Mapa lineal discontinuo

En matemáticas , las aplicaciones lineales forman una clase importante de funciones "simples" que preservan la estructura algebraica de los espacios lineales y a menudo se usan como aproximaciones a funciones más generales (ver aproximación lineal ). Si los espacios involucrados también son espacios topológicos (es decir, espacios vectoriales topológicos ), entonces tiene sentido preguntar si todas las aplicaciones lineales son continuas . Resulta que para las aplicaciones definidas en espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita (por ejemplo, espacios normados de dimensión infinita ), la respuesta generalmente es no: existen aplicaciones lineales discontinuas . Si el dominio de definición es completo , es más complicado; se puede probar que tales aplicaciones existen, pero la prueba se basa en el axioma de elección y no proporciona un ejemplo explícito.

Un mapa lineal de un espacio de dimensión finita es siempre continuo

Sean X e Y dos espacios normados y una función lineal de X a Y . Si X es de dimensión finita , elija una base en X que pueda tomarse como vectores unitarios. Entonces, y así por la desigualdad triangular , Dejando y usando el hecho de que para algún C >0 que se sigue del hecho de que dos normas cualesquiera en un espacio de dimensión finita son equivalentes , se encuentra que Por lo tanto, es un operador lineal acotado y por lo tanto es continuo. De hecho, para ver esto, simplemente note que f es lineal, y por lo tanto para alguna constante universal K . Por lo tanto, para cualquier podemos elegir de modo que ( y son las bolas normadas alrededor de y ), lo que da continuidad. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \left(e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\right)}$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i}),}$$ $${\displaystyle \|f(x)\|=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i})\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\|f(e_{i})\|.}$$ $${\displaystyle M=\sup _{i}\{\|f(e_{i})\|\},}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\leq C\|x\|}$$ $${\displaystyle \|f(x)\|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\right)M\leq CM\|x\|.}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f(x)-f(x')\|=\|f(x-x')\|\leq K\|x-x'\|}$ ${\displaystyle \epsilon >0,}$ ${\displaystyle \delta \leq \epsilon /K}$ ${\displaystyle f(B(x,\delta ))\subseteq B(f(x),\epsilon )}$ ${\displaystyle B(x,\delta )}$ ${\displaystyle B(f(x),\epsilon )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$

Si X es de dimensión infinita, esta prueba fallará ya que no hay garantía de que exista el supremo M. Si Y es el espacio cero {0}, la única función entre X e Y es la función cero que es trivialmente continua. En todos los demás casos , cuando X es de dimensión infinita e Y no es el espacio cero, se puede encontrar una función discontinua de X a Y.

Un ejemplo concreto

Es fácil construir ejemplos de aplicaciones lineales discontinuas en espacios que no son completos; en cualquier secuencia de Cauchy de vectores linealmente independientes que no tenga un límite, existe un operador lineal tal que las cantidades crecen sin límite. En cierto sentido, los operadores lineales no son continuos porque el espacio tiene "agujeros". ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \|T(e_{i})\|/\|e_{i}\|}$

Por ejemplo, considere el espacio de funciones suaves de valores reales en el intervalo [0, 1] con la norma uniforme , es decir, La función derivada en un punto , dada por definida en y con valores reales, es lineal, pero no continua. De hecho, considere la secuencia para . Esta secuencia converge uniformemente a la función constantemente cero, pero ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|.}$$ $${\displaystyle T(f)=f'(0)\,}$$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\sin(n^{2}x)}{n}}}$$ ${\displaystyle n\geq 1}$ $${\displaystyle T(f_{n})={\frac {n^{2}\cos(n^{2}\cdot 0)}{n}}=n\to \infty }$$

como en lugar de , como se cumpliría para una función continua. Nótese que tiene un valor real y, por lo tanto, es en realidad una función lineal en (un elemento del espacio dual algebraico ). La función lineal que asigna a cada función su derivada es igualmente discontinua. Nótese que, aunque el operador derivada no es continuo, es cerrado . ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle T(f_{n})\to T(0)=0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X\to X}$

El hecho de que el dominio no esté completo aquí es importante: los operadores discontinuos en espacios completos requieren un poco más de trabajo.

Un ejemplo no constructivo

Una base algebraica para los números reales como un espacio vectorial sobre los racionales se conoce como base de Hamel (nótese que algunos autores usan este término en un sentido más amplio para significar una base algebraica de cualquier espacio vectorial). Nótese que dos números no conmensurables cualesquiera , digamos 1 y , son linealmente independientes. Uno puede encontrar una base de Hamel que los contenga, y definir una función de modo que f actúe como la identidad en el resto de la base de Hamel, y extenderse a todos los de por linealidad. Sea { r _n } _n cualquier secuencia de racionales que converge a . Entonces lim _n f ( r _n ) = π, pero Por construcción, f es lineal sobre (no sobre ), pero no continua. Nótese que f tampoco es medible ; una función real aditiva es lineal si y solo si es medible, por lo que para cada una de esas funciones hay un conjunto de Vitali . La construcción de f se basa en el axioma de elección. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to R}$ ${\displaystyle f(\pi )=0,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle f(\pi )=0.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Este ejemplo puede extenderse a un teorema general sobre la existencia de mapas lineales discontinuos en cualquier espacio normado de dimensión infinita (siempre que el codominio no sea trivial).

