Contenido de Minkowski

El contenido de Minkowski (llamado así por Hermann Minkowski ), o medida límite , de un conjunto es un concepto básico que utiliza conceptos de la geometría y la teoría de la medida para generalizar las nociones de longitud de una curva suave en el plano y área de una superficie suave en el espacio , a conjuntos medibles arbitrarios .

Se aplica típicamente a los límites fractales de dominios en el espacio euclidiano , pero también se puede utilizar en el contexto de espacios de medida métrica general.

Está relacionado con la medida de Hausdorff , aunque es diferente .

Definición

Para , y cada entero m con , el contenido de Minkowski superior m -dimensional es ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 0\leq m\leq n}$

${\displaystyle M^{*m}(A)=\limsup _{r\to 0^{+}}{\frac {\mu (\{x:d(x,A)<r\})}{\alpha (n-m)r^{n-m}}}}$

y el contenido de Minkowski inferior de dimensión m se define como

${\displaystyle M_{*}^{m}(A)=\liminf _{r\to 0^{+}}{\frac {\mu (\{x:d(x,A)<r\})}{\alpha (n-m)r^{n-m}}}}$

donde es el volumen de la ( n − m )-bola de radio r y es una medida de Lebesgue -dimensional . ${\displaystyle \alpha (n-m)r^{n-m}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle n}$

Si el contenido de Minkowski m -dimensional superior e inferior de A son iguales, entonces su valor común se denomina contenido de Minkowski M ^m ( A ). ^{[1] [2]}

Propiedades

• El contenido de Minkowski (en general) no es una medida. En particular, el contenido de Minkowski m -dimensional en R ⁿ no es una medida a menos que m  = 0, en cuyo caso es la medida de conteo . De hecho, claramente el contenido de Minkowski asigna el mismo valor al conjunto A y a su clausura .
• Si A es un conjunto m - rectificable cerrado en R ⁿ , dado como la imagen de un conjunto acotado de R ^m bajo una función de Lipschitz , entonces el contenido de Minkowski m -dimensional de A existe, y es igual a la medida de Hausdorff m -dimensional de A . ^[3]

Véase también

• Desigualdad isoperimétrica gaussiana
• Teoría de la medida geométrica
• Desigualdad isoperimétrica en dimensiones superiores
• Dimensión de Minkowski-Bouligand

Notas al pie

1. Federer 1969, pág. 273
2. Krantz y Parks 1999, pág. 74
3. Federer 1969, pag. 275, Teorema 3.2.39

Referencias

• Federer, Herbert (1969), Teoría de la medida geométrica , Springer-Verlag, ISBN 3-540-60656-4.
• Krantz, Steven G.; Parks, Harold R. (1999), La geometría de los dominios en el espacio , Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher, Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN 0-8176-4097-5, Sr.  1730695.