Función de golpe

Función fluida y compacta

La gráfica de la función de relieve donde y ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),}$ ${\displaystyle r=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2}}$ ${\displaystyle \Psi (r)=e^{-1/(1-r^{2})}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.}$

En matemáticas , una función de tope (también llamada función de prueba ) es una función en un espacio euclidiano que es a la vez suave (en el sentido de tener derivadas continuas de todos los órdenes) y soportada de forma compacta . El conjunto de todas las funciones de relieve con dominio forma un espacio vectorial , denotado o. El espacio dual de este espacio dotado de una topología adecuada es el espacio de distribuciones . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathrm {c} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$

Ejemplos

La función de golpe 1d ${\displaystyle \Psi (x).}$

La función dada por ${\displaystyle \Psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}=\exp \left(-{\frac {1}{1-\min(1,x^{2})}}\right)}$$

Función suave no analíticafunción gaussiana ${\displaystyle \exp \left(-y^{2}\right)}$ ${\displaystyle y^{2}={1}/{\left(1-x^{2}\right)}}$ ${\displaystyle x=\pm 1}$ ${\displaystyle y=\infty .}$

Un ejemplo simple de una función de aumento (cuadrada) en variables se obtiene tomando el producto de copias de la función de aumento anterior en una variable, por lo que ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n}).}$$

Funciones de transición suave

La función suave no analítica f ( x ) considerada en el artículo.

Considere la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x}}}&{\text{if }}x>0,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\end{cases}}}$

definido para cada número real x .

La transición suave g de 0 a 1 se define aquí.

La función

${\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{f(x)+f(1-x)}},\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

tiene un denominador estrictamente positivo en todas partes de la recta real, por lo que g también es suave. Además, g ( x ) = 0 para x  ≤ 0 y g ( x ) = 1 para x  ≥ 1, por lo que proporciona una transición suave del nivel 0 al nivel 1 en el intervalo unitario [0, 1]. Para tener una transición suave en el intervalo real [ a , b ] con a  <  b , considere la función

${\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}.}$

Para números reales a < b < c < d , la función suave

${\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}\,g{\Bigl (}{\frac {d-x}{d-c}}{\Bigr )}}$

es igual a 1 en el intervalo cerrado [ b , c ] y desaparece fuera del intervalo abierto ( a , d ), por lo que puede servir como una función de relieve.

Se debe tener precaución ya que, por ejemplo, tomar , conduce a: ${\displaystyle \{a=-1\}<\{b=c=0\}<\{d=1\}}$

${\displaystyle q(x)={\frac {1}{1+e^{\frac {1-2|x|}{x^{2}-|x|}}}}}$

que no es una función infinitamente diferenciable (por lo tanto, no es "suave"), por lo que las restricciones a < b < c < d deben cumplirse estrictamente.

Algunos datos interesantes sobre la función:

${\displaystyle q(x,a)={\frac {1}{1+e^{\frac {a(1-2|x|)}{x^{2}-|x|}}}}}$

Son las que hacen curvas de transición suave con bordes de pendiente "casi" constante (se comportan como líneas rectas inclinadas en un intervalo de medida distinto de cero). ${\displaystyle q\left(x,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}$

Un ejemplo adecuado de una función Bump suave sería:

${\displaystyle u(x)={\begin{cases}1,{\text{if }}x=0,\\0,{\text{if }}|x|\geq 1,\\{\frac {1}{1+e^{\frac {1-2|x|}{x^{2}-|x|}}}},{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

Un ejemplo adecuado de una función de transición suave será:

${\displaystyle w(x)={\begin{cases}{\frac {1}{1+e^{\frac {2x-1}{x^{2}-x}}}}&{\text{if }}0<x<1,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\\1&{\text{if }}x\geq 1,\end{cases}}}$

donde se puede observar que se puede representar también mediante funciones hiperbólicas :

${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{\frac {2x-1}{x^{2}-x}}}}={\frac {1}{2}}\left(1-\tanh \left({\frac {2x-1}{2(x^{2}-x)}}\right)\right)}$

Existencia de funciones de relieve.

