Operador ilimitado

Operador lineal definido en un subespacio lineal denso

En matemáticas , más específicamente en análisis funcional y teoría de operadores , la noción de operador ilimitado proporciona un marco abstracto para tratar con operadores diferenciales , observables ilimitados en mecánica cuántica y otros casos.

El término "operador ilimitado" puede inducir a error, ya que

• En ocasiones, "ilimitado" debe entenderse como "no necesariamente limitado";
• "operador" debe entenderse como " operador lineal " (como en el caso de "operador acotado");
• el dominio del operador es un subespacio lineal , no necesariamente todo el espacio;
• este subespacio lineal no es necesariamente cerrado ; a menudo (pero no siempre) se supone que es denso ;
• Aún así, en el caso especial de un operador acotado, normalmente se supone que el dominio es todo el espacio.

A diferencia de los operadores acotados , los operadores ilimitados en un espacio dado no forman un álgebra , ni siquiera un espacio lineal, porque cada uno está definido en su propio dominio.

El término "operador" a menudo significa "operador lineal acotado", pero en el contexto de este artículo significa "operador ilimitado", con las reservas formuladas anteriormente. Se supone que el espacio dado es un espacio de Hilbert . ^{[ aclaración necesaria ]} Son posibles algunas generalizaciones a espacios de Banach y espacios vectoriales topológicos más generales .

Historia corta

La teoría de los operadores ilimitados se desarrolló a finales de los años 1920 y principios de los 1930 como parte del desarrollo de un marco matemático riguroso para la mecánica cuántica . ^[1] El desarrollo de la teoría se debe a John von Neumann ^[2] y Marshall Stone . ^[3] Von Neumann introdujo el uso de gráficos para analizar operadores ilimitados en 1932. ^[4]

Definiciones y propiedades básicas.

Sean X , Y espacios de Banach . Un operador ilimitado (o simplemente operador ) T  : D ( T ) → Y es un mapa lineal T desde un subespacio lineal D ( T ) ⊆ X —el dominio de T — al espacio Y. ^[5] Contrariamente a la convención habitual, T no puede definirse en todo el espacio X.

Se dice que un operador T es cerrado si su gráfico Γ( T ) es un conjunto cerrado . ^[6] (Aquí, el gráfico Γ( T ) es un subespacio lineal de la suma directa X ⊕ Y , definido como el conjunto de todos los pares ( x , Tx ) , donde x recorre el dominio de T  .) Explícitamente, esto significa que para cada secuencia { x _n } de puntos del dominio de T tal que x _n → x y Tx _n → y , se cumple que x pertenece al dominio de T y Tx = y . ^[6] El carácter cerrado también se puede formular en términos de la norma gráfica : un operador T es cerrado si y sólo si su dominio D ( T ) es un espacio completo con respecto a la norma: ^[7]

${\displaystyle \|x\|_{T}={\sqrt {\|x\|^{2}+\|Tx\|^{2}}}.}$

Se dice que un operador T está densamente definido si su dominio es denso en X. ^[5] Esto también incluye operadores definidos en todo el espacio X , ya que todo el espacio es denso en sí mismo. La densidad del dominio es necesaria y suficiente para la existencia del adjunto (si X e Y son espacios de Hilbert) y la transpuesta; consulte las secciones siguientes.

Si T  : X → Y es cerrado, densamente definido y continuo en su dominio, entonces su dominio es todo X . ^{[nota 1]}

Un operador simétrico densamente definido T en un espacio de Hilbert H se llama acotado desde abajo si T + a es un operador positivo para algún número real a . Es decir, ⟨ Tx | x ⟩ ≥ − a || x || ² para todo x en el dominio de T (o alternativamente ⟨ Tx | x ⟩ ≥ a || x || ² ya que a es arbitrario). ^[8] Si tanto T como − T están acotados desde abajo, entonces T está acotado. ^[8]

Ejemplo

Sea C ([0, 1]) el espacio de funciones continuas en el intervalo unitario, y sea C ¹ ([0, 1]) el espacio de funciones continuamente diferenciables. Lo dotamos de la norma suprema, convirtiéndolo en un espacio de Banach. Definir el operador de diferenciación clásico. ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$d/dx : C ¹ ([0, 1]) → C ([0, 1]) por la fórmula habitual:

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}f\right)(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},\qquad \forall x\in [0,1].}$

Cada función diferenciable es continua, entonces C ¹ ([0, 1]) ⊆ C ([0, 1]) . Afirmamos qued/dx : C ([0, 1]) → C ([0, 1]) es un operador ilimitado bien definido, con dominio C ¹ ([0, 1]) . Para esto, necesitamos demostrar que es lineal y luego, por ejemplo, exhibir algo tal que y . ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n}\subset C^{1}([0,1])}$ ${\displaystyle \|f_{n}\|_{\infty }=1}$ ${\displaystyle \sup _{n}\|{\frac {d}{dx}}f_{n}\|_{\infty }=+\infty }$

Este es un operador lineal, ya que una combinación lineal a f  + bg de dos funciones continuamente diferenciables f  , g también es continuamente diferenciable, y 

${\displaystyle \left({\tfrac {d}{dx}}\right)(af+bg)=a\left({\tfrac {d}{dx}}f\right)+b\left({\tfrac {d}{dx}}g\right).}$

El operador no está limitado. Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [-1,1]\\f_{n}(x)=\sin(2\pi nx)\end{cases}}}$

satisfacer

${\displaystyle \left\|f_{n}\right\|_{\infty }=1,}$

pero

${\displaystyle \left\|\left({\tfrac {d}{dx}}f_{n}\right)\right\|_{\infty }=2\pi n\to \infty }$

como . ${\displaystyle n\to \infty }$

El operador está densamente definido y cerrado.

El mismo operador puede tratarse como un operador Z → Z para muchas opciones del espacio de Banach Z y no estar delimitado entre ninguna de ellas. Al mismo tiempo, puede estar acotado como operador X → Y para otros pares de espacios de Banach X , Y , y también como operador Z → Z para algunos espacios vectoriales topológicos Z . ^{[ se necesita aclaración ]} Como ejemplo, sea I ⊂ R un intervalo abierto y considere

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}:\left(C^{1}(I),\|\cdot \|_{C^{1}}\right)\to \left(C(I),\|\cdot \|_{\infty }\right),}$

dónde:

${\displaystyle \|f\|_{C^{1}}=\|f\|_{\infty }+\|f'\|_{\infty }.}$

adjunto

El adjunto de un operador ilimitado se puede definir de dos formas equivalentes. Sea un operador ilimitado entre espacios de Hilbert. ${\displaystyle T:D(T)\subseteq H_{1}\to H_{2}}$

En primer lugar, se puede definir de forma análoga a cómo se define el adjunto de un operador acotado. Es decir, el adjunto de T se define como un operador con la propiedad: ${\displaystyle T^{*}:D\left(T^{*}\right)\subseteq H_{2}\to H_{1}}$

$${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\left\langle x\mid T^{*}y\right\rangle _{1},\qquad x\in D(T).}$$

Tteorema de Hahn-Banach ${\displaystyle T^{*}y}$ ${\displaystyle y\in H_{2}}$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle D\left(T^{*}\right),}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle H_{1}}$

$${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid z\rangle _{1},\qquad x\in D(T),}$$

el teorema de representación de RieszTT ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$ ${\displaystyle T^{*}y=z}$ ${\displaystyle T^{*},}$ ${\displaystyle T^{*}y}$

Por definición, el dominio de consta de elementos de tal manera que es continuo en el dominio de T. En consecuencia, el dominio de podría ser cualquier cosa; podría ser trivial (es decir, contener sólo cero). ^[9] Puede suceder que el dominio de sea un hiperplano cerrado y desaparezca en todas partes del dominio. ^{[10] [11]} Por lo tanto, la acotación de en su dominio no implica la acotación de T . Por otro lado, si se define en todo el espacio, entonces T está acotado en su dominio y, por lo tanto, puede extenderse por continuidad a un operador acotado en todo el espacio. ^{[nb 2]} Si el dominio de es denso, entonces tiene su adjunto ^[12] Un operador cerrado densamente definido T está acotado si y sólo si está acotado. ^{[nota 3]} ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{**}.}$ ${\displaystyle T^{*}}$

