Álgebra diferencial

Estudio algebraico de ecuaciones diferenciales

En matemáticas , el álgebra diferencial es, en términos generales, el área de las matemáticas que consiste en el estudio de las ecuaciones diferenciales y los operadores diferenciales como objetos algebraicos con vistas a derivar propiedades de ecuaciones diferenciales y operadores sin calcular las soluciones, de manera similar a como se utilizan las álgebras polinómicas para el estudio de variedades algebraicas , que son conjuntos de soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas . Las álgebras de Weyl y las álgebras de Lie pueden considerarse pertenecientes al álgebra diferencial.

Más específicamente, el álgebra diferencial se refiere a la teoría introducida por Joseph Ritt en 1950, en la que los anillos diferenciales , los campos diferenciales y las álgebras diferenciales son anillos , campos y álgebras equipados con un número finito de derivaciones . ^{[1] [2] [3]}

Un ejemplo natural de un campo diferencial es el campo de funciones racionales en una variable sobre los números complejos , donde la derivación es la diferenciación con respecto a . De manera más general, cada ecuación diferencial puede verse como un elemento de un álgebra diferencial sobre el campo diferencial generado por las funciones (conocidas) que aparecen en la ecuación. ${\displaystyle \mathbb {C} (t),}$ ${\displaystyle t.}$

Historia

Joseph Ritt desarrolló el álgebra diferencial porque consideraba que los intentos de reducir los sistemas de ecuaciones diferenciales a diversas formas canónicas eran un enfoque insatisfactorio. Sin embargo, el éxito de los métodos de eliminación algebraica y la teoría de variedades algebraicas motivó a Ritt a considerar un enfoque similar para las ecuaciones diferenciales. ^[4] Sus esfuerzos condujeron a un artículo inicial Variedades de funciones definidas por sistemas de ecuaciones diferenciales algebraicas y a dos libros, Ecuaciones diferenciales desde el punto de vista algebraico y Álgebra diferencial . ^{[5] [6] [2]} Ellis Kolchin , alumno de Ritt, avanzó en este campo y publicó Álgebra diferencial y grupos algebraicos . ^[1]

Anillos diferenciales

Definición

Una derivación de un anillo es una función tal que y ${\textstyle \partial }$ ${\textstyle R}$ ${\displaystyle \partial :R\to R\,}$ $${\displaystyle \partial (r_{1}+r_{2})=\partial r_{1}+\partial r_{2}}$$

${\displaystyle \partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})\quad }$( Regla del producto de Leibniz ),

para cada uno y en ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle R.}$

Una derivación es lineal sobre los números enteros ya que estas identidades implican y ${\displaystyle \partial (0)=\partial (1)=0}$ ${\displaystyle \partial (-r)=-\partial (r).}$

Un anillo diferencial es un anillo conmutativo equipado con una o más derivaciones que conmutan por pares; es decir, para cada par de derivaciones y cada ^[7] Cuando sólo hay una derivación se habla a menudo de un anillo diferencial ordinario ; en caso contrario, se habla de un anillo diferencial parcial. ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle \partial _{1}(\partial _{2}(r))=\partial _{2}(\partial _{1}(r))}$$ ${\displaystyle r\in R.}$

Un campo diferencial es un anillo diferencial que también es un campo. Un álgebra diferencial sobre un campo diferencial es un anillo diferencial que contiene como un subanillo tal que la restricción a de las derivaciones de es igual a las derivaciones de (A continuación se da una definición más general, que cubre el caso donde no es un campo, y es esencialmente equivalente cuando es un campo). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Un álgebra de Witt es un anillo diferencial que contiene el campo de los números racionales. Equivalentemente, se trata de un álgebra diferencial sobre , ya que puede considerarse como un campo diferencial en el que cada derivación es la función cero . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Las constantes de un anillo diferencial son los elementos tales que para cada derivación Las constantes de un anillo diferencial forman un subanillo y las constantes de un campo diferenciable forman un subcuerpo. ^[8] Este significado de "constante" generaliza el concepto de función constante , y no debe confundirse con el significado común de constante . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \partial r=0}$ ${\displaystyle \partial .}$

Fórmulas básicas

En las siguientes identidades , es una derivación de un anillo diferencial ^[9] ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle R.}$

• Si y es una constante en (es decir, ), entonces ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \delta c=0}$ $${\displaystyle \delta (cr)=c\delta (r).}$$
• Si y es una unidad en entonces ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle R,}$ $${\displaystyle \delta \left({\frac {r}{u}}\right)={\frac {\delta (r)u-r\delta (u)}{u^{2}}}}$$
• Si es un entero no negativo y entonces ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r\in R}$ $${\displaystyle \delta (r^{n})=nr^{n-1}\delta (r)}$$
• Si las unidades y son números enteros, se tiene la identidad derivada logarítmica : ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {\delta (u_{1}^{e_{1}}\ldots u_{n}^{e_{n}})}{u_{1}^{e_{1}}\ldots u_{n}^{e_{n}}}}=e_{1}{\frac {\delta (u_{1})}{u_{1}}}+\dots +e_{n}{\frac {\delta (u_{n})}{u_{n}}}.}$$

