Funciones pares e impares

Funciones tales que f(–x) es igual a f(x) o –f(x)

La función seno y todos sus polinomios de Taylor son funciones impares.

La función coseno y todos sus polinomios de Taylor son funciones pares.

En matemáticas , una función par es una función real tal que para cada en su dominio . De manera similar, una función impar es una función tal que para cada en su dominio. ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ ${\displaystyle x}$

Se denominan así por la paridad de las potencias de las funciones potencia que satisfacen cada condición: la función es par si n es un entero par , y es impar si n es un entero impar. ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$

Las funciones pares son aquellas funciones reales cuya gráfica es autosimétrica respecto del eje y , y las funciones impares son aquellas cuya gráfica es autosimétrica respecto del origen .

Si el dominio de una función real es autosimétrico con respecto al origen, entonces la función puede descomponerse de forma única como la suma de una función par y una función impar.

Definición y ejemplos

La paridad y la imparidad se consideran generalmente para funciones reales , es decir, funciones de valor real de una variable real. Sin embargo, los conceptos pueden definirse de manera más general para funciones cuyo dominio y codominio tienen ambos una noción de inverso aditivo . Esto incluye grupos abelianos , todos los anillos , todos los cuerpos y todos los espacios vectoriales . Así, por ejemplo, una función real podría ser par o impar (o ninguna de las dos), al igual que una función de valor complejo de una variable vectorial, y así sucesivamente.

Los ejemplos dados son funciones reales, para ilustrar la simetría de sus gráficos .

Funciones pares

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$es un ejemplo de una función par.

Una función real f es par si, para cada x en su dominio, − x también está en su dominio y ^{[1] : p. 11} o equivalentemente $${\displaystyle f(-x)=f(x)}$$ $${\displaystyle f(x)-f(-x)=0.}$$

Geométricamente, la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y , lo que significa que su gráfica permanece sin cambios después de la reflexión sobre el eje y .

Ejemplos de funciones pares son:

• El valor absoluto ${\displaystyle x\mapsto |x|,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{4},}$
• coseno ${\displaystyle \cos ,}$
• coseno hiperbólico ${\displaystyle \cosh ,}$
• Función gaussiana ${\displaystyle x\mapsto \exp(-x^{2}).}$

Funciones impares

${\displaystyle f(x)=x^{3}}$es un ejemplo de una función impar.

Una función real f es impar si, para cada x en su dominio, − x también está en su dominio y ^{[1] : p. 72} o equivalentemente $${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$$ $${\displaystyle f(x)+f(-x)=0.}$$

Geométricamente, la gráfica de una función impar tiene simetría rotacional con respecto al origen , lo que significa que su gráfica permanece sin cambios después de una rotación de 180 grados alrededor del origen.

Si está en el dominio de una función impar , entonces . ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(0)=0}$

Ejemplos de funciones impares son:

• La función de signo ${\displaystyle x\mapsto \operatorname {sgn}(x),}$
• La función identidad ${\displaystyle x\mapsto x,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{3},}$
• seno ${\displaystyle \sin ,}$
• seno hiperbólico ${\displaystyle \sinh ,}$
• La función de error ${\displaystyle \operatorname {erf} .}$

${\displaystyle f(x)=x^{3}+1}$no es ni par ni impar.

Propiedades básicas

Unicidad

• Si una función es a la vez par e impar, es igual a 0 en todos los lugares donde está definida.
• Si una función es impar, el valor absoluto de esa función es una función par.

Suma y resta

• La suma de dos funciones pares es par.
• La suma de dos funciones impares es impar.
• La diferencia entre dos funciones impares es impar.
• La diferencia entre dos funciones pares es par.
• La suma de una función par e impar no es par ni impar, a menos que una de las funciones sea igual a cero en el dominio dado .

Multiplicación y división

• El producto de dos funciones pares es una función par.
  • Esto implica que el producto de cualquier número de funciones pares también es una función par.
• El producto de dos funciones impares es una función par.
• El producto de una función par y una función impar es una función impar.
• El cociente de dos funciones pares es una función par.
• El cociente de dos funciones impares es una función par.
• El cociente de una función par y una función impar es una función impar.

Composición

• La composición de dos funciones pares es par.
• La composición de dos funciones impares es impar.
• La composición de una función par y una función impar es par.
• La composición de cualquier función con una función par es par (pero no al revés).

