos

• En un campo vectorial que describe las velocidades lineales de cada parte de un disco giratorio en movimiento circular uniforme , el rizo tiene el mismo valor en todos los puntos, y este valor resulta ser exactamente dos veces la velocidad angular vectorial del disco (orientado como habitual por la regla de la mano derecha ). De manera más general, para cualquier masa que fluye, el campo vectorial de velocidad lineal en cada punto del flujo másico tiene una curvatura (la vorticidad del flujo en ese punto) igual a exactamente dos veces la velocidad angular vectorial local de la masa alrededor del punto.
• Para cualquier objeto sólido sujeto a una fuerza física externa (como la gravedad o la fuerza electromagnética), se puede considerar el campo vectorial que representa las contribuciones de fuerza infinitesimal por unidad de volumen que actúan en cada uno de los puntos del objeto. Este campo de fuerza puede crear un par neto sobre el objeto alrededor de su centro de masa, y este par resulta ser directamente proporcional y vectorialmente paralelo a la integral (valorada en vector) de la curvatura del campo de fuerza en todo el volumen.
• De las cuatro ecuaciones de Maxwell , dos ( la ley de Faraday y la ley de Ampère ) se pueden expresar de forma compacta mediante curl. La ley de Faraday establece que la curvatura de un campo eléctrico es igual al opuesto de la tasa de cambio temporal del campo magnético, mientras que la ley de Ampère relaciona la curvatura del campo magnético con la corriente y la tasa temporal de cambio del campo eléctrico.

Identidades

En coordenadas curvilíneas generales (no solo en coordenadas cartesianas), se puede demostrar que la curvatura de un producto vectorial de los campos vectoriales v y F es

$${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {v\times F} \right)={\Big (}\left(\mathbf {\nabla \cdot F} \right)+\mathbf {F\cdot \nabla } {\Big )}\mathbf {v} -{\Big (}\left(\mathbf {\nabla \cdot v} \right)+\mathbf {v\cdot \nabla } {\Big )}\mathbf {F} \ .}$$

Intercambiando el operador de campo vectorial v y ∇ , llegamos al producto cruzado de un campo vectorial con el rizo de un campo vectorial:

$${\displaystyle \mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{\mathbf {F} }\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\left(\mathbf {v\cdot \nabla } \right)\mathbf {F} \ ,}$$

∇ _FFv

Otro ejemplo es la curvatura de un campo vectorial. Se puede demostrar que en coordenadas generales

$${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla \cdot F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} \ ,}$$

vector laplacianoF∇ ² F

La curvatura del gradiente de cualquier campo escalar φ es siempre el campo vectorial cero

$${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )={\boldsymbol {0}}}$$

antisimetríasimetría de segundas derivadas

La divergencia del rizo de cualquier campo vectorial es igual a cero:

$${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}$$

Si φ es una función escalar y F es un campo vectorial, entonces

$${\displaystyle \nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=\nabla \varphi \times \mathbf {F} +\varphi \nabla \times \mathbf {F} }$$

Generalizaciones

Las operaciones de cálculo vectorial de grad , curl y div se generalizan más fácilmente en el contexto de formas diferenciales, lo que implica una serie de pasos. En resumen, corresponden a las derivadas de las formas 0, 1 y 2, respectivamente. La interpretación geométrica de curl como rotación corresponde a identificar bivectores (2 vectores) en 3 dimensiones con el álgebra de Lie ortogonal especial de rotaciones infinitesimales (en coordenadas, matrices simétricas sesgadas de 3 × 3), mientras que representar rotaciones por vectores corresponde a identificar 1 -vectores (equivalentemente, 2 vectores) y , siendo todos espacios tridimensionales. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Formas diferenciales

En 3 dimensiones, una forma diferencial 0 es una función de valor real f ( x , y , z ) ; una forma diferencial 1 es la siguiente expresión, donde los coeficientes son funciones:

$${\displaystyle a_{1}\,dx+a_{2}\,dy+a_{3}\,dz;}$$

$${\displaystyle a_{12}\,dx\wedge dy+a_{13}\,dx\wedge dz+a_{23}\,dy\wedge dz;}$$

$${\displaystyle a_{123}\,dx\wedge dy\wedge dz.}$$

adx ∧ dydx ∧ dy = − dy ∧ dx

La derivada exterior de una forma k en R ³ se define como la forma ( k + 1) desde arriba, y en R ⁿ si, por ejemplo,

$${\displaystyle \omega ^{(k)}=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}},}$$

d

$${\displaystyle d\omega ^{(k)}=\sum _{\scriptstyle {j=1} \atop \scriptstyle {i_{1}<\cdots <i_{k}}}^{n}{\frac {\partial a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}}{\partial x_{j}}}\,dx_{j}\wedge dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}.}$$