Una ilustración de los decorados en la construcción.

Es posible construir funciones de respuesta "según las especificaciones". Dicho formalmente, si es un conjunto compacto arbitrario en dimensiones y es un conjunto abierto que contiene , existe una función de relieve que está dentro y fuera de Dado que puede considerarse una vecindad muy pequeña de esto equivale a poder construir una función que sea y se cae rápidamente hacia el exterior sin dejar de ser suave. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle K,}$

Funciones de impacto definidas en términos de convolución

La construcción se desarrolla de la siguiente manera. Se considera una vecindad compacta de contenido en so. La función característica de será igual a dentro y fuera de así en particular, será dentro y fuera de. Sin embargo, esta función no es uniforme. La idea clave es suavizar un poco tomando la convolución de con un suavizador . Esta última es simplemente una función de relieve con un soporte muy pequeño y cuya integral es. Tal suavizador se puede obtener, por ejemplo, tomando la función de relieve de la sección anterior y realizando los escalamientos apropiados. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle K\subseteq V^{\circ }\subseteq V\subseteq U.}$ ${\displaystyle \chi _{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle \chi _{V}}$ ${\displaystyle \chi _{V}}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle \Phi }$

Funciones de impacto definidas en términos de una función con soporte ${\displaystyle c:\mathbb {R} \to [0,\infty )}$ ${\displaystyle (-\infty ,0]}$

Ahora se detalla una construcción alternativa que no implica convolución. Comienza construyendo una función suave que es positiva en un subconjunto abierto dado y desaparece de ^[1]. El soporte de esta función es igual al cierre de in , por lo que si es compacto, entonces es una función de relieve. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle {\overline {U}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\overline {U}}}$ ${\displaystyle f}$

Comience con cualquier función suave que desaparezca en los reales negativos y sea positiva en los reales positivos (es decir, una y otra vez cuando la continuidad desde la izquierda requiera ); un ejemplo de tal función es for y else. ^[1] Fijar un subconjunto abierto de y denotar la norma euclidiana habitual por (por lo que está dotado de la métrica euclidiana habitual ). La siguiente construcción define una función suave que es positiva y desaparece fuera de ^[1]. Entonces, en particular, si es relativamente compacta, entonces esta función será una función de relieve. ${\displaystyle c:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle (0,\infty ),}$ ${\displaystyle c(0)=0}$ ${\displaystyle c(x):=e^{-1/x}}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle c(x):=0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$

Si entonces deja mientras si entonces deja ; así que supongamos que no es ninguno de estos. Sea una cubierta abierta de bolas abiertas donde la bola abierta tiene radio y centro. Entonces el mapa definido por es una función suave que es positiva y desaparece de ^[1] Para cada let ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f=1}$ ${\displaystyle U=\varnothing }$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left(U_{k}\right)_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{k}}$ ${\displaystyle r_{k}>0}$ ${\displaystyle a_{k}\in U.}$ ${\displaystyle f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{k}(x)=c\left(r_{k}^{2}-\left\|x-a_{k}\right\|^{2}\right)}$ ${\displaystyle U_{k}}$ ${\displaystyle U_{k}.}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$

$${\displaystyle M_{k}=\sup \left\{\left|{\frac {\partial ^{p}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}(x)\right|~:~x\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ and }}p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {Z} {\text{ satisfy }}0\leq p_{i}\leq k{\text{ and }}p=\sum _{i}p_{i}\right\},}$$

supremo^{[nota 1]} ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n}\setminus U_{k}\right)\cup {\overline {U_{k}}}=\mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U_{k},}$ ${\displaystyle {\overline {U_{k}}},}$

$${\displaystyle f~:=~\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {f_{k}}{2^{k}M_{k}}}}$$

^[1][1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {Z} ,}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{n}}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}f~=~\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}M_{k}}}{\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{n}}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}}$$

⁾ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k\geq p_{1}+\cdots +p_{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \leq {\tfrac {M_{k}}{2^{k}M_{k}}}={\tfrac {1}{2^{k}}}}$