Derivaciones de orden superior

Un operador de derivación o derivación de orden superior ^{[ cita requerida ]} es la composición de varias derivaciones. Como se supone que las derivaciones de un anillo diferencial conmutan, el orden de las derivaciones no importa, y un operador de derivación puede escribirse como donde son las derivaciones en consideración, son números enteros no negativos y el exponente de una derivación denota el número de veces que esta derivación se compone en el operador. $${\displaystyle \delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}},}$$ ${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{n}}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

La suma se denomina orden de derivación. Si el operador de derivación es una de las derivaciones originales. Si , se tiene la función identidad , que generalmente se considera como el único operador de derivación de orden cero. Con estas convenciones, los operadores de derivación forman un monoide conmutativo libre en el conjunto de derivaciones en consideración. ${\displaystyle o=e_{1}+\cdots +e_{n}}$ ${\displaystyle o=1}$ ${\displaystyle o=0}$

Una derivada de un elemento de un anillo diferencial es la aplicación de un operador de derivación , es decir, con la notación anterior, Una derivada propia es una derivada de orden positivo. ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}}(x).}$

Ideales diferenciales

Un ideal diferencial de un anillo diferencial es un ideal del anillo que es cerrado (estable) bajo las derivaciones del anillo; es decir, para cada derivación y cada Se dice que un ideal diferencial es propio si no es el anillo completo. Para evitar confusiones, un ideal que no es un ideal diferencial a veces se denomina ideal algebraico . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\textstyle \partial x\in I,}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle x\in I.}$

El radical de un ideal diferencial es el mismo que su radical como ideal algebraico, es decir, el conjunto de los elementos del anillo que tienen una potencia en el ideal. El radical de un ideal diferencial es también un ideal diferencial. Un ideal diferencial radical o perfecto es un ideal diferencial que es igual a su radical. ^[10] Un ideal diferencial primo es un ideal diferencial que es primo en el sentido habitual; es decir, si un producto pertenece al ideal, al menos uno de los factores pertenece al ideal. Un ideal diferencial primo es siempre un ideal diferencial radical.

Un descubrimiento de Ritt es que, aunque la teoría clásica de los ideales algebraicos no funciona para los ideales diferenciales, una gran parte de ella puede extenderse a los ideales diferenciales radicales, y esto los hace fundamentales en el álgebra diferencial.

La intersección de cualquier familia de ideales diferenciales es un ideal diferencial, y la intersección de cualquier familia de ideales diferenciales radicales es un ideal diferencial radical. ^[11] De ello se deduce que, dado un subconjunto de un anillo diferencial, existen tres ideales generados por él, que son las intersecciones de, respectivamente, todos los ideales algebraicos, todos los ideales diferenciales y todos los ideales diferenciales radicales que lo contienen. ^{[11] [12]} ${\displaystyle S}$

El ideal algebraico generado por es el conjunto de combinaciones lineales finitas de elementos de y se denota comúnmente como o ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle (S)}$ ${\displaystyle \langle S\rangle .}$

El ideal diferencial generado por es el conjunto de las combinaciones lineales finitas de elementos de y de las derivadas de cualquier orden de estos elementos; comúnmente se denota como Cuando es finito, generalmente no se genera finitamente como un ideal algebraico. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [S].}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [S]}$

El ideal diferencial radical generado por se denota comúnmente como No se conoce ninguna forma de caracterizar su elemento de manera similar a como se hace en los otros dos casos. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{S\}.}$

Polinomios diferenciales

Un polinomio diferencial sobre un campo diferencial es una formalización del concepto de ecuación diferencial tal que las funciones conocidas que aparecen en la ecuación pertenecen a y las indeterminadas son símbolos de las funciones desconocidas. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K,}$

Sea entonces un campo diferencial, que es típicamente (pero no necesariamente) un campo de fracciones racionales (fracciones de polinomios multivariados), equipado con derivaciones tales que y si (las derivadas parciales usuales). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(X)=K(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle \partial _{i}x_{i}=1}$ ${\displaystyle \partial _{i}x_{j}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$

Para definir el anillo de polinomios diferenciales sobre con indeterminados en con derivaciones se introduce una infinidad de nuevos indeterminados de la forma donde es cualquier operador de derivación de orden mayor que 1 . Con esta notación, es el conjunto de polinomios en todos estos indeterminados, con las derivaciones naturales (cada polinomio implica solo un número finito de indeterminados). En particular, si se tiene ${\textstyle K\{Y\}=K\{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Y=\{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$ ${\displaystyle \partial _{1},\ldots ,\partial _{n},}$ ${\displaystyle \Delta y_{i},}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle K\{Y\}}$ ${\displaystyle n=1,}$

${\displaystyle K\{y\}=K\left[y,\partial y,\partial ^{2}y,\partial ^{3}y,\ldots \right].}$

Incluso cuando un anillo de polinomios diferenciales no es noetheriano , esto dificulta la teoría de esta generalización de anillos de polinomios. Sin embargo, dos hechos permiten tal generalización. ${\displaystyle n=1,}$

En primer lugar, un número finito de polinomios diferenciales implica en conjunto un número finito de indeterminados. De ello se deduce que todas las propiedades de los polinomios que implican un número finito de polinomios siguen siendo válidas para los polinomios diferenciales. En particular, existen los máximos comunes divisores y un anillo de polinomios diferenciales es un dominio de factorización único .