Teorema general de existencia

Se puede demostrar que existen aplicaciones lineales discontinuas de manera más general, incluso si el espacio es completo. Sean X e Y espacios normados sobre el cuerpo K donde o Supongamos que X es de dimensión infinita e Y no es el espacio cero. Encontraremos una aplicación lineal discontinua f de X a K , lo que implicará la existencia de una aplicación lineal discontinua g de X a Y dada por la fórmula donde es un vector arbitrario distinto de cero en Y . ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle K=\mathbb {C} .}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)y_{0}}$ ${\displaystyle y_{0}}$

Si X es de dimensión infinita, demostrar la existencia de un funcional lineal que no es continuo equivale entonces a construir f que no está acotado. Para ello, considere una secuencia ( e _n ) _n ( ) de vectores linealmente independientes en X , que normalizamos. Luego, definimos para cada Complete esta secuencia de vectores linealmente independientes a una base de espacio vectorial de X definiendo T en los otros vectores en la base como cero. T así definido se extenderá únicamente a una función lineal en X , y dado que claramente no está acotado, no es continuo. ${\displaystyle n\geq 1}$ $${\displaystyle T(e_{n})=n\|e_{n}\|\,}$$ ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$

Nótese que al utilizar el hecho de que cualquier conjunto de vectores linealmente independientes puede completarse hasta una base, utilizamos implícitamente el axioma de elección, que no era necesario para el ejemplo concreto de la sección anterior.

El papel del axioma de elección

Como se señaló anteriormente, el axioma de elección (AC) se utiliza en el teorema de existencia general de aplicaciones lineales discontinuas. De hecho, no hay ejemplos constructivos de aplicaciones lineales discontinuas con dominio completo (por ejemplo, espacios de Banach ). En el análisis tal como lo practican habitualmente los matemáticos en activo, siempre se emplea el axioma de elección (es un axioma de la teoría de conjuntos ZFC ); por lo tanto, para el analista, todos los espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita admiten aplicaciones lineales discontinuas.

Por otra parte, en 1970 Robert M. Solovay presentó un modelo de teoría de conjuntos en el que todo conjunto de números reales es medible. ^[1] Esto implica que no existen funciones reales lineales discontinuas. Claramente, AC no se cumple en el modelo.

El resultado de Solovay muestra que no es necesario asumir que todos los espacios vectoriales de dimensión infinita admiten aplicaciones lineales discontinuas, y hay escuelas de análisis que adoptan un punto de vista más constructivista . Por ejemplo, HG Garnir, en la búsqueda de los llamados "espacios de ensueño" (espacios vectoriales topológicos en los que cada aplicación lineal en un espacio normado es continua), se vio obligado a adoptar ZF + DC + BP (la elección dependiente es una forma debilitada y la propiedad de Baire es una negación de AC fuerte) como sus axiomas para demostrar el teorema de grafo cerrado de Garnir-Wright que establece, entre otras cosas, que cualquier aplicación lineal de un F-espacio a un TVS es continua. Yendo al extremo del constructivismo , está el teorema de Ceitin, que establece que toda función es continua (esto debe entenderse en la terminología del constructivismo, según la cual solo las funciones representables se consideran funciones). ^[2] Tales posturas son sostenidas solo por una pequeña minoría de matemáticos en activo.

El resultado es que la existencia de aplicaciones lineales discontinuas depende de AC; es consistente con la teoría de conjuntos sin AC que no haya aplicaciones lineales discontinuas en espacios completos. En particular, ninguna construcción concreta como la derivada puede lograr definir una aplicación lineal discontinua en todas partes en un espacio completo.

Operadores cerrados

Muchos operadores lineales discontinuos que se dan de forma natural son operadores cerrados , una clase de operadores que comparten algunas de las características de los operadores continuos. Tiene sentido preguntar qué operadores lineales en un espacio dado son cerrados. El teorema del grafo cerrado afirma que un operador cerrado definido en todas partes en un dominio completo es continuo, por lo que para obtener un operador cerrado discontinuo, se deben permitir operadores que no estén definidos en todas partes.