Descomposición par-impar

Si una función real tiene un dominio que es autosimétrico con respecto al origen, puede descomponerse de forma única como la suma de una función par y una impar, que se denominan respectivamente la parte par (o el componente par ) y la parte impar (o el componente impar ) de la función, y se definen por y $${\displaystyle f_{\text{even}}(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}},}$$ $${\displaystyle f_{\text{odd}}(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}.}$$

Es fácil verificar que es par, es impar y ${\displaystyle f_{\text{even}}}$ ${\displaystyle f_{\text{odd}}}$ ${\displaystyle f=f_{\text{even}}+f_{\text{odd}}.}$

Esta descomposición es única ya que, si

${\displaystyle f(x)=g(x)+h(x),}$

donde g es par y h es impar, entonces y dado que ${\displaystyle g=f_{\text{even}}}$ ${\displaystyle h=f_{\text{odd}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2f_{\text{e}}(x)&=f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+h(x)+h(-x)=2g(x),\\2f_{\text{o}}(x)&=f(x)-f(-x)=g(x)-g(-x)+h(x)-h(-x)=2h(x).\end{aligned}}}$

Por ejemplo, el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico pueden considerarse como las partes par e impar de la función exponencial, ya que el primero es una función par, la segunda es impar y

${\displaystyle e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{even}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{odd}}(x)}}$.

Las transformadas de seno y coseno de Fourier también realizan una descomposición par-impar representando la parte impar de una función con ondas seno (una función impar) y la parte par de la función con ondas coseno (una función par).

Otras propiedades algebraicas

• Cualquier combinación lineal de funciones pares es par, y las funciones pares forman un espacio vectorial sobre los números reales . De manera similar, cualquier combinación lineal de funciones impares es impar, y las funciones impares también forman un espacio vectorial sobre los números reales. De hecho, el espacio vectorial de todas las funciones reales es la suma directa de los subespacios de las funciones pares e impares. Esta es una forma más abstracta de expresar la propiedad de la sección anterior.
  • El espacio de funciones puede considerarse un álgebra graduada sobre los números reales por esta propiedad, así como algunas de las anteriores.

• Las funciones pares forman un álgebra conmutativa sobre los números reales. Sin embargo, las funciones impares no forman un álgebra sobre los números reales, ya que no son cerradas bajo la multiplicación.

Propiedades analíticas

El hecho de que una función sea par o impar no implica diferenciabilidad , ni continuidad . Por ejemplo, la función de Dirichlet es par, pero no es continua en ningún punto.

A continuación se consideran las propiedades que involucran derivadas , series de Fourier y series de Taylor , y se supone que estos conceptos están definidos para las funciones consideradas.

Propiedades analíticas básicas

• La derivada de una función par es impar.
• La derivada de una función impar es par.
• La integral de una función impar de − A a + A es cero (donde A es finito y la función no tiene asíntotas verticales entre − A y A ). Para una función impar que es integrable en un intervalo simétrico, p. ej . , el resultado de la integral en ese intervalo es cero; es decir ^[2] ${\displaystyle [-A,A]}$

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0}$.

• La integral de una función par de − A a + A es el doble de la integral de 0 a + A (donde A es finito y la función no tiene asíntotas verticales entre − A y A . Esto también es cierto cuando A es infinito, pero solo si la integral converge); es decir

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx}$.

Serie

• La serie de Maclaurin de una función par incluye sólo potencias pares.
• La serie de Maclaurin de una función impar incluye sólo potencias impares.
• La serie de Fourier de una función periódica par incluye sólo términos coseno .
• La serie de Fourier de una función periódica impar incluye sólo términos seno .
• La transformada de Fourier de una función par puramente real es real y par. (ver Análisis de Fourier § Propiedades de simetría )
• La transformada de Fourier de una función impar de valor puramente real es imaginaria e impar. (ver Análisis de Fourier § Propiedades de simetría )

Armonía

En el procesamiento de señales , la distorsión armónica se produce cuando una señal de onda sinusoidal se envía a través de un sistema no lineal sin memoria , es decir, un sistema cuya salida en el momento t solo depende de la entrada en el momento t y no depende de la entrada en ningún momento anterior. Un sistema de este tipo se describe mediante una función de respuesta . El tipo de armónicos producidos depende de la función de respuesta f : ^[3] ${\displaystyle V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text{in}}(t))}$