El segundo hecho es que, si el cuerpo contiene el cuerpo de los números racionales, los anillos de polinomios diferenciales satisfacen en exceso la condición de cadena ascendente sobre ideales diferenciales radicales. Este teorema de Ritt está implícito en su generalización, a veces llamada teorema de la base de Ritt-Raudenbush , que afirma que si es un álgebra de Ritt (es decir, un anillo diferencial que contiene el cuerpo de los números racionales), ^[13] que satisface la condición de cadena ascendente sobre ideales diferenciales radicales, entonces el anillo de polinomios diferenciales satisface la misma propiedad (se pasa del caso univariado al multivariado aplicando el teorema iterativamente). ^{[14] [15]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\{y\}}$

Esta propiedad noetheriana implica que, en un anillo de polinomios diferenciales, cada ideal diferencial radical I se genera finitamente como un ideal diferencial radical; esto significa que existe un conjunto finito S de polinomios diferenciales tales que I es el ideal diferencial radical más pequeño que contiene a S. ^[16] Esto permite representar un ideal diferencial radical mediante dicho conjunto finito de generadores y realizar cálculos con estos ideales. Sin embargo , algunos cálculos habituales del caso algebraico no se pueden extender. En particular, no se conoce ningún algoritmo para probar la pertenencia de un elemento a un ideal diferencial radical o la igualdad de dos ideales diferenciales radicales.

Otra consecuencia de la propiedad noetheriana es que un ideal diferencial radical puede expresarse de forma única como la intersección de un número finito de ideales diferenciales primos, llamados componentes primos esenciales del ideal. ^[17]

Métodos de eliminación

Los métodos de eliminación son algoritmos que eliminan preferentemente un conjunto específico de derivadas de un conjunto de ecuaciones diferenciales, comúnmente utilizados para comprender y resolver mejor conjuntos de ecuaciones diferenciales.

Las categorías de métodos de eliminación incluyen métodos de conjuntos característicos , métodos de bases de Gröbner diferenciales y métodos basados ​​en resultantes . ^{[1] [18] [19] [20] [21] [22] [23]}

Las operaciones comunes utilizadas en los algoritmos de eliminación incluyen 1) clasificar derivadas, polinomios y conjuntos de polinomios, 2) identificar la derivada principal, inicial y separante de un polinomio, 3) reducción de polinomios y 4) crear conjuntos de polinomios especiales.

Clasificación de derivados

La clasificación de las derivadas es un orden total y un orden admisible , definido como: ^{[24] [25] [26]}

${\textstyle \forall p\in \Theta Y,\ \forall \theta _{\mu }\in \Theta :\theta _{\mu }p>p.}$

${\textstyle \forall p,q\in \Theta Y,\ \forall \theta _{\mu }\in \Theta :p\geq q\Rightarrow \theta _{\mu }p\geq \theta _{\mu }q.}$

Cada derivada tiene una tupla entera, y un orden monomial clasifica la derivada clasificando la tupla entera de la derivada. La tupla entera identifica la indeterminación diferencial, el multiíndice de la derivada y puede identificar el orden de la derivada. Los tipos de clasificación incluyen: ^[27]

• Clasificación ordenada : ${\displaystyle \forall y_{i},y_{j}\in Y,\ \forall \theta _{\mu },\theta _{\nu }\in \Theta \ :\ \operatorname {ord} (\theta _{\mu })\geq \operatorname {ord} (\theta _{\nu })\Rightarrow \theta _{\mu }y_{i}\geq \theta _{\nu }y_{j}}$
• Clasificación de eliminación : ${\displaystyle \forall y_{i},y_{j}\in Y,\ \forall \theta _{\mu },\theta _{\nu }\in \Theta \ :\ y_{i}\geq y_{j}\Rightarrow \theta _{\mu }y_{i}\geq \theta _{\nu }y_{j}}$

En este ejemplo, la tupla entera identifica el multiíndice de la derivada e indeterminada diferencial, y el orden monomial lexicográfico , , determina el rango de la derivada. ^[28] ${\textstyle \geq _{\text{lex}}}$

${\displaystyle \eta (\delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}}(y_{j}))=(j,e_{1},\ldots ,e_{n})}$.

