Parcela de varios núcleos de Fejér. En matemáticas , el núcleo de Fejér es un núcleo de sumabilidad que se utiliza para expresar el efecto de la suma de Cesàro en las series de Fourier . Es un núcleo no negativo, que da lugar a una identidad aproximada . Recibe su nombre en honor al matemático húngaro Lipót Fejér (1880-1959).
Definición El núcleo de Fejér tiene muchas definiciones equivalentes. A continuación, describimos tres de ellas:
1) La definición tradicional expresa el núcleo de Fejér en términos del núcleo de Dirichlet: F norte ( incógnita ) Estilo de visualización F_{n}(x)} F norte ( incógnita ) = 1 norte ∑ a = 0 norte − 1 D a ( incógnita ) {\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)}
dónde
D a ( incógnita ) = ∑ s = − a a mi i s incógnita {\displaystyle D_{k}(x)=\sum _{s=-k}^{k}{\rm {e}}^{isx}} es el núcleo de Dirichlet de orden k .
2) El núcleo de Fejér también puede escribirse en una expresión de forma cerrada de la siguiente manera [1] F norte ( incógnita ) Estilo de visualización F_{n}(x)}
F norte ( incógnita ) = 1 norte ( pecado ( norte incógnita 2 ) pecado ( incógnita 2 ) ) 2 = 1 norte ( 1 − porque ( norte incógnita ) 1 − porque ( incógnita ) ) {\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\left({\frac {\sin({\frac {nx}{2}})}{\sin({\frac {x}{2}})}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\left({\frac {1-\cos(nx)}{1-\cos(x)}}\right)}
Esta expresión en forma cerrada se puede derivar de las definiciones utilizadas anteriormente. La demostración de este resultado es la siguiente.
En primer lugar, utilizamos el hecho de que el núcleo de Dirichlet puede escribirse como: [2]
D a ( incógnita ) = pecado ( a + 1 2 ) incógnita pecado incógnita 2 {\displaystyle D_{k}(x)={\frac {\sin(k+{\frac {1}{2}})x}{\sin {\frac {x}{2}}}}} Por lo tanto, utilizando la definición del núcleo de Fejér anterior obtenemos:
F norte ( incógnita ) = 1 norte ∑ a = 0 norte − 1 D a ( incógnita ) = 1 norte ∑ a = 0 norte − 1 pecado ( ( a + 1 2 ) incógnita ) pecado ( incógnita 2 ) = 1 norte 1 pecado ( incógnita 2 ) ∑ a = 0 norte − 1 pecado ( ( a + 1 2 ) incógnita ) = 1 norte 1 pecado 2 ( incógnita 2 ) ∑ a = 0 norte − 1 [ pecado ( ( a + 1 2 ) incógnita ) ⋅ pecado ( incógnita 2 ) ] {\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\sin((k+{\frac {1}{2}})x)}{\sin({\frac {x}{2}})}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}\sin((k+{\frac {1}{2}})x)={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}[\sin((k+{\frac {1}{2}})x)\cdot \sin({\frac {x}{2}})]} Utilizando la identidad trigonométrica: pecado ( alfa ) ⋅ pecado ( β ) = 1 2 ( porque ( alfa − β ) − porque ( alfa + β ) ) {\displaystyle \sin(\alpha )\cdot \sin(\beta )={\frac {1}{2}}(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ))}
F norte ( incógnita ) = 1 norte 1 pecado 2 ( incógnita 2 ) ∑ a = 0 norte − 1 [ pecado ( ( a + 1 2 ) incógnita ) ⋅ pecado ( incógnita 2 ) ] = 1 norte 1 2 pecado 2 ( incógnita 2 ) ∑ a = 0 norte − 1 [ porque ( a incógnita ) − porque ( ( a + 1 ) incógnita ) ] {\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}[\sin((k+{\frac {1}{2}})x)\cdot \sin({\frac {x}{2}})]={\frac {1}{n}}{\frac {1}{2\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}[\cos(kx)-\cos((k+1)x)]} De aquí se sigue que:
F norte ( incógnita ) = 1 norte 1 pecado 2 ( incógnita 2 ) 1 − porque ( norte incógnita ) 2 = 1 norte 1 pecado 2 ( incógnita 2 ) pecado 2 ( norte incógnita 2 ) = 1 norte ( pecado ( norte incógnita 2 ) pecado ( incógnita 2 ) ) 2 {\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}{\frac {1-\cos(nx)}{2}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}\sin ^{2}({\frac {nx}{2}})={\frac {1}{n}}({\frac {\sin({\frac {nx}{2}})}{\sin({\frac {x}{2}})}})^{2}} 3) El núcleo de Fejér también se puede expresar como:
F norte ( incógnita ) = ∑ | a | ≤ norte − 1 ( 1 − | a | norte ) mi i a incógnita {\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{|k|\leq n-1}\left(1-{\frac {|k|}{n}}\right)e^{ikx}}
Propiedades El núcleo de Fejér es un núcleo de sumabilidad positiva. Una propiedad importante del núcleo de Fejér es que su valor medio es . F norte ( incógnita ) ≥ 0 {\displaystyle F_{n}(x)\geq 0} 1 {\estilo de visualización 1}