La otra definición equivalente del adjunto se puede obtener observando un hecho general. Defina un operador lineal de la siguiente manera: ^[12] ${\displaystyle J}$

$${\displaystyle {\begin{cases}J:H_{1}\oplus H_{2}\to H_{2}\oplus H_{1}\\J(x\oplus y)=-y\oplus x\end{cases}}}$$

T^[13] ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J(\Gamma (T))^{\bot }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid Sy\rangle _{1},}$$

xTT ${\displaystyle S}$

De la definición anterior se deduce inmediatamente que el adjunto está cerrado. ^[12] En particular, un operador autoadjunto (es decir , ) está cerrado. Un operador T es cerrado y densamente definido si y sólo si ^{[nb 4]} ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T=T^{*}}$ ${\displaystyle T^{**}=T.}$

Algunas propiedades bien conocidas de los operadores acotados se generalizan a operadores cerrados densamente definidos. El núcleo de un operador cerrado está cerrado. Además, el núcleo de un operador cerrado densamente definido coincide con el complemento ortogonal del rango del adjunto. Es decir, ^[14] ${\displaystyle T:H_{1}\to H_{2}}$

$${\displaystyle \operatorname {ker} (T)=\operatorname {ran} (T^{*})^{\bot }.}$$

El teorema de von Neumann^[15]T ${\displaystyle T^{*}T}$ ${\displaystyle TT^{*}}$ ${\displaystyle I+T^{*}T}$ ${\displaystyle I+TT^{*}}$ ${\displaystyle T^{*}}$

T es sobreyectivo si y solo si existe un tal que para todo en ^{[nb 5]} (Esto es esencialmente una variante del llamado teorema del rango cerrado ). En particular, T tiene rango cerrado si y solo si tiene rango cerrado. ${\displaystyle K>0}$ ${\displaystyle \|f\|_{2}\leq K\left\|T^{*}f\right\|_{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D\left(T^{*}\right).}$ ${\displaystyle T^{*}}$

A diferencia del caso acotado, no es necesario que así sea, ya que, por ejemplo, es incluso posible que no exista. ^{[ cita necesaria ]} Sin embargo, este es el caso si, por ejemplo, T está acotado. ^[dieciséis] ${\displaystyle (TS)^{*}=S^{*}T^{*},}$ ${\displaystyle (TS)^{*}}$

Un operador cerrado T densamente definido se denomina normal si satisface las siguientes condiciones equivalentes: ^[17]

• ${\displaystyle T^{*}T=TT^{*}}$;
• el dominio de T es igual al dominio de y para cada x en este dominio; ${\displaystyle T^{*},}$ ${\displaystyle \|Tx\|=\left\|T^{*}x\right\|}$
• existen operadores autoadjuntos tales que y para cada x en el dominio de T . ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle T=A+iB,}$ ${\displaystyle T^{*}=A-iB,}$ ${\displaystyle \|Tx\|^{2}=\|Ax\|^{2}+\|Bx\|^{2}}$

Todo operador autoadjunto es normal.

Transponer

Sea un operador entre espacios de Banach. Entonces la transpuesta (o dual ) de es el operador lineal que satisface: ${\displaystyle T:B_{1}\to B_{2}}$ ${\displaystyle {}^{t}T:{B_{2}}^{*}\to {B_{1}}^{*}}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \langle Tx,y'\rangle =\langle x,\left({}^{t}T\right)y'\rangle }$$

^[18] ${\displaystyle x\in B_{1}}$ ${\displaystyle y\in B_{2}^{*}.}$ ${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x).}$