${\displaystyle \eta (\theta _{\mu }y_{j})\geq _{\text{lex}}\eta (\theta _{\nu }y_{k})\Rightarrow \theta _{\mu }y_{j}\geq \theta _{\nu }y_{k}.}$

Derivada principal, inicial y separante

Esta es la forma polinomial estándar: . ^{[24] [28]} ${\displaystyle p=a_{d}\cdot u_{p}^{d}+a_{d-1}\cdot u_{p}^{d-1}+\cdots +a_{1}\cdot u_{p}+a_{0}}$

• El líder o derivada principal es la derivada de mayor rango del polinomio: . ${\displaystyle u_{p}}$
• Los coeficientes no contienen la derivada principal . ${\displaystyle a_{d},\ldots ,a_{0}}$ ${\textstyle u_{p}}$
• El grado del polinomio es el mayor exponente de la derivada principal:. ${\displaystyle \deg _{u_{p}}(p)=d}$
• Inicial es el coeficiente: . ${\displaystyle I_{p}=a_{d}}$
• El rango es la derivada principal elevada al grado del polinomio: . ${\displaystyle u_{p}^{d}}$
• Separante es la derivada:. ${\displaystyle S_{p}={\frac {\partial p}{\partial u_{p}}}}$

El conjunto separable es , el conjunto inicial es y el conjunto combinado es . ^[29] ${\displaystyle S_{A}=\{S_{p}\mid p\in A\}}$ ${\displaystyle I_{A}=\{I_{p}\mid p\in A\}}$ ${\textstyle H_{A}=S_{A}\cup I_{A}}$

Reducción

El polinomio parcialmente reducido ( forma normal parcial ) con respecto al polinomio indica que estos polinomios son elementos de campo no fundamentales, y no contiene ninguna derivada propia de . ^{[30] [31] [29]} ${\textstyle q}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle p,q\in {\mathcal {K}}\{Y\}\setminus {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle u_{p}}$

Un polinomio parcialmente reducido con respecto a un polinomio se convierte en un polinomio reducido ( forma normal ) con respecto a si el grado de en es menor que el grado de en . ^{[30] [31] [29]} ${\textstyle q}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle u_{p}}$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle u_{p}}$ ${\textstyle p}$

Un conjunto de polinomios autorreducidos tiene cada polinomio reducido con respecto a cada uno de los demás polinomios del conjunto. Todo conjunto autorreducido es finito. Un conjunto autorreducido es triangular, lo que significa que cada elemento polinomial tiene una derivada principal distinta. ^{[32] [30]}

El algoritmo de reducción de Ritt identifica números enteros y transforma un polinomio diferencial mediante pseudodivisión en un polinomio con resto de rango inferior o igual que se reduce con respecto al conjunto de polinomios autorreducidos . El primer paso del algoritmo reduce parcialmente el polinomio de entrada y el segundo paso del algoritmo reduce completamente el polinomio. La fórmula para la reducción es: ^[30] ${\textstyle i_{A_{k}},s_{A_{k}}}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle f_{red}}$ ${\textstyle A}$

${\displaystyle f_{\text{red}}\equiv \prod _{A_{k}\in A}I_{A_{k}}^{i_{A_{k}}}\cdot S_{A_{k}}^{i_{A_{k}}}\cdot f,{\pmod {[A]}}{\text{ with }}i_{A_{k}},s_{A_{k}}\in \mathbb {N} .}$

Clasificación de conjuntos de polinomios

Un conjunto es una cadena diferencial si el rango de las derivadas principales es y se reduce con respecto a ^[33] ${\textstyle A}$ ${\textstyle u_{A_{1}}<\dots <u_{A_{m}}}$ ${\textstyle \forall i,\ A_{i}}$ ${\textstyle A_{i+1}}$

Los conjuntos autorreducidos contienen cada uno elementos polinómicos ordenados. Este procedimiento ordena dos conjuntos autorreducidos comparando pares de polinomios con índices idénticos de ambos conjuntos autorreducidos. ^[34] ${\textstyle A}$ ${\textstyle B}$

• ${\displaystyle A_{1}<\cdots <A_{m}\in A}$y y . ${\displaystyle B_{1}<\cdots <B_{n}\in B}$ ${\displaystyle i,j,k\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle {\text{rank }}A<{\text{rank }}B}$si existe un tal que para y . ${\displaystyle k\leq \operatorname {minimum} (m,n)}$ ${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$ ${\textstyle 1\leq i<k}$ ${\displaystyle A_{k}<B_{k}}$
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A<\operatorname {rank} B}$si y para . ${\displaystyle n<m}$ ${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A=\operatorname {rank} B}$si y para . ${\displaystyle n=m}$ ${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

Conjuntos polinómicos

Un conjunto característico es el subconjunto autorreducido de menor rango entre todos los subconjuntos autorreducidos del ideal cuyos separantes polinomiales del subconjunto no son miembros del ideal . ^[35] ${\textstyle C}$ ${\textstyle {\mathcal {I}}}$

El polinomio delta se aplica a un par de polinomios cuyos líderes comparten una derivada común, . El operador de derivada menos común para las derivadas principales del par de polinomios es , y el polinomio delta es: ^{[36] [37]} ${\textstyle p,q}$ ${\textstyle \theta _{\alpha }u_{p}=\theta _{\beta }u_{q}}$ ${\textstyle \theta _{pq}}$

