Polidisco

Producto cartesiano de discos

En la teoría de funciones de varias variables complejas , una rama de las matemáticas , un polidisco es un producto cartesiano de discos .

Más específicamente, si denotamos por el disco abierto de centro z y radio r en el plano complejo , entonces un polidisco abierto es un conjunto de la forma ${\displaystyle D(z,r)}$

${\displaystyle D(z_{1},r_{1})\times \dots \times D(z_{n},r_{n}).}$

Se puede escribir de forma equivalente como

${\displaystyle \{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in {\mathbf {C} }^{n}:\vert z_{k}-w_{k}\vert <r_{k},{\mbox{ for all }}k=1,\dots ,n\}.}$

No se debe confundir el polidisco con la bola abierta en C ⁿ , que se define como

${\displaystyle \{w\in \mathbf {C} ^{n}:\lVert z-w\rVert <r\}.}$

Aquí, la norma es la distancia euclidiana en C ⁿ .

Cuando , las bolas abiertas y los polidiscos abiertos no son biholomórficamente equivalentes, es decir, no hay una aplicación biholomórfica entre los dos. Esto fue demostrado por Poincaré en 1907 al mostrar que sus grupos de automorfismos tienen dimensiones diferentes a las de los grupos de Lie . ^[1] ${\displaystyle n>1}$

Cuando se utiliza a veces el término bidisc . ${\displaystyle n=2}$

Un polidisco es un ejemplo de dominio de Reinhardt logarítmicamente convexo .

Referencias

1. Poincaré, H, Las funciones analíticas de dos variables y la representación conforme, Rend. Circo. Estera. Palermo23 (1907), 185-220

• Steven G Krantz (1 de enero de 2002). Teoría de funciones de varias variables complejas . American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2724-3.
• John P D'Angelo, D'Angelo P D'Angelo (6 de enero de 1993). Varias variables complejas y la geometría de hipersuperficies reales . CRC Press. ISBN 0-8493-8272-6.

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