La condición necesaria y suficiente para que exista la transposición de es que esté densamente definida (esencialmente por la misma razón que para los adjuntos, como se discutió anteriormente). ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Para cualquier espacio de Hilbert existe el isomorfismo antilineal: ${\displaystyle H,}$

$${\displaystyle J:H^{*}\to H}$$

^[19] ${\displaystyle Jf=y}$ ${\displaystyle f(x)=\langle x\mid y\rangle _{H},(x\in H).}$ ${\displaystyle {}^{t}T}$ ${\displaystyle T^{*}}$

$${\displaystyle T^{*}=J_{1}\left({}^{t}T\right)J_{2}^{-1},}$$

${\displaystyle J_{j}:H_{j}^{*}\to H_{j}}$

Operadores lineales cerrados

Los operadores lineales cerrados son una clase de operadores lineales en espacios de Banach . Son más generales que los operadores acotados y, por lo tanto, no necesariamente continuos , pero aún conservan propiedades lo suficientemente buenas como para que se pueda definir el espectro y (con ciertas suposiciones) el cálculo funcional para dichos operadores. Muchos operadores lineales importantes que no están acotados resultan ser cerrados, como la derivada y una gran clase de operadores diferenciales .

Sean X , Y dos espacios de Banach . Un operador lineal A  : D ( A ) ⊆ X → Y es cerrado si para cada secuencia { x _n } en D ( A ) que converge con x en X tal que Ax _n → y ∈ Y como n → ∞ se tiene x ∈ D ( A ) y Ax = y . De manera equivalente, A es cerrado si su gráfica está cerrada en la suma directa X ⊕ Y .

Dado un operador lineal A , no necesariamente cerrado, si el cierre de su gráfica en X ⊕ Y resulta ser la gráfica de algún operador, ese operador se llama cierre de A , y decimos que A es cerrable . Denota el cierre de A por A . Se deduce que A es la restricción de A a D ( A ) .

Un núcleo (o dominio esencial ) de un operador que se puede cerrar es un subconjunto C de D ( A ) tal que el cierre de la restricción de A a C es A.

Ejemplo

Considere el operador derivativo A =d/dxdonde X = Y = C ([ a , b ]) es el espacio de Banach de todas las funciones continuas en un intervalo [ a , b ] . Si se toma su dominio D ( A ) como C ¹ ([ a , b ]) , entonces A es un operador cerrado que no está acotado. ^[20] Por otro lado si D ( A ) = C ^∞ ([ a , b ]) , entonces A ya no estará cerrado, pero será cerrable, siendo el cierre su extensión definida en C ¹ ([ a , b ]) .

Operadores simétricos y operadores autoadjuntos

Un operador T en un espacio de Hilbert es simétrico si y sólo si para cada xey en el dominio de T tenemos . Un operador T densamente definido es simétrico si y sólo si concuerda con su adjunto T ^∗ restringido al dominio de T , en otras palabras, cuando T ^∗ es una extensión de T . ^[21] ${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle =\langle x\mid Ty\rangle }$

En general, si T está densamente definido y es simétrico, el dominio del T ^∗ adjunto no necesita ser igual al dominio de T . Si T es simétrico y el dominio de T y el dominio del adjunto coinciden, entonces decimos que T es autoadjunto . ^[22] Tenga en cuenta que, cuando T es autoadjunto, la existencia del adjunto implica que T está densamente definido y dado que T ^∗ es necesariamente cerrado, T es cerrado.

Un operador T densamente definido es simétrico , si el subespacio Γ( T ) (definido en una sección anterior) es ortogonal a su imagen J (Γ( T )) bajo J (donde J ( x , y ):=( y ,- X )). ^{[nota 6]}

De manera equivalente, un operador T es autoadjunto si está densamente definido, es cerrado, simétrico y satisface la cuarta condición: ambos operadores T – i , T + i son sobreyectivos, es decir, asignan el dominio de T a todo el espacio H. . En otras palabras: para cada x en H existen y y z en el dominio de T tales que Ty – iy = x y Tz + iz = x . ^[23]

Un operador T es autoadjunto , si los dos subespacios Γ( T ) , J (Γ( T )) son ortogonales y su suma es todo el espacio ^[12] ${\displaystyle H\oplus H.}$

Este enfoque no cubre a los operadores cerrados no densamente definidos. Los operadores simétricos no densamente definidos se pueden definir directamente o mediante gráficos, pero no mediante operadores adjuntos.

Un operador simétrico a menudo se estudia mediante su transformada de Cayley .