${\displaystyle \operatorname {\Delta -poly} (p,q)=S_{q}\cdot {\frac {\theta _{pq}p}{\theta _{p}}}-S_{p}\cdot {\frac {\theta _{pq}q}{\theta _{q}}}}$

Un conjunto coherente es un conjunto polinomial que reduce sus pares de polinomios delta a cero. ^{[36] [37]}

Sistema regular e ideal regular

Un sistema regular contiene un conjunto autorreducido y coherente de ecuaciones diferenciales y un conjunto de inecuaciones con un conjunto reducido con respecto al conjunto de ecuaciones. ^[37] ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle H_{\Omega }\supseteq H_{A}}$ ${\textstyle H_{\Omega }}$

El ideal diferencial regular y el ideal algebraico regular son ideales de saturación que surgen de un sistema regular. ^[37] El lema de Lazard establece que los ideales diferenciales regulares y los ideales algebraicos regulares son ideales radicales. ^[38] ${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{dif}}}$ ${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{alg}}}$

• Ideal diferencial regular : ${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{dif}}=[A]:H_{\Omega }^{\infty }.}$
• Ideal algebraico regular : ${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{alg}}=(A):H_{\Omega }^{\infty }.}$

Algoritmo de Rosenfeld-Gröbner

El algoritmo de Rosenfeld-Gröbner descompone el ideal diferencial radical como una intersección finita de ideales diferenciales radicales regulares. Estos ideales diferenciales radicales regulares, representados por conjuntos característicos, no son necesariamente ideales primos y la representación no es necesariamente mínima . ^[39]

El problema de pertenencia consiste en determinar si un polinomio diferencial es miembro de un ideal generado a partir de un conjunto de polinomios diferenciales . El algoritmo de Rosenfeld–Gröbner genera conjuntos de bases de Gröbner. El algoritmo determina que un polinomio es miembro del ideal si y solo si el polinomio con resto parcialmente reducido es miembro del ideal algebraico generado por las bases de Gröbner. ^[40] ${\textstyle p}$ ${\textstyle S}$

El algoritmo de Rosenfeld-Gröbner facilita la creación de expansiones en series de Taylor de soluciones a las ecuaciones diferenciales. ^[41]

Ejemplos

Campos diferenciales

Ejemplo 1: es el campo de funciones meromórficas diferenciales con una única derivación estándar . ${\textstyle (\operatorname {Mer} (\operatorname {f} (y),\partial _{y}))}$

Ejemplo 2: es un campo diferencial con un operador diferencial lineal como derivación, para cualquier polinomio . ${\textstyle (\mathbb {C} \{y\},p(y)\cdot \partial _{y})}$ ${\displaystyle p(y)}$

Derivación

Definir como operador de desplazamiento para polinomio . ${\textstyle E^{a}(p(y))=p(y+a)}$ ${\textstyle E^{a}}$ ${\textstyle p(y)}$

Un operador invariante al desplazamiento conmuta con el operador de desplazamiento: . ${\textstyle T}$ ${\textstyle E^{a}\circ T=T\circ E^{a}}$

La derivada de Pincherle , una derivación del operador invariante al desplazamiento , es . ^[42] ${\textstyle T}$ ${\textstyle T^{\prime }=T\circ y-y\circ T}$

Constantes

El anillo de números enteros es , y cada número entero es una constante. ${\displaystyle (\mathbb {Z} .\delta )}$

• La derivación de 1 es cero . ${\textstyle \delta (1)=\delta (1\cdot 1)=\delta (1)\cdot 1+1\cdot \delta (1)=2\cdot \delta (1)\Rightarrow \delta (1)=0}$
• También, . ${\displaystyle \delta (m+1)=\delta (m)+\delta (1)=\delta (m)\Rightarrow \delta (m+1)=\delta (m)}$
• Por inducción, . ${\displaystyle \delta (1)=0\ \wedge \ \delta (m+1)=\delta (m)\Rightarrow \forall \ m\in \mathbb {Z} ,\ \delta (m)=0}$

El campo de los números racionales es , y todo número racional es una constante. ${\displaystyle (\mathbb {Q} .\delta )}$

• Todo número racional es un cociente de números enteros.

  ${\displaystyle \forall r\in \mathbb {Q} ,\ \exists \ a\in \mathbb {Z} ,\ b\in \mathbb {Z} /\{0\},\ r={\frac {a}{b}}}$

• Aplicar la fórmula de derivación para cocientes reconociendo que las derivaciones de números enteros son cero:

  ${\displaystyle \delta (r)=\delta \left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {\delta (a)\cdot b-a\cdot \delta (b)}{b^{2}}}=0}$.