• Cuando la función de respuesta es par, la señal resultante consistirá únicamente en armónicos pares de la onda sinusoidal de entrada; ${\displaystyle 0f,2f,4f,6f,\dots }$
  • La fundamental también es un armónico impar, por lo que no estará presente.
  • Un ejemplo sencillo es un rectificador de onda completa .
  • El componente representa el desplazamiento de CC, debido a la naturaleza unilateral de las funciones de transferencia incluso simétricas. ${\displaystyle 0f}$
• Cuando es impar, la señal resultante consistirá únicamente en armónicos impares de la onda sinusoidal de entrada; ${\displaystyle 1f,3f,5f,\dots }$
  • La señal de salida será simétrica de media onda .
  • Un ejemplo sencillo es el recorte en un amplificador push-pull simétrico .
• Cuando es asimétrica, la señal resultante puede contener armónicos pares o impares; ${\displaystyle 1f,2f,3f,\dots }$
  • Ejemplos sencillos son un rectificador de media onda y el recorte en un amplificador de clase A asimétrico .

Esto no es válido para formas de onda más complejas. Por ejemplo, una onda de dientes de sierra contiene armónicos pares e impares. Después de una rectificación de onda completa con simetría par, se convierte en una onda triangular que, además del desplazamiento de CC, contiene solo armónicos impares.

Generalizaciones

Funciones multivariadas

Simetría uniforme:

Una función se llama simétrica par si: ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

Simetría extraña:

Una función se llama simétrica impar si: ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

Funciones de valores complejos

Las definiciones de simetría par e impar para funciones de valor complejo de un argumento real son similares al caso real. En el procesamiento de señales , a veces se considera una simetría similar, que implica una conjugación compleja . ^{[4] [5]}

Simetría conjugada:

Una función de valor complejo de un argumento real se llama simétrica conjugada si ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(x)={\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

Una función de valor complejo es simétrica conjugada si y sólo si su parte real es una función par y su parte imaginaria es una función impar.

Un ejemplo típico de una función simétrica conjugada es la función cis

${\displaystyle x\to e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

Antisimetría conjugada:

Una función de valor complejo de un argumento real se denomina antisimétrica conjugada si: ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(x)=-{\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

Una función de valor complejo es antisimétrica conjugada si y sólo si su parte real es una función impar y su parte imaginaria es una función par.

Secuencias de longitud finita

Las definiciones de simetría par e impar se extienden a secuencias de N puntos (es decir, funciones de la forma ) de la siguiente manera: ^{[5] : p. 411} ${\displaystyle f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R} }$

Simetría uniforme:

Una secuencia de N puntos se denomina simétrica conjugada si

${\displaystyle f(n)=f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

A esta secuencia se la suele denominar secuencia palindrómica ; véase también Polinomio palindrómico .

Simetría extraña:

Una secuencia de N puntos se denomina antisimétrica conjugada si

${\displaystyle f(n)=-f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

A esta secuencia a veces se la denomina secuencia antipalindrómica ; véase también Polinomio antipalindrómico .

Véase también

• Función hermítica para una generalización en números complejos
• Serie de Taylor
• Serie de Fourier
• Método Holstein-Herring
• Paridad (física)

Notas

1. Gel'Fand, IM ; Glagoleva, EG ; Shnol, EE (1990). Funciones y gráficas . Birkhäuser. ISBN 0-8176-3532-7.
2. W., Weisstein, Eric. "Función impar". mathworld.wolfram.com .{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Berners, Dave (octubre de 2005). "Ask the Doctors: Tube vs. Solid-State Harmonics". UA WebZine . Universal Audio . Consultado el 22 de septiembre de 2016 . En resumen, si la función f(x) es impar, una entrada coseno no producirá armónicos pares. Si la función f(x) es par, una entrada coseno no producirá armónicos impares (pero puede contener un componente de CC). Si la función no es ni impar ni par, todos los armónicos pueden estar presentes en la salida.
4. Oppenheim, Alan V. ; Schafer, Ronald W. ; Buck, John R. (1999). Procesamiento de señales en tiempo discreto (2.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. p. 55. ISBN 0-13-754920-2.
5. Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996), Procesamiento de señales digitales: principios, algoritmos y aplicaciones (3.ª ed.), Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall International, ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ

Referencias

• Gelfand, IM ; Glagoleva, EG; Shnol, EE (2002) [1969], Funciones y gráficos, Mineola, NY: Dover Publications