Ecuación de Poisson filtrada

En física , la ecuación de Poisson filtrada es una ecuación de Poisson , que surge (por ejemplo) en la ecuación de Klein-Gordon , la detección de campos eléctricos en plasmas y la fluidez granular no local ^[1] en el flujo granular .

Declaración de la ecuación

La ecuación es

$${\displaystyle \left[\Delta -\lambda ^{2}\right]u(\mathbf {r} )=-f(\mathbf {r} ),}$$

donde es el operador de Laplace , λ es una constante que expresa el "cribado", f es una función arbitraria de posición (conocida como "función fuente") y u es la función a determinar. ${\displaystyle \Delta }$

En el caso homogéneo ( f = 0), la ecuación de Poisson filtrada es la misma que la ecuación de Klein-Gordon independiente del tiempo . En el caso no homogéneo, la ecuación de Poisson filtrada es muy similar a la ecuación no homogénea de Helmholtz , siendo la única diferencia el signo entre paréntesis.

Electrostática

En el cribado de campo eléctrico , la ecuación de Poisson cribada para el potencial eléctrico suele escribirse como (unidades SI) ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle \left[\Delta -k_{0}^{2}\right]\phi (\mathbf {r} )=-{\frac {\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}{\epsilon _{0}}},}$$

donde es la longitud del cribado, es la densidad de carga producida por un campo externo en ausencia de cribado y es la permitividad del vacío . Esta ecuación se puede derivar en varios modelos de cribado, como el cribado de Thomas-Fermi en física del estado sólido y el cribado de Debye en plasmas. . ${\displaystyle k_{0}^{-1}}$ ${\displaystyle \rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \epsilon _{0}}$

Soluciones

Tres dimensiones

Sin pérdida de generalidad, consideraremos que λ no es negativo. Cuando λ es cero , la ecuación se reduce a la ecuación de Poisson . Por lo tanto, cuando λ es muy pequeño, la solución se aproxima a la de la ecuación de Poisson no apantallada, que, en dimensión , es una superposición de funciones 1/ r ponderadas por la función fuente f : ${\displaystyle n=3}$

$${\displaystyle u(\mathbf {r} )_{({\text{Poisson}})}=\iiint \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}$$

Por otro lado, cuando λ es extremadamente grande, u se acerca al valor f / λ ² , que tiende a cero cuando λ tiende a infinito. Como veremos, la solución para valores intermedios de λ se comporta como una superposición de funciones 1/ r apantalladas (o amortiguadas) , comportándose λ como la fuerza del apantallamiento.

La ecuación de Poisson filtrada se puede resolver para f general utilizando el método de las funciones de Green . La función de Green G está definida por

$${\displaystyle \left[\Delta -\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {r} )=-\delta ^{3}(\mathbf {r} ),}$$

³función deltaR ³

Suponiendo que u y sus derivadas desaparezcan en r grande , podemos realizar una transformada de Fourier continua en coordenadas espaciales:

$${\displaystyle G(\mathbf {k} )=\iiint \mathrm {d} ^{3}r\;G(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$

donde la integral se toma sobre todo el espacio. Entonces es sencillo demostrar que

$${\displaystyle \left[k^{2}+\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {k} )=1.}$$

Por tanto , la función de Green en r viene dada por la transformada de Fourier inversa,

$${\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\;\iiint \mathrm {d} ^{3}\!k\;{\frac {e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.}$$

Esta integral se puede evaluar utilizando coordenadas esféricas en el espacio k . La integración sobre las coordenadas angulares es sencilla y la integral se reduce a uno sobre el número de onda radial : ${\displaystyle k_{r}}$

$${\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi ^{2}r}}\;\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} k_{r}\;{\frac {k_{r}\,\sin k_{r}r}{k_{r}^{2}+\lambda ^{2}}}.}$$

Esto puede evaluarse utilizando la integración de contornos . El resultado es:

$${\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {e^{-\lambda r}}{4\pi r}}.}$$

La solución al problema completo viene dada entonces por

$${\displaystyle u(\mathbf {r} )=\int \mathrm {d} ^{3}r'G(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')f(\mathbf {r} ')=\int \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {e^{-\lambda |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}f(\mathbf {r} ').}$$

Como se indicó anteriormente, esta es una superposición de funciones apantalladas 1/ r , ponderadas por la función fuente f y con λ actuando como la fuerza de la apantallamiento. La función 1/ r apantallada se encuentra a menudo en física como un potencial de Coulomb apantallado, también llamado " potencial de Yukawa ".

Dos dimensiones

En dos dimensiones: en el caso de un plasma magnetizado, la ecuación de Poisson apantallada es casi 2D:

$${\displaystyle \left(\Delta _{\perp }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)u(\mathbf {r} _{\perp })=-f(\mathbf {r} _{\perp })}$$

radio de Larmortransformada de Fourierfunción de Green ${\displaystyle \Delta _{\perp }=\nabla \cdot \nabla _{\perp }}$ ${\displaystyle \nabla _{\perp }=\nabla -{\frac {\mathbf {B} }{B}}\cdot \nabla }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle G(\mathbf {k_{\perp }} )=\iint d^{2}r~G(\mathbf {r} _{\perp })e^{-i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}.}$$

$${\displaystyle \left(k_{\perp }^{2}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)G(\mathbf {k} _{\perp })=1.}$$

función de Greentransformada inversa de Fourier

$${\displaystyle G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\;\iint \mathrm {d} ^{2}\!k\;{\frac {e^{i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}}{k_{\perp }^{2}+1/\rho ^{2}}}.}$$

coordenadas polaresel espacio k

$${\displaystyle \mathbf {k} _{\perp }=(k_{r}\cos(\theta ),k_{r}\sin(\theta ))}$$

función de Besselnúmero de onda ${\displaystyle k_{r}}$

$${\displaystyle G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{2\pi }}\;\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} k_{r}\;{\frac {k_{r}\,J_{0}(k_{r}r_{\perp })}{k_{r}^{2}+1/\rho ^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}K_{0}(r_{\perp }\,/\,\rho ).}$$

Conexión a la distribución de Laplace

Las funciones de Green tanto en 2D como en 3D son idénticas a la función de densidad de probabilidad de la distribución multivariada de Laplace para dos y tres dimensiones respectivamente.

Ver también

• interacción yukawa

Referencias

1. Kamrin, Ken; Koval, Georg (26 de abril de 2012). "Relación constitutiva no local para un flujo granular constante" (PDF) . Cartas de revisión física . 108 (17): 178301. Código bibliográfico : 2012PhRvL.108q8301K. doi : 10.1103/PhysRevLett.108.178301. hdl : 1721.1/71598 . PMID  22680912.