Subanillo diferencial

Las constantes forman el subanillo de constantes . ^[43] ${\textstyle (\mathbb {C} ,\partial _{y})\subset (\mathbb {C} \{y\},\partial _{y})}$

Ideal diferencial

El elemento simplemente genera un ideal diferencial en el anillo diferencial . ^[44] ${\textstyle \exp(y)}$ ${\textstyle [\exp(y)]}$ ${\textstyle (\mathbb {C} \{y,\exp(y)\},\partial _{y})}$

Álgebra sobre un anillo diferencial

Cualquier anillo con identidad es un álgebra. ^[45] Por lo tanto, un anillo diferencial es un álgebra. ${\textstyle \operatorname {{\mathcal {Z}}-} }$ ${\textstyle \operatorname {{\mathcal {Z}}-} }$

Si un anillo es un subanillo del centro de un anillo unital , entonces es un álgebra. ^[45] Por lo tanto, un anillo diferencial es un álgebra sobre su subanillo diferencial. Esta es la estructura natural de un álgebra sobre su subanillo. ^[30] ${\textstyle {\mathcal {R}}}$ ${\textstyle {\mathcal {M}}}$ ${\textstyle {\mathcal {M}}}$ ${\textstyle \operatorname {{\mathcal {R}}-} }$

Polinomios especiales y normales

El anillo tiene polinomios irreducibles (normal, libre de cuadrados) y (especial, generador ideal). ${\textstyle (\mathbb {Q} \{y,z\},\partial _{y})}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle q}$

${\textstyle \partial _{y}(y)=1,\ \partial _{y}(z)=1+z^{2},\ z=\tan(y)}$

${\textstyle p(y)=1+y^{2},\ \partial _{y}(p)=2\cdot y,\ \gcd(p,\partial _{y}(p))=1}$

${\textstyle q(z)=1+z^{2},\ \partial _{y}(q)=2\cdot z\cdot (1+z^{2}),\ \gcd(q,\partial _{y}(q))=q}$

Polinomios

Categoría

El anillo tiene derivados y ${\textstyle (\mathbb {Q} \{y_{1},y_{2}\},\delta )}$ ${\textstyle \delta (y_{1})=y_{1}^{\prime }}$ ${\textstyle \delta (y_{2})=y_{2}^{\prime }}$

• Asigne cada derivada a una tupla de enteros: . ${\textstyle \eta (\delta ^{(i_{2})}(y_{i_{1}}))=(i_{1},i_{2})}$
• Derivadas de rango y tuplas enteras: . ${\textstyle y_{2}^{\prime \prime }\ (2,2)>y_{2}^{\prime }\ (2,1)>y_{2}\ (2,0)>y_{1}^{\prime \prime }\ (1,2)>y_{1}^{\prime }\ (1,1)>y_{1}\ (1,0)}$

Derivada principal e inicial

Los derivados principales y sus iniciales son:

${\textstyle p={\color {Blue}(y_{1}+y_{1}^{\prime })}\cdot ({\color {Red}y_{2}^{\prime \prime }})^{2}+3\cdot y_{1}^{2}\cdot {\color {Red}y_{2}^{\prime \prime }}+(y_{1}^{\prime })^{2}}$

${\textstyle q={\color {Blue}(y_{1}+3\cdot y_{1}^{\prime })}\cdot {\color {Red}y_{2}^{\prime \prime }}+y_{1}\cdot y_{2}^{\prime }+(y_{1}^{\prime })^{2}}$

${\textstyle r={\color {Blue}(y_{1}+3)}\cdot ({\color {Red}y_{1}^{\prime \prime }})^{2}+y_{1}^{2}\cdot {\color {Red}y_{1}^{\prime \prime }}+2\cdot y_{1}}$

Separadores

${\textstyle S_{p}=2\cdot (y_{1}+y_{1}^{\prime })\cdot y_{2}^{\prime \prime }+3\cdot y_{1}^{2}}$.

${\textstyle S_{q}=y_{1}+3\cdot y_{1}^{\prime }}$

${\textstyle S_{r}=2\cdot (y_{1}+3)\cdot y_{1}^{\prime \prime }+y_{1}^{2}}$

Conjuntos autorreducidos

• Los conjuntos autorreducidos son y . Cada conjunto es triangular con una derivada principal polinómica distinta. ${\textstyle \{p,r\}}$ ${\textstyle \{q,r\}}$
• El conjunto no autorreducido contiene sólo polinomios parcialmente reducidos con respecto a ; este conjunto no es triangular porque los polinomios tienen la misma derivada principal. ${\textstyle \{p,q\}}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle q}$

Aplicaciones

Integración simbólica

La integración simbólica utiliza algoritmos que involucran polinomios y sus derivados, como la reducción de Hermite, el algoritmo de Czichowski, el algoritmo de Lazard-Rioboo-Trager, el algoritmo de Horowitz-Ostrogradsky, la factorización libre de cuadrados y la factorización por división de polinomios especiales y normales. ^[46]

Ecuaciones diferenciales

El álgebra diferencial puede determinar si un conjunto de ecuaciones diferenciales polinómicas tiene una solución. Una clasificación de orden total puede identificar restricciones algebraicas. Una clasificación de eliminación puede determinar si una variable independiente o un grupo seleccionado de variables independientes pueden expresar las ecuaciones diferenciales. Mediante el uso de la descomposición triangular y el orden de eliminación, puede ser posible resolver las ecuaciones diferenciales una indeterminada diferencial a la vez mediante un método paso a paso. Otro enfoque es crear una clase de ecuaciones diferenciales con una forma de solución conocida; la correspondencia de una ecuación diferencial con su clase identifica la solución de la ecuación. Existen métodos para facilitar la integración numérica de un sistema de ecuaciones diferenciales-algebraicas . ^[47]

