Solución fundamental

Concepto en la solución de ecuaciones diferenciales parciales lineales

En matemáticas , una solución fundamental para un operador diferencial parcial lineal L es una formulación en el lenguaje de la teoría de distribución de la idea más antigua de una función de Green (aunque a diferencia de las funciones de Green, las soluciones fundamentales no abordan las condiciones de contorno).

En términos de la "función" delta de Dirac δ ( x ) , una solución fundamental F es una solución de la ecuación no homogénea

LF = δ ( x ) .

Aquí a priori sólo se supone que F es una distribución .

Este concepto se ha utilizado durante mucho tiempo para el laplaciano en dos y tres dimensiones. Marcel Riesz lo investigó para todas las dimensiones del laplaciano .

La existencia de una solución fundamental para cualquier operador con coeficientes constantes —el caso más importante, directamente relacionado con la posibilidad de utilizar la convolución para resolver un lado derecho arbitrario— fue demostrada por Bernard Malgrange y Leon Ehrenpreis , y hay una prueba disponible en Joel Smoller (1994) ^[1] . En el contexto del análisis funcional , las soluciones fundamentales se desarrollan habitualmente a través de la alternativa de Fredholm y se exploran en la teoría de Fredholm .

Ejemplo

Considere la siguiente ecuación diferencial Lf = sin( x ) con $${\displaystyle L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}.}$$

Las soluciones fundamentales se pueden obtener resolviendo LF = δ ( x ) , explícitamente, $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}F(x)=\delta (x)\,.}$$

Dado que para la función escalón unitario (también conocida como función de Heaviside ) H tenemos que hay una solución Aquí C es una constante arbitraria introducida por la integración. Para mayor comodidad, establezca C = −1/2 . $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}H(x)=\delta (x)\,,}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}F(x)=H(x)+C\,.}$$

Después de integrar y elegir la nueva constante de integración como cero, se tiene ${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}}$ $${\displaystyle F(x)=xH(x)-{\frac {1}{2}}x={\frac {1}{2}}|x|~.}$$

Motivación

Una vez que se encuentra la solución fundamental, es sencillo encontrar una solución de la ecuación original, mediante la convolución de la solución fundamental y el lado derecho deseado.

Las soluciones fundamentales también juegan un papel importante en la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales mediante el método de elementos de contorno .

Aplicación al ejemplo

Consideremos el operador L y la ecuación diferencial mencionada en el ejemplo, $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=\sin(x)\,.}$$

Podemos encontrar la solución de la ecuación original mediante la convolución (indicada por un asterisco) del lado derecho con la solución fundamental : ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \sin(x)}$ ${\textstyle F(x)={\frac {1}{2}}|x|}$ $${\displaystyle f(x)=(F*\sin )(x):=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2}}|x-y|\sin(y)\,dy\,.}$$

Esto demuestra que se debe tener cierto cuidado al trabajar con funciones que no tienen suficiente regularidad (por ejemplo, soporte compacto, integrabilidad L ¹ ), ya que sabemos que la solución deseada es f ( x ) = −sin( x ) , mientras que la integral anterior diverge para todo x . Sin embargo, las dos expresiones para f son iguales como distribuciones.

Un ejemplo que funciona más claramente

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=I(x)\,,}$$donde I es la función característica (indicadora) del intervalo unitario [0,1] . En ese caso, se puede verificar que la convolución de I con F ( x ) = | x |/2 es que es una solución, es decir, tiene segunda derivada igual a I . $${\displaystyle (I*F)(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{4}},&0\leq x\leq 1\\|{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{4}}|,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Prueba de que la convolución es una solución

Denotemos la convolución de las funciones F y g como F ∗ g . Digamos que estamos tratando de encontrar la solución de Lf = g ( x ) . Queremos demostrar que F ∗ g es una solución de la ecuación anterior, es decir, queremos demostrar que L ( F ∗ g ) = g . Al aplicar el operador diferencial, L , a la convolución, se sabe que siempre que L tenga coeficientes constantes. $${\displaystyle L(F*g)=(LF)*g\,,}$$

Si F es la solución fundamental, el lado derecho de la ecuación se reduce a $${\displaystyle \delta *g~.}$$

Pero como la función delta es un elemento de identidad para la convolución, esto es simplemente g ( x ) . Resumiendo, $${\displaystyle L(F*g)=(LF)*g=\delta (x)*g(x)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)g(y)\,dy=g(x)\,.}$$

Por lo tanto, si F es la solución fundamental, la convolución F ∗ g es una solución de Lf = g ( x ) . Esto no significa que sea la única solución. Se pueden encontrar varias soluciones para diferentes condiciones iniciales.

Soluciones fundamentales para algunas ecuaciones diferenciales parciales

Mediante la transformada de Fourier se puede obtener lo siguiente:

Ecuación de Laplace

Para la ecuación de Laplace , las soluciones fundamentales en dos y tres dimensiones, respectivamente, son $${\displaystyle [-\Delta ]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$$ $${\displaystyle \Phi _{\textrm {2D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {1}{2\pi }}\ln |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|,\qquad \Phi _{\textrm {3D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {1}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}~.}$$

Ecuación de Poisson filtrada

Para la ecuación de Poisson filtrada , las soluciones fundamentales son donde es una función de Bessel modificada del segundo tipo. $${\displaystyle [-\Delta +k^{2}]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} '),\quad k\in \mathbb {R} ,}$$ $${\displaystyle \Phi _{\textrm {2D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {1}{2\pi }}K_{0}(k|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|),\qquad \Phi _{\textrm {3D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {\exp(-k|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|)}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}},}$$ ${\displaystyle K_{0}}$

En dimensiones superiores, la solución fundamental de la ecuación de Poisson apantallada viene dada por el potencial de Bessel .

Ecuación biarmónica

Para la ecuación biarmónica , la ecuación biarmónica tiene las soluciones fundamentales $${\displaystyle [-\Delta ^{2}]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$$ $${\displaystyle \Phi _{\textrm {2D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{2}}{8\pi }}\ln |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|,\qquad \Phi _{\textrm {3D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}{8\pi }}~.}$$

Procesamiento de señales

En el procesamiento de señales , el análogo de la solución fundamental de una ecuación diferencial se denomina respuesta al impulso de un filtro.

Véase también

• Función de Green
• Respuesta al impulso
• Parametrix

Referencias

1. Smoller, Joel (1994). "7. Teoría de la distribución". Ondas de choque y ecuaciones de reacción y difusión (2.ª ed.). Springer Nueva York, NY. ISBN 978-0-387-94259-9.

• "Solución fundamental", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Para el ajuste de la función de Green en el límite, consulte las notas de Shijue Wu.