La derivada exterior de una forma 1 es, por tanto, una forma 2, y la de una forma 2 es una forma 3. Por otro lado, debido a la intercambiabilidad de los derivados mixtos,

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}},}$$

$${\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge x_{i}}$$

la doble aplicación de la derivada exterior produce (la forma cero). ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle k+2}$

Por lo tanto, denotando el espacio de k -formas por Ω ^k ( R ³ ) y la derivada exterior por d se obtiene una secuencia:

$${\displaystyle 0\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{0}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{2}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{3}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\,0.}$$

Aquí Ω ^k ( R ⁿ ) es el espacio de secciones del álgebra exterior Λ ^k ( R ⁿ ) paquete de vectores sobre R ⁿ , cuya dimensión es el coeficiente binomial (^nk
_{_}) ; tenga en cuenta queΩ ^k ( R ³ ) = 0para k > 3o k < 0. Escribiendo sólo dimensiones, se obtiene una fila deltriángulo de Pascal:

0 → 1 → 3 → 3 → 1 → 0;

las fibras unidimensionales corresponden a campos escalares y las fibras tridimensionales a campos vectoriales, como se describe a continuación. Para identificaciones de módulo adecuadas, las tres apariciones no triviales de la derivada exterior corresponden a grad, curl y div.

Las formas diferenciales y el diferencial se pueden definir en cualquier espacio euclidiano, o incluso en cualquier variedad, sin ninguna noción de métrica de Riemann. En una variedad de Riemann , o más generalmente en una variedad pseudo-riemanniana , las k -formas se pueden identificar con k -campos vectoriales ( las k -formas son k -campos de covectores, y una métrica pseudo-riemanniana da un isomorfismo entre vectores y covectores), y en un espacio vectorial orientado con una forma no degenerada (un isomorfismo entre vectores y covectores), existe un isomorfismo entre k -vectores y ( n − k ) -vectores; en particular en (el espacio tangente de) una variedad pseudo-riemanniana orientada. Así, en una variedad pseudo-riemanniana orientada, se pueden intercambiar k -formas, k -campos vectoriales, ( n − k ) -formas y ( n − k ) -campos vectoriales; esto se conoce como dualidad de Hodge . Concretamente, en R ³ esto viene dado por:

• 1 formas y campos de 1 vector: la forma 1 a _x dx + a _y dy + a _z dz corresponde al campo vectorial ( a _x , a _y , a _z ) .
• 1-formas y 2-formas: se reemplaza dx por la cantidad dual dy ∧ dz (es decir, omitir dx ), y de la misma manera, cuidando la orientación: dy corresponde a dz ∧ dx = − dx ∧ dz , y dz corresponde a dx ∧ dy . Así, la forma a _x dx + a _y dy + a _z dz corresponde a la "forma dual" a _z dx ∧ dy + a _y dz ∧ dx + a _x dy ∧ dz .

Por lo tanto, identificar formas 0 y formas 3 con campos escalares, y formas 1 y 2 con campos vectoriales:

• grad toma un campo escalar (forma 0) a un campo vectorial (forma 1);
• curl toma un campo vectorial (forma 1) a un campo pseudovector (forma 2);
• div lleva un campo pseudovectorial (forma 2) a un campo pseudoescalar (forma 3)

Por otro lado, el hecho de que d ² = 0 corresponda a las identidades

$${\displaystyle \nabla \times (\nabla f)=\mathbf {0} }$$

f

$${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )=0}$$

v

Grad y div se generalizan a todas las variedades pseudo-riemannianas orientadas, con la misma interpretación geométrica, porque los espacios de formas 0 y formas n en cada punto son siempre unidimensionales y pueden identificarse con campos escalares, mientras que los espacios de 1 -las formas y ( n − 1 ) -las formas siempre son n -dimensionales a nivel de fibra y se pueden identificar con campos vectoriales.

Curl no se generaliza de esta manera a 4 o más dimensiones (o hasta 2 dimensiones o menos); en 4 dimensiones las dimensiones son

0 → 1 → 4 → 6 → 4 → 1 → 0;

entonces, el rizo de un campo de 1 vector (de 4 dimensiones a fibra) es un campo de 2 vectores , que en cada punto pertenece al espacio vectorial de 6 dimensiones, por lo que se tiene

$${\displaystyle \omega ^{(2)}=\sum _{i<k=1,2,3,4}a_{i,k}\,dx_{i}\wedge dx_{k},}$$

d ² = 0

Sin embargo, se puede definir una curvatura de un campo vectorial como un campo de 2 vectores en general, como se describe a continuación.