En un estudio de sistemas dinámicos no lineales con caos , los investigadores utilizaron la eliminación diferencial para reducir las ecuaciones diferenciales a ecuaciones diferenciales ordinarias que involucraban una sola variable de estado. Tuvieron éxito en la mayoría de los casos, y esto facilitó el desarrollo de soluciones aproximadas, la evaluación eficiente del caos y la construcción de funciones de Lyapunov . ^[48] Los investigadores han aplicado la eliminación diferencial para comprender la biología celular , los modelos bioquímicos compartimentados , la estimación de parámetros y la aproximación de estado cuasiestacionario (QSSA) para reacciones bioquímicas. ^{[49] [50] Utilizando bases diferenciales de Gröbner, los investigadores han investigado las propiedades} de simetría no clásica de las ecuaciones diferenciales no lineales . ^[51] Otras aplicaciones incluyen la teoría de control, la teoría de modelos y la geometría algebraica. ^{[52] [16] [53]} El álgebra diferencial también se aplica a las ecuaciones diferenciales-diferenciales. ^[54]

Álgebras con derivaciones

Espacio vectorial graduado diferencial

Un espacio vectorial es una colección de espacios vectoriales con grado entero para . Una suma directa puede representar este espacio vectorial graduado: ^[55] ${\textstyle \operatorname {\mathbb {Z} -graded} }$ ${\textstyle V_{\bullet }}$ ${\textstyle V_{m}}$ ${\textstyle |v|=m}$ ${\textstyle v\in V_{m}}$

${\displaystyle V_{\bullet }=\bigoplus _{m\in \mathbb {Z} }V_{m}}$

Un espacio vectorial graduado diferencial o complejo de cadena , es un espacio vectorial graduado con un mapa diferencial o mapa de contorno con . ^[56] ${\textstyle V_{\bullet }}$ ${\textstyle d_{m}:V_{m}\to V_{m-1}}$ ${\displaystyle d_{m}\circ d_{m+1}=0}$

Un complejo de cocadena es un espacio vectorial graduado con un mapa diferencial o un mapa de colímites con . ^[56] ${\textstyle V^{\bullet }}$ ${\textstyle d_{m}:V_{m}\to V_{m+1}}$ ${\displaystyle d_{m+1}\circ d_{m}=0}$

Álgebra graduada diferencial

Un álgebra graduada diferencial es un álgebra graduada con una derivación lineal que sigue la regla del producto graduado de Leibniz. ^[57] ${\textstyle A}$ ${\textstyle d:A\to A}$ ${\displaystyle d\circ d=0}$

• Regla del producto graduado de Leibniz: con el grado del vector . ${\displaystyle \forall a,b\in A,\ d(a\cdot b)=d(a)\cdot b+(-1)^{|a|}\cdot a\cdot d(b)}$ ${\displaystyle |a|}$ ${\displaystyle a}$

Álgebra de Lie

Un álgebra de Lie es un espacio vectorial real o complejo de dimensión finita con un operador de corchete bilineal con simetría sesgada y la propiedad de identidad de Jacobi . ^[58] ${\textstyle {\mathcal {g}}}$ ${\textstyle [,]:{\mathcal {g}}\times {\mathcal {g}}\to {\mathcal {g}}}$

• Simetría oblicua: ${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$
• Propiedad de identidad de Jacobi: ${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0}$

Para todos . ${\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {g}}}$

El operador adjunto es una derivación del corchete porque el efecto del adjunto en la operación de corchete binario es análogo al efecto de la derivación en la operación de producto binario. Esta es la derivación interna determinada por . ^{[59] [60]} ${\textstyle \operatorname {ad_{X}} (Y)=[Y,X]}$ ${\textstyle X}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}([Y,Z])=[\operatorname {ad} _{X}(Y),Z]+[Y,\operatorname {ad} _{X}(Z)]}$

El álgebra envolvente universal del álgebra de Lie es un álgebra asociativa máxima con identidad, generada por elementos del álgebra de Lie y que contiene productos definidos por la operación de corchetes. Máximo significa que un homomorfismo lineal asigna el álgebra universal a cualquier otra álgebra que tenga estas propiedades. El operador adjunto es una derivación que sigue la regla del producto de Leibniz. ^[61] ${\textstyle U({\mathcal {g}})}$ ${\textstyle {\mathcal {g}}}$ ${\textstyle {\mathcal {g}}}$

• Producto en  : ${\displaystyle U({\mathcal {g}})}$ ${\displaystyle X\cdot Y-Y\cdot X=[X,Y]}$
• Regla del producto de Leibniz: ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}(Y\cdot Z)=\operatorname {ad} _{X}(Y)\cdot Z+Y\cdot \operatorname {ad} _{X}(Z)}$

Para todos . ${\displaystyle X,Y,Z\in U({\mathcal {g}})}$

Álgebra de Weyl

El álgebra de Weyl es un álgebra sobre un anillo con un producto no conmutativo específico: ^[62] ${\textstyle A_{n}(K)}$ ${\textstyle K[p_{1},q_{1},\dots ,p_{n},q_{n}]}$

${\displaystyle p_{i}\cdot q_{i}-q_{i}\cdot p_{i}=1,\ :\ i\in \{1,\dots ,n\}}$.

