Operador densamente definido

Función que está definida casi en todas partes (matemáticas)

En matemáticas –específicamente, en teoría de operadores– un operador densamente definido o un operador parcialmente definido es un tipo de función parcialmente definida . En un sentido topológico , es un operador lineal que se define “casi en todas partes”. Los operadores densamente definidos surgen a menudo en el análisis funcional como operaciones que uno quisiera aplicar a una clase más grande de objetos que aquellos para los que a priori “tienen sentido”. ^{[ aclaración necesaria ]}

Un operador cerrado que se utiliza en la práctica suele estar definido de forma densa.

Definición

Un operador lineal densamente definido de un espacio vectorial topológico a otro es un operador lineal que se define en un subespacio lineal denso de y toma valores en escrito A veces esto se abrevia como cuando el contexto deja en claro que podría no ser el dominio de la teoría de conjuntos de ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (T)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle T:\operatorname {dom} (T)\subseteq X\to Y.}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T.}$

Ejemplos

Considere el espacio de todas las funciones continuas de valor real definidas en el intervalo unitario; sea , el subespacio que consiste en todas las funciones continuamente diferenciables . Equipe con la norma suprema ; esto convierte en un espacio de Banach real . El operador de diferenciación dado por es un operador densamente definido de a sí mismo, definido en el subespacio denso El operador es un ejemplo de un operador lineal ilimitado , ya que Esta falta de acotación causa problemas si uno desea de alguna manera extender continuamente el operador de diferenciación a la totalidad de ${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C^{1}([0,1];\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{\infty }}$ ${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle (\mathrm {D} u)(x)=u'(x)}$$ ${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C^{1}([0,1];\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle \mathrm {D} }$ $${\displaystyle u_{n}(x)=e^{-nx}\quad {\text{ has }}\quad {\frac {\left\|\mathrm {D} u_{n}\right\|_{\infty }}{\left\|u_{n}\right\|_{\infty }}}=n.}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} ).}$

La integral de Paley-Wiener , por otra parte, es un ejemplo de una extensión continua de un operador densamente definido. En cualquier espacio abstracto de Wiener con adjunto hay un operador lineal continuo natural (de hecho es la inclusión, y es una isometría ) de a bajo que va a la clase de equivalencia de en Se puede demostrar que es denso en Dado que la inclusión anterior es continua, hay una única extensión lineal continua de la inclusión a la totalidad de Esta extensión es la función de Paley-Wiener. ${\displaystyle i:H\to E}$ ${\displaystyle j:=i^{*}:E^{*}\to H,}$ ${\displaystyle j\left(E^{*}\right)}$ ${\displaystyle L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle j(f)\in j\left(E^{*}\right)\subseteq H}$ ${\displaystyle [f]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle j\left(E^{*}\right)}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle I:H\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle j\left(E^{*}\right)\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H.}$

Véase también

• Teorema de Blumberg  : Cualquier función real en R admite una restricción continua en un subconjunto denso de R
• Teorema de grafos cerrados (análisis funcional)  : teoremas que conectan la continuidad con el cierre de grafos
• Extensión lineal (álgebra lineal)  – Función matemática, en álgebra linealPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Función parcial  – Función cuyo dominio real de definición puede ser menor que su dominio aparente

Referencias

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos de Matemáticas Aplicadas 13 (segunda edición). Nueva York: Springer-Verlag. pp. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0.Señor 2028503  .