Para ser más concretos, sea un mapa de a con dominio escrito No perdemos mucho si reemplazamos X por la clausura de Es decir, al estudiar operadores que no están definidos en todas partes, uno puede restringir su atención a operadores densamente definidos sin pérdida de generalidad. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (T),}$ ${\displaystyle T:\operatorname {Dom} (T)\subseteq X\to Y.}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (T).}$

Si el gráfico de es cerrado en llamamos T cerrado . De lo contrario, considere su clausura en Si es en sí mismo el gráfico de algún operador se llama cerrable , y se llama la clausura de ${\displaystyle \Gamma (T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X\times Y,}$ ${\displaystyle {\overline {\Gamma (T)}}}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle {\overline {\Gamma (T)}}}$ ${\displaystyle {\overline {T}},}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\overline {T}}}$ ${\displaystyle T.}$

Así pues, la pregunta natural que hay que hacerse sobre los operadores lineales que no están definidos en todas partes es si son cerrables. La respuesta es "no necesariamente"; de hecho, todo espacio normado de dimensión infinita admite operadores lineales que no son cerrables. Como en el caso de los operadores discontinuos considerados anteriormente, la prueba requiere el axioma de elección y, por lo tanto, en general no es constructiva, aunque, de nuevo, si X no es completo, hay ejemplos constructivos.

De hecho, hay incluso un ejemplo de un operador lineal cuyo gráfico tiene clausura todo de Tal operador no es cerrable. Sea X el espacio de funciones polinómicas de [0,1] a e Y el espacio de funciones polinómicas de [2,3] a . Son subespacios de C ([0,1]) y C ([2,3]) respectivamente, y por tanto espacios normados. Defina un operador T que lleve la función polinómica x ↦ p ( x ) en [0,1] a la misma función en [2,3]. Como consecuencia del teorema de Stone-Weierstrass , el gráfico de este operador es denso en por lo que esto proporciona una especie de aplicación lineal máximamente discontinua (no confiere en ninguna parte función continua ). Nótese que X no es completo aquí, como debe ser el caso cuando existe una aplicación construible de este tipo. ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\times Y,}$

Impacto para espacios duales

El espacio dual de un espacio vectorial topológico es la colección de aplicaciones lineales continuas del espacio en el cuerpo subyacente. Por lo tanto, el hecho de que algunas aplicaciones lineales no sean continuas para espacios normados de dimensión infinita implica que, para estos espacios, es necesario distinguir el espacio dual algebraico del espacio dual continuo, que es entonces un subconjunto propio. Esto ilustra el hecho de que se necesita una dosis adicional de precaución al realizar análisis en espacios de dimensión infinita en comparación con los de dimensión finita.

Más allá de los espacios normados

El argumento de la existencia de funciones lineales discontinuas en espacios normados se puede generalizar a todos los espacios vectoriales topológicos metrizables, especialmente a todos los espacios de Fréchet, pero existen espacios vectoriales topológicos localmente convexos de dimensión infinita tales que todo funcional es continuo. ^[3] Por otra parte, el teorema de Hahn-Banach , que se aplica a todos los espacios localmente convexos, garantiza la existencia de muchos funcionales lineales continuos, y por lo tanto un gran espacio dual. De hecho, a cada conjunto convexo, el calibre de Minkowski asocia un funcional lineal continuo . El resultado es que los espacios con menos conjuntos convexos tienen menos funcionales, y en el peor de los casos, un espacio puede no tener ningún funcional aparte del funcional cero. Este es el caso de los espacios con de los cuales se sigue que estos espacios son no convexos. Nótese que aquí se indica la medida de Lebesgue en la línea real. Hay otros espacios con los que sí tienen espacios duales no triviales. ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ,dx)}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<1}$

Otro ejemplo de este tipo es el espacio de funciones mensurables de valor real en el intervalo unitario con cuasinorma dada por Este espacio no localmente convexo tiene un espacio dual trivial. $${\displaystyle \|f\|=\int _{I}{\frac {|f(x)|}{1+|f(x)|}}dx.}$$

Se pueden considerar espacios aún más generales. Por ejemplo, la existencia de un homomorfismo entre grupos métricos completamente separables también se puede demostrar de manera no constructiva.

Véase también

• Topología localmente convexa más fina  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Función sublineal  – Tipo de función en álgebra lineal

Referencias

1. Solovay, Robert M. (1970), "Un modelo de teoría de conjuntos en el que cada conjunto de números reales es medible según el método de Lebesgue", Annals of Mathematics , Segunda serie, 92 : 1–56, doi :10.2307/1970696, MR  0265151.
2. Schechter, Eric (1996), Manual de análisis y sus fundamentos, Academic Press, pág. 136, ISBN 9780080532998.
3. Por ejemplo, la topología débil se refiere al espacio de todos los funcionales (algebraicamente) lineales.

• Constantin Costara, Dumitru Popa, Ejercicios de análisis funcional , Springer, 2003. ISBN 1-4020-1560-7 . 
• Schechter, Eric, Manual de análisis y sus fundamentos , Academic Press, 1997. ISBN 0-12-622760-8 .