Como corolario, dados dos subconjuntos cerrados disjuntos de la construcción anterior se garantiza la existencia de funciones suaves no negativas tales que para cualquier si y solo si y de manera similar, si y solo si entonces la función ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle f_{A},f_{B}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle f_{A}(x)=0}$ ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle f_{B}(x)=0}$ ${\displaystyle x\in B,}$

$${\displaystyle h~:=~{\frac {f_{A}}{f_{A}+f_{B}}}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}$$

^[1] ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle h(x)=0}$ ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle h(x)=1}$ ${\displaystyle x\in B,}$ ${\displaystyle 0<h(x)<1}$ ${\displaystyle x\not \in A\cup B.}$ ${\displaystyle h(x)\neq 0}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus A,}$ ${\displaystyle U:=\mathbb {R} ^{n}\smallsetminus A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ ${\displaystyle B\subseteq U}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\overline {U}}.}$

Propiedades y usos

Si bien las funciones de relieve son fluidas, el teorema de la identidad prohíbe que sean analíticas a menos que desaparezcan de manera idéntica. Las funciones de relieve se utilizan a menudo como suavizantes , como funciones de corte suaves y para formar particiones suaves de la unidad . Son la clase más común de funciones de prueba utilizadas en el análisis. El espacio de las funciones de relieve está cerrado en muchas operaciones. Por ejemplo, la suma, producto o convolución de dos funciones de realce es nuevamente una función de realce, y cualquier operador diferencial con coeficientes suaves, cuando se aplica a una función de realce, producirá otra función de realce.

Si los límites del dominio de la función Bump deben cumplir el requisito de "suavidad", debe preservar la continuidad de todas sus derivadas, lo que conduce al siguiente requisito en los límites de su dominio: ${\displaystyle \partial x,}$

$${\displaystyle \lim _{x\to \partial x^{\pm }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=0,\,{\text{ for all }}n\geq 0,\,n\in \mathbb {Z} }$$

La transformada de Fourier de una función de tope es una función analítica (real) y puede extenderse a todo el plano complejo: por lo tanto, no se puede soportar de manera compacta a menos que sea cero, ya que la única función de tope analítica completa es la función cero (ver Teorema de Paley-Wiener y teorema de Liouville ). Debido a que la función de choque es infinitamente diferenciable, su transformada de Fourier debe decaer más rápido que cualquier potencia finita de para una frecuencia angular grande ^[2] La transformada de Fourier de la función de choque particular ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle |k|.}$

$${\displaystyle \Psi (x)=e^{-1/(1-x^{2})}\mathbf {1} _{\{|x|<1\}}}$$

método de punto de silla

$${\displaystyle |k|^{-3/4}e^{-{\sqrt {|k|}}}}$$

^[3] ${\displaystyle |k|.}$

Ver también

• Función de corte  : más restringidaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Laplaciano del indicador  – Límite de secuencia de funciones suaves
• Función suave no analítica  : funciones matemáticas que son suaves pero no analíticas
• Espacio de Schwartz  : espacio funcional de todas las funciones cuyas derivadas disminuyen rápidamente

Citas

1. Las derivadas parciales son funciones continuas, por lo que la imagen del subconjunto compacto es un subconjunto compacto de El supremo está sobre todos los enteros no negativos donde, debido a que y son fijos, este supremo se toma solo un número finito de derivadas parciales, razón por la cual ${\displaystyle {\frac {\partial ^{p}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\overline {U_{k}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle 0\leq p=p_{1}+\cdots +p_{n}\leq k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M_{k}<\infty .}$

1. Nestruev 2020, págs. 13-16.
2. KO Mead y LM Delves, "Sobre la tasa de convergencia de expansiones de Fourier generalizadas", IMA J. Appl. Matemáticas. , vol. 12, págs. 247–259 (1973) doi :10.1093/imamat/12.3.247.
3. Steven G. Johnson , Integración de punto de silla de funciones "bump" de C∞, arXiv:1508.04376 (2015).

Referencias

• Nestruev, Jet (10 de septiembre de 2020). Colectores suaves y observables . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 220. Cham, Suiza: Springer Nature . ISBN 978-3-030-45649-8. OCLC  1195920718.