Un operador T en un espacio de Hilbert complejo es simétrico si y sólo si su forma cuadrática es real, es decir, el número es real para todo x en el dominio de T. ^[21] ${\displaystyle \langle Tx\mid x\rangle }$

Un operador simétrico cerrado densamente definido T es autoadjunto si y sólo si T ^∗ es simétrico. ^[24] Puede suceder que no lo sea. ^{[25] [26]}

Un operador T densamente definido se llama positivo ^[8] (o no negativo ^[27] ) si su forma cuadrática es no negativa, es decir, para todo x en el dominio de T. Dicho operador es necesariamente simétrico. ${\displaystyle \langle Tx\mid x\rangle \geq 0}$

El operador T ^∗ T es autoadjunto ^[28] y positivo ^{[8] para todo} T cerrado, densamente definido .

El teorema espectral se aplica a operadores autoadjuntos ^[29] y, además, a operadores normales, ^{[30] [31]} pero no a operadores cerrados y densamente definidos en general, ya que en este caso el espectro puede estar vacío. ^{[32] [33]}

Un operador simétrico definido en todas partes es cerrado, por lo tanto acotado, ^[6] que es el teorema de Hellinger-Toeplitz . ^[34]

Relacionado con la extensión

Por definición, un operador T es una extensión de un operador S si Γ( S ) ⊆ Γ( T ) . ^[35] Una definición directa equivalente: para cada x en el dominio de S , x pertenece al dominio de T y Sx = Tx . ^{[5] [35]}

Tenga en cuenta que existe una extensión definida en todas partes para cada operador, que es un hecho puramente algebraico explicado en Mapa lineal discontinuo § Teorema general de existencia y basado en el axioma de elección . Si el operador dado no está acotado, entonces la extensión es un mapa lineal discontinuo . Es de poca utilidad ya que no puede preservar propiedades importantes del operador dado (ver más abajo) y, por lo general, no es único.

Un operador T se dice que se puede cerrar si satisface las siguientes condiciones equivalentes: ^{[6] [35] [36]}

• T tiene una extensión cerrada;
• el cierre de la gráfica de T es la gráfica de algún operador;
• para cada secuencia ( x _n ) de puntos del dominio de T tal que x _n → 0 y también Tx _n → y se cumple que y = 0 .

No todos los operadores se pueden cerrar. ^[37]

Un operador que se puede cerrar T tiene la extensión menos cerrada llamada cierre de T. El cierre de la gráfica de T es igual a la gráfica de ^{[6] [35]} Pueden existir otras extensiones cerradas no mínimas. ^{[25] [26]} ${\displaystyle {\overline {T}}}$ ${\displaystyle {\overline {T}}.}$

Un operador T densamente definido se puede cerrar si y sólo si T ^∗ está densamente definido. En este caso y ^{[12] [38]} ${\displaystyle {\overline {T}}=T^{**}}$ ${\displaystyle ({\overline {T}})^{*}=T^{*}.}$

Si S está densamente definido y T es una extensión de S, entonces S ^∗ es una extensión de T ^∗ . ^[39]

Todo operador simétrico se puede cerrar. ^[40]

Un operador simétrico se llama simétrico máximo si no tiene extensiones simétricas, excepto él mismo. ^[21] Todo operador autoadjunto es simétrico máximo. ^[21] Lo contrario está mal. ^[41]

Un operador se denomina esencialmente autoadjunto si su cierre es autoadjunto. ^[40] Un operador es esencialmente autoadjunto si y sólo si tiene una y sólo una extensión autoadjunta. ^[24]

Un operador simétrico puede tener más de una extensión autoadjunta, e incluso un continuo de ellas. ^[26]

Un operador simétrico densamente definido T es esencialmente autoadjunto si y sólo si ambos operadores T – i , T + i tienen un rango denso. ^[42]

Sea T un operador densamente definido. Para denotar la relación " T es una extensión de S " por S ⊂ T (una abreviatura convencional de Γ( S ) ⊆ Γ( T )) se tiene lo siguiente. ^[43]

• Si T es simétrico entonces T ⊂ T ^∗∗ ⊂ T ^∗ .
• Si T es cerrado y simétrico entonces T = T ^∗∗ ⊂ T ^∗ .
• Si T es autoadjunto entonces T = T ^∗∗ = T ^∗ .
• Si T es esencialmente autoadjunto entonces T ⊂ T ^∗∗ = T ^∗ .