Todos los demás productos indeterminados son conmutativos para : ${\textstyle i,j\in \{1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle p_{i}\cdot q_{j}-q_{j}\cdot p_{i}=0{\text{ if }}i\neq j,\ p_{i}\cdot p_{j}-p_{j}\cdot p_{i}=0,\ q_{i}\cdot q_{j}-q_{j}\cdot q_{i}=0}$.

Un álgebra de Weyl puede representar las derivaciones de los polinomios de un anillo conmutativo . Los elementos del álgebra de Weyl son endomorfismos , los elementos funcionan como derivaciones estándar y las composiciones de mapas generan operadores diferenciales lineales . El módulo D es un enfoque relacionado para comprender los operadores diferenciales. Los endomorfismos son: ^[62] ${\textstyle f\in K[y_{1},\ldots ,y_{n}]}$ ${\textstyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$

${\displaystyle q_{j}(y_{k})=y_{j}\cdot y_{k},\ q_{j}(c)=c\cdot y_{j}{\text{ with }}c\in K,\ p_{j}(y_{j})=1,\ p_{j}(y_{k})=0{\text{ if }}j\neq k,\ p_{j}(c)=0{\text{ with }}c\in K}$

Anillo de operadores pseudodiferenciales

El anillo asociativo, posiblemente no conmutativo, tiene derivación . ^[63] ${\textstyle A}$ ${\textstyle d:A\to A}$

El operador pseudodiferencial anillo es un anillo izquierdo que contiene elementos : ^{[63] [64] [65]} ${\textstyle A((\partial ^{-1}))}$ ${\textstyle \operatorname {A-module} }$ ${\textstyle L}$

${\displaystyle a_{i}\in A,\ i,i_{\min }\in \mathbb {N} ,\ |i_{\min }|>0\ :\ L=\sum _{i\geq i_{\min }}^{n}a_{i}\cdot \partial ^{i}}$

El operador derivado es . ^[63] ${\textstyle d(a)=\partial \circ a-a\circ \partial }$

El coeficiente binomial es . ${\displaystyle {\Bigl (}{i \atop k}{\Bigr )}}$

La multiplicación del operador pseudodiferencial es: ^[63]

${\displaystyle \sum _{i\geq i_{\min }}^{n}a_{i}\cdot \partial ^{i}\cdot \sum _{j\geq j_{\min }}^{m}b_{i}\cdot \partial ^{j}=\sum _{i,j;k\geq 0}{\Bigl (}{i \atop k}{\Bigr )}\cdot a_{i}\cdot d^{k}(b_{j})\cdot \partial ^{i+j-k}}$

Problemas abiertos

El problema de Ritt pregunta si existe un algoritmo que determine si un ideal diferencial primo contiene un segundo ideal diferencial primo cuando los conjuntos de características identifican ambos ideales. ^[66]

La conjetura de la catenaria de Kolchin establece que, dada una variedad algebraica diferencial irreducible dimensional y un punto arbitrario , se produce una larga cadena de subvariedades algebraicas diferenciales irreducibles desde hasta V. ^[67] ${\textstyle d>0}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle p\in V}$ ${\textstyle p}$

La conjetura del límite de Jacobi se refiere al límite superior del orden del componente irreducible de una variedad diferencial. Los órdenes del polinomio determinan un número de Jacobi, y la conjetura es que el número de Jacobi determina este límite. ^[68]

Véase también

• Derivada aritmética  : función definida sobre números enteros en la teoría de números
• Álgebra diferencial
• Geometría algebraica diferencial
• Cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas  – parte del álgebra conmutativaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Teoría diferencial de Galois  – Estudio de los grupos de simetría de Galois de campos diferenciales
• Campo cerrado diferencialmente
• Álgebra graduada diferencial  – Estructura algebraica en el álgebra homológica
• Módulo D  : módulo sobre un haz de operadores diferencialesPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Campo Hardy  – Concepto matemático
• Diferencial de Kähler  – Forma diferencial en álgebra conmutativa
• Teorema de Liouville (álgebra diferencial)  : dice cuándo las antiderivadas de funciones elementales pueden expresarse como funciones elementales.
• Teoría de Picard-Vessiot  : estudio de extensiones de campo diferenciales inducidas por ecuaciones diferenciales lineales
• Los problemas de Kolchin

Citas

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Referencias

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Enlaces externos

• La página de inicio de David Marker tiene varias encuestas en línea que analizan los campos diferenciales.