Circunvolución La convolución F n es positiva: para el periodo satisface F ≥ 0 {\displaystyle f\geq 0} 2 π {\estilo de visualización 2\pi}
0 ≤ ( F ∗ F norte ) ( incógnita ) = 1 2 π ∫ − π π F ( y ) F norte ( incógnita − y ) d y . {\displaystyle 0\leq(f*F_{n})(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)F_{n}(xy)\,dy.} Como , tenemos , que es la sumatoria de Cesàro de las series de Fourier. F ∗ D norte = S norte ( F ) = ∑ | yo | ≤ norte F ^ yo mi i yo incógnita {\displaystyle f*D_{n}=S_{n}(f)=\sum _{|j|\leq n}{\widehat {f}}_{j}e^{ijx}} F ∗ F norte = 1 norte ∑ a = 0 norte − 1 S a ( F ) {\displaystyle f*F_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}S_{k}(f)}
Por la desigualdad de convolución de Young ,
" F norte ∗ F " yo pag ( [ − π , π ] ) ≤ " F " yo pag ( [ − π , π ] ) Para cada uno 1 ≤ pag ≤ ∞ para F ∈ yo pag . {\displaystyle \|F_{n}*f\|_{L^{p}([-\pi ,\pi ])}\leq \|f\|_{L^{p}([-\pi ,\pi ])}{\text{ para cada }}1\leq p\leq \infty {\text{ para }}f\in L^{p}.} Además, si , entonces F ∈ yo 1 ( [ − π , π ] ) {\displaystyle f\in L^{1}([-\pi ,\pi ])}
F ∗ F norte → F {\displaystyle f*F_{n}\rightarrow f} Como es finito, , entonces el resultado es válido también para otros espacios . [ − π , π ] {\estilo de visualización [-\pi ,\pi ]} yo 1 ( [ − π , π ] ) ⊃ yo 2 ( [ − π , π ] ) ⊃ ⋯ ⊃ yo ∞ ( [ − π , π ] ) {\displaystyle L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([- \pi ,\pi ])} yo pag Estilo de visualización L^{p}} pag ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1}
Si es continua, entonces la convergencia es uniforme, lo que da como resultado una prueba del teorema de Weierstrass . F {\estilo de visualización f}
Una consecuencia de la convergencia puntual de ae es la unicidad de los coeficientes de Fourier: Si con , entonces ae Esto se deduce de escribir , que depende únicamente de los coeficientes de Fourier. F , gramo ∈ yo 1 {\displaystyle f,g\en L^{1}} F ^ = gramo ^ {\displaystyle {\hat {f}}={\hat {g}}} F = gramo {\displaystyle f=g} F ∗ F norte = ∑ | yo | ≤ norte ( 1 − | yo | norte ) F ^ yo mi i yo a {\displaystyle f*F_{n}=\sum _{|j|\leq n}\left(1-{\frac {|j|}{n}}\right){\hat {f}}_{j}e^{ijt}} Una segunda consecuencia es que si existe ae, entonces ae, ya que Cesàro significa converger al límite de la secuencia original si existe. lim n → ∞ S n ( f ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}(f)} lim n → ∞ F n ( f ) = f {\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(f)=f} F n ∗ f {\displaystyle F_{n}*f}
Aplicaciones El núcleo Fejér se utiliza en el procesamiento de señales y el análisis de Fourier.
Véase también
Referencias ^ Hoffman, Kenneth (1988). Espacios de Banach de funciones analíticas . Dover. pág. 17. ISBN. 0-486-45874-1 ^ Konigsberger, Konrad. Análisis 1 (en alemán) (6.ª ed.). Springer. pág. 322. 
![{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\sin((k+{\frac {1}{2}})x)}{\sin({\frac {x}{2}})}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}\sin((k+{\frac {1}{2}})x)={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}[\sin((k+{\frac {1}{2}})x)\cdot \sin({\frac {x}{2}})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98fb8fd21819dce9f17372c5dfb57842f15a0c70)
![{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}[\sin((k+{\frac {1}{2}})x)\cdot \sin({\frac {x}{2}})]={\frac {1}{n}}{\frac {1}{2\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}[\cos(kx)-\cos((k+1)x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f50481bb0f23b4e469b56513fb9bd47373f5cd1)
![{\displaystyle \|F_{n}*f\|_{L^{p}([-\pi ,\pi ])}\leq \|f\|_{L^{p}([-\pi ,\pi ])}{\text{ para cada }}1\leq p\leq \infty {\text{ para }}f\in L^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292178857a312a42f0d6a0042c83b5e64fb17b4e)
![{\displaystyle f\in L^{1}([-\pi ,\pi ])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e3515a00783d75e503eb19294f26d84c49402fe)
![{\estilo de visualización [-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb064fd6c55820cfa660eabeeda0f6e3c4935ae6)
![{\displaystyle L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([- \pi ,\pi ])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46f6aab539f73c629502ceebd84a0f671e9c0178)