Importancia de los operadores autoadjuntos

La clase de operadores autoadjuntos es especialmente importante en física matemática. Cada operador autoadjunto está densamente definido, es cerrado y simétrico. Lo contrario es válido para los operadores acotados, pero falla en general. La autoadjunción es sustancialmente más restrictiva que estas tres propiedades. El famoso teorema espectral se aplica a los operadores autoadjuntos. En combinación con el teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro, muestra que los operadores autoadjuntos son precisamente los generadores infinitesimales de grupos unitarios de un parámetro fuertemente continuos, ver Operador autoadjunto § Extensiones autoadjuntas en mecánica cuántica . Estos grupos unitarios son especialmente importantes para describir la evolución del tiempo en la mecánica clásica y cuántica.

Ver también

• Espacio de Hilbert § Operadores ilimitados
• Teorema de Stone-von Neumann
• operador acotado

Notas

1. Supongamos que f _j es una secuencia en el dominio de T que converge a g ∈ X . Dado que T es uniformemente continua en su dominio , Tf _j es Cauchy en Y. Por lo tanto, (  f _j  , T f _j  ) es Cauchy y por lo tanto converge a algún (  f  , T f  ) ya que la gráfica de T es cerrada. Por tanto, f   = g y el dominio de T es cerrado. 
2. Prueba: al ser cerrado, lo definido en todas partes está acotado, lo que implica que la acotación de este último es el cierre de T. Véase también (Pedersen 1989, 2.3.11) para el caso de T definido en todas partes . ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{**},}$
3. Prueba: Entonces, si está acotado, entonces su T adjunto está acotado. ${\displaystyle T^{**}=T.}$ ${\displaystyle T^{*}}$
4. Prueba: si T es cerrado densamente definido, entonces existe y está densamente definido. Así existe. La gráfica de T es densa en la gráfica de por lo tanto . A la inversa, ya que la existencia de implica que aquello de lo que a su vez implica T está densamente definido. Como es cerrado, T está densamente definido y cerrado. ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{**}}$ ${\displaystyle T^{**};}$ ${\displaystyle T=T^{**}.}$ ${\displaystyle T^{**}}$ ${\displaystyle T^{*},}$ ${\displaystyle T^{**}}$
5. Si es sobreyectivo entonces tiene inversa acotada, denotada por La estimación sigue ya que ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T:(\ker T)^{\bot }\to H_{2}}$ ${\displaystyle S.}$
   $${\displaystyle \|f\|_{2}^{2}=\left|\langle TSf\mid f\rangle _{2}\right|\leq \|S\|\|f\|_{2}\left\|T^{*}f\right\|_{1}}$$
   Por el contrario, supongamos que la estimación se cumple. Puesto que tiene rango cerrado, se da el caso de que Puesto es denso, basta demostrar que tiene rango cerrado. Si es convergente entonces es convergente según la estimación ya que ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {ran} (T)=\operatorname {ran} \left(TT^{*}\right).}$ ${\displaystyle \operatorname {ran} (T)}$ ${\displaystyle TT^{*}}$ ${\displaystyle TT^{*}f_{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$
   $${\displaystyle \|T^{*}f_{j}\|_{1}^{2}=|\langle T^{*}f_{j}\mid T^{*}f_{j}\rangle _{1}|\leq \|TT^{*}f_{j}\|_{2}\|f_{j}\|_{2}.}$$
   Diga: Puesto que es autoadjunto; así, cerrado, (teorema de von Neumann), QED ${\displaystyle f_{j}\to g.}$ ${\displaystyle TT^{*}}$ ${\displaystyle TT^{*}f_{j}\to TT^{*}g.}$
6. Se deriva de (Pedersen 1989, 5.1.5) y la definición mediante operadores adjuntos.

