Problema de Cauchy

Clase de problemas para ecuaciones en derivadas parciales

Un problema de Cauchy en matemáticas solicita la solución de una ecuación diferencial parcial que satisface ciertas condiciones que se dan en una hipersuperficie en el dominio. ^[1] Un problema de Cauchy puede ser un problema de valor inicial o un problema de valor en la frontera (para este caso, consulte también condición de frontera de Cauchy ). Recibe su nombre en honor a Augustin-Louis Cauchy .

Declaración formal

Para una ecuación diferencial parcial definida en R ⁿ⁺¹ y una variedad suave S ⊂ R ⁿ⁺¹ de dimensión n ( S se llama superficie de Cauchy ), el problema de Cauchy consiste en encontrar las funciones desconocidas de la ecuación diferencial con respecto a las variables independientes que satisfacen ^[2] sujetas a la condición, para algún valor , ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{N}}$ ${\displaystyle t,x_{1},\dots ,x_{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{n_{i}}u_{i}}{\partial t^{n_{i}}}}=F_{i}\left(t,x_{1},\dots ,x_{n},u_{1},\dots ,u_{N},\dots ,{\frac {\partial ^{k}u_{j}}{\partial t^{k_{0}}\partial x_{1}^{k_{1}}\dots \partial x_{n}^{k_{n}}}},\dots \right)\\&{\text{for }}i,j=1,2,\dots ,N;\,k_{0}+k_{1}+\dots +k_{n}=k\leq n_{j};\,k_{0}<n_{j}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle t=t_{0}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{k}u_{i}}{\partial t^{k}}}=\phi _{i}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dots ,n_{i}-1}$$

donde se dan funciones definidas en la superficie (conocidas colectivamente como los datos de Cauchy del problema). La derivada de orden cero significa que la función en sí está especificada. ${\displaystyle \phi _{i}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle S}$

Teorema de Cauchy-Kowalevski

El teorema de Cauchy-Kowalevski establece que si todas las funciones son analíticas en algún entorno del punto , y si todas las funciones son analíticas en algún entorno del punto , entonces el problema de Cauchy tiene una solución analítica única en algún entorno del punto ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle (t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,\phi _{j,k_{0},k_{1},\dots ,k_{n}}^{0},\dots )}$ ${\displaystyle \phi _{j}^{(k)}}$ ${\displaystyle (x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,x_{n}^{0})}$ ${\displaystyle (t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,x_{n}^{0})}$ .

Véase también

• Portal de matemáticas

• Condición de contorno de Cauchy
• Horizonte de Cauchy

Referencias

1. Hadamard, Jacques (1923). Lecciones sobre el problema de Cauchy en ecuaciones diferenciales parciales lineales . New Haven: Yale University Press. págs. 4-5. OCLC  1880147.
2. Petrovsky, IG (1991) [1954]. Lecciones sobre ecuaciones diferenciales parciales . Traducido por Shenitzer, A. (ed. Dover). Nueva York: Interscience. ISBN 0-486-66902-5.

3.^ Hille, Einar (1956)[1954]. Algunos aspectos del problema de Cauchy Actas del ICM de 1954 vol. III sección II (discurso invitado de media hora de análisis) págs. 109 a 16.

4.^ Sigeru Mizohata (溝畑 茂 1965). Conferencias sobre el problema de Cauchy. Instituto Tata de Investigación Fundamental.

5.^ Sigeru Mizohata (1985). Sobre el problema de Cauchy. Notas e informes sobre matemáticas en la ciencia y la ingeniería. 3. Academic Press, Inc.. ISBN 9781483269061

6.^Arendt, Wolfgang; Batty, Charles; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2001), Transformadas de Laplace con valores vectoriales y problemas de Cauchy, Birkhauser.

Enlaces externos

• Problema de Cauchy en MathWorld .