Función hermítica

Tipo de función compleja

En análisis matemático , una función hermítica es una función compleja con la propiedad de que su conjugado complejo es igual a la función original con la variable cambiada de signo :

${\displaystyle f^{*}(x)=f(-x)}$

(donde indica el conjugado complejo) para todos en el dominio de . En física , esta propiedad se denomina simetría PT . ${\displaystyle ^{*}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

Esta definición se extiende también a funciones de dos o más variables, por ejemplo, en el caso de que sea una función de dos variables es hermítica si ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f^{*}(x_{1},x_{2})=f(-x_{1},-x_{2})}$

para todos los pares en el dominio de . ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle f}$

De esta definición se sigue inmediatamente que: es una función hermítica si y sólo si ${\displaystyle f}$

• la parte real de es una función par , ${\displaystyle f}$
• La parte imaginaria de es una función impar . ${\displaystyle f}$

Motivación

Las funciones hermíticas aparecen con frecuencia en matemáticas, física y procesamiento de señales . Por ejemplo, las dos afirmaciones siguientes se desprenden de las propiedades básicas de la transformada de Fourier: ^{[ cita requerida ]}

• La función tiene valor real si y sólo si la transformada de Fourier de es hermítica. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$
• La función es hermítica si y sólo si la transformada de Fourier de tiene valor real. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Dado que se garantiza que la transformada de Fourier de una señal real es hermítica, se puede comprimir utilizando la simetría hermítica par/impar. Esto, por ejemplo, permite almacenar la transformada de Fourier discreta de una señal (que en general es compleja) en el mismo espacio que la señal real original.

• Si f es hermítica, entonces . ${\displaystyle f\star g=f*g}$

Donde es la correlación cruzada y es la convolución . ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle *}$

• Si tanto f como g son hermíticas, entonces . ${\displaystyle f\star g=g\star f}$

Véase también

• Conjugado complejo  – Operación fundamental sobre números complejos
• Funciones pares e impares  : funciones tales que f(–x) es igual a f(x) o –f(x)