Ecuación de Euler-Tricomi

En matemáticas , la ecuación de Euler-Tricomi es una ecuación diferencial parcial lineal útil en el estudio del flujo transónico . Recibe su nombre en honor a los matemáticos Leonhard Euler y Francesco Giacomo Tricomi .

${\displaystyle u_{xx}+xu_{yy}=0.\,}$

Es elíptica en el semiplano x  > 0, parabólica en x  = 0 e hiperbólica en el semiplano  x  < 0. Sus características son

${\displaystyle x\,dx^{2}+dy^{2}=0,\,}$

que tienen la integral

${\displaystyle y\pm {\frac {2}{3}}x^{3/2}=C,}$

donde C es una constante de integración . Las características comprenden entonces dos familias de parábolas semicúbicas , con cúspides en la línea x = 0, y las curvas en el lado derecho del eje y .

Soluciones particulares

Una expresión general para soluciones particulares de las ecuaciones de Euler-Tricomi es:

${\displaystyle u_{k,p,q}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\frac {x^{m_{i}}y^{n_{i}}}{c_{i}}}\,}$

dónde

${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle p,q\in \{0,1\}}$

${\displaystyle m_{i}=3i+p}$

${\displaystyle n_{i}=2(k-i)+q}$

${\displaystyle c_{i}=m_{i}!!!\cdot (m_{i}-1)!!!\cdot n_{i}!!\cdot (n_{i}-1)!!}$

Estos se pueden combinar linealmente para formar otras soluciones como:

para k = 0 :

${\displaystyle u=A+Bx+Cy+Dxy\,}$

para k = 1 :

${\displaystyle u=A({\tfrac {1}{2}}y^{2}-{\tfrac {1}{6}}x^{3})+B({\tfrac {1}{2}}xy^{2}-{\tfrac {1}{12}}x^{4})+C({\tfrac {1}{6}}y^{3}-{\tfrac {1}{6