stringtranslate.com

núcleo de Fejér

Parcela de varios núcleos de Fejér.

En matemáticas , el núcleo de Fejér es un núcleo de sumabilidad que se utiliza para expresar el efecto de la suma de Cesàro en las series de Fourier . Es un núcleo no negativo, que da lugar a una identidad aproximada . Recibe su nombre en honor al matemático húngaro Lipót Fejér (1880-1959).

Definición

El núcleo de Fejér tiene muchas definiciones equivalentes. A continuación, describimos tres de ellas:

1) La definición tradicional expresa el núcleo de Fejér en términos del núcleo de Dirichlet:

dónde

es el núcleo de Dirichlet de orden k .

2) El núcleo de Fejér también puede escribirse en una expresión de forma cerrada de la siguiente manera [1]

Esta expresión en forma cerrada se puede derivar de las definiciones utilizadas anteriormente. La demostración de este resultado es la siguiente.

En primer lugar, utilizamos el hecho de que el núcleo de Dirichlet puede escribirse como: [2]

Por lo tanto, utilizando la definición del núcleo de Fejér anterior obtenemos:

Utilizando la identidad trigonométrica:

De aquí se sigue que:

3) El núcleo de Fejér también se puede expresar como:

Propiedades

El núcleo de Fejér es un núcleo de sumabilidad positiva. Una propiedad importante del núcleo de Fejér tiene un valor promedio de .

Circunvolución

La convolución F n es positiva: para el periodo satisface

Como , tenemos , que es la suma de Cesàro de las series de Fourier.

Por la desigualdad de convolución de Young ,

Además, si , entonces

ae

Como es finito, , entonces el resultado es válido también para otros espacios .

Si es continua, entonces la convergencia es uniforme, lo que da como resultado una prueba del teorema de Weierstrass .

Aplicaciones

El núcleo Fejér se utiliza en el procesamiento de señales y el análisis de Fourier.

Véase también

Referencias

  1. ^ Hoffman, Kenneth (1988). Espacios de Banach de funciones analíticas . Dover. pág. 17. ISBN. 0-486-45874-1.
  2. ^ Konigsberger, Konrad. Análisis 1 (en alemán) (6.ª ed.). Springer. pág. 322.