Referencias

Citas

1. Reed y Simon 1980, Notas del capítulo VIII, página 305
2. von Neumann 1930, págs. 49-131
3. Piedra 1932
4. von Neumann 1932, págs. 294-310
5. Pedersen 1989, 5.1.1
6. Pedersen 1989, 5.1.4
7. Berezansky, Sheftel y nosotros 1996, página 5
8. Pedersen 1989, 5.1.12
9. Berezansky, Sheftel & Us 1996, ejemplo 3.2 en la página 16
10. Reed y Simon 1980, página 252
11. Berezansky, Sheftel & Us 1996, ejemplo 3.1 en la página 15
12. Pedersen 1989, 5.1.5
13. Berezansky, Sheftel y nosotros 1996, página 12
14. Brezis 1983, pag. 28
15. Yoshida 1980, pag. 200
16. Yoshida 1980, pag. 195.
17. Pedersen 1989, 5.1.11
18. Yoshida 1980, pag. 193
19. Yoshida 1980, pag. 196
20. Kreyszig 1978, pág. 294
21. Pedersen 1989, 5.1.3
22. Kato 1995, 5.3.3
23. Pedersen 1989, 5.2.5
24. Reed y Simon 1980, página 256
25. Pedersen 1989, 5.1.16
26. Reed & Simon 1980, ejemplo en las páginas 257-259
27. Berezansky, Sheftel y nosotros 1996, página 25
28. Pedersen 1989, 5.1.9
29. Pedersen 1989, 5.3.8
30. Berezansky, Sheftel y nosotros 1996, página 89
31. Pedersen 1989, 5.3.19
32. Reed y Simon 1980, ejemplo 5 en la página 254
33. Pedersen 1989, 5.2.12
34. Reed y Simon 1980, página 84
35. Reed y Simon 1980, página 250
36. Berezansky, Sheftel & Us 1996, páginas 6,7
37. Berezansky, Sheftel y nosotros 1996, página 7
38. Reed y Simon 1980, página 253
39. Pedersen 1989, 5.1.2
40. Pedersen 1989, 5.1.6
41. Pedersen 1989, 5.2.6
42. Reed y Simon 1980, página 257
43. Reed y Simon 1980, páginas 255, 256

Bibliografía

• Berezansky, YM; Sheftel, ZG; Nosotros, GF (1996), Análisis funcional , vol. II, Birkhäuser(ver Capítulo 12 "Teoría general de operadores ilimitados en espacios de Hilbert").
• Brezis, Haïm (1983), Analyse fonctionnelle — Théorie et apps (en francés), París: Mason
• "Operador ilimitado", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Hall, BC (2013), "Capítulo 9. Operadores autoadjuntos ilimitados", Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• Kato, Tosio (1995), "Capítulo 5. Operadores en el espacio de Hilbert", Teoría de la perturbación para operadores lineales , Clásicos de las matemáticas, Springer-Verlag, ISBN 3-540-58661-X
• Kreyszig, Erwin (1978). Análisis funcional introductorio con aplicaciones . Estados Unidos: John Wiley & Sons. ISBN inc . 0-471-50731-8.
• Pedersen, Gert K. (1989), Análisis ahora , Springer(consulte el Capítulo 5 "Operadores ilimitados").
• Caña, Michael ; Simon, Barry (1980), Métodos de la física matemática moderna , vol. 1: Análisis funcional (edición revisada y ampliada), Academic Press(consulte el Capítulo 8 "Operadores ilimitados").
• Piedra, Marshall Harvey (1932). Transformaciones lineales en el espacio de Hilbert y sus aplicaciones al análisis. Reimpresión de la edición de 1932. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-7452-3.
• Teschl, Gerald (2009). Métodos Matemáticos en Mecánica Cuántica; Con aplicaciones para operadores de Schrödinger. Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4660-5.
• von Neumann, J. (1930), "Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Functionaloperatoren (Teoría general del valor propio de los operadores funcionales hermitianos)", Mathematische Annalen , 102 (1), doi :10.1007/BF01782338, S2CID  121249803
• von Neumann, J. (1932), "Über Adjungierte Funktionaloperatore (Sobre operadores funcionales adjuntos)", Annals of Mathematics , segunda serie, 33 (2), doi :10.2307/1968331, JSTOR  1968331
• Yoshida, Kôsaku (1980), Análisis funcional (sexta ed.), Springer

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