Rizar geométricamente

2 vectores corresponden a la potencia exterior Λ ² V ; en presencia de un producto interno, en coordenadas estas son las matrices simétricas sesgadas, que se consideran geométricamente como el álgebra de Lie ortogonal especial ( V ) de rotaciones infinitesimales. Esto tiene ( ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$^norte
₂) =1/2n ( n − 1 ) dimensiones, y permite interpretar el diferencial de un campo de 1 vector como sus rotaciones infinitesimales. Sólo en 3 dimensiones (o trivialmente en 0 dimensiones) tenemos n =1/2n ( n − 1) , que es el caso más elegante y común. En 2 dimensiones, la curvatura de un campo vectorial no es un campo vectorial sino una función, ya que las rotaciones bidimensionales están dadas por un ángulo (un escalar; se requiere una orientación para elegir si se cuentan las rotaciones en sentido horario o antihorario como positivas); este no es el div, sino que es perpendicular a él. En 3 dimensiones, el rizo de un campo vectorial es un campo vectorial como es familiar (en 1 y 0 dimensiones, el rizo de un campo vectorial es 0, porque no hay 2 vectores no triviales), mientras que en 4 dimensiones el rizo de un campo vectorial es, geométricamente, en cada punto un elemento del álgebra de Lie de 6 dimensiones . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)}$

La curvatura de un campo vectorial tridimensional que solo depende de 2 coordenadas (digamos xey ) es simplemente un campo vectorial vertical (en la dirección z ) cuya magnitud es la curvatura del campo vectorial bidimensional, como en los ejemplos . en esta página.

Se ha utilizado la consideración de curl como un campo de 2 vectores (un 2 tensor antisimétrico) para generalizar el cálculo vectorial y la física asociada a dimensiones superiores. ^[10]

Inverso

En el caso en que la divergencia de un campo vectorial V sea cero, existe un campo vectorial W tal que V = curl( W ) . ^{[ cita necesaria ]} Esta es la razón por la cual el campo magnético , caracterizado por divergencia cero, se puede expresar como la curvatura de un potencial vectorial magnético .

Si W es un campo vectorial con curl( W ) = V , entonces agregar cualquier campo vectorial gradiente grad( f ) a W dará como resultado otro campo vectorial W + grad( f ) tal que curl( W + grad( f )) = V también. Esto se puede resumir diciendo que la curvatura inversa de un campo vectorial tridimensional se puede obtener hasta un campo irrotacional desconocido con la ley de Biot-Savart .

Ver también

• Descomposición de Helmholtz
• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas
• vorticidad

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Curl". MundoMatemático .
2. Norma ISO/IEC 80000-2 Norma ISO/IEC 80000-2, punto 2-17.16
3. Actas de la Sociedad Matemática de Londres, 9 de marzo de 1871
4. Obras completas de James MacCullagh. Dublín: Hodges. 1880.
5. Primeros usos conocidos de algunas de las palabras de matemáticas tripod.com
6. Métodos matemáticos para física e ingeniería, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3 
7. Análisis vectorial (segunda edición), MR Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (EE. UU.), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7 
8. Arfken, George Brown (2005). Métodos matemáticos para físicos . Weber, Hans-Jurgen (6ª ed.). Boston: Elsevier. pag. 43.ISBN _ 978-0-08-047069-6. OCLC  127114279.
9. Gibbs, Josías Willard ; Wilson, Edwin Bidwell (1901), Análisis vectorial, publicaciones del bicentenario de Yale, C. Scribner's Sons, hdl :2027/mdp.39015000962285
10. McDavid, AW; McMullen, CD (30 de octubre de 2006). "Generalización de productos cruzados y ecuaciones de Maxwell a dimensiones extra universales". arXiv : hep-ph/0609260 .

Otras lecturas

• Korn, Granino Arthur y Theresa M. Korn (enero de 2000). Manual de matemáticas para científicos e ingenieros: definiciones, teoremas y fórmulas para referencia y revisión . Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. 157-160. ISBN 0-486-41147-8.
• Schey, HM (1997). Div, Grad, Curl y todo eso: un texto informal sobre cálculo vectorial . Nueva York: Norton. ISBN 0-393-96997-5.

enlaces externos

• "Curl", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Cálculo multivariable". mathinsight.org . Consultado el 12 de febrero de 2022 .
• "Divergencia y curvatura: el lenguaje de las ecuaciones de Maxwell, flujo de fluidos y más". 21 de junio de 2018. Archivado desde el original el 24 de noviembre de 2021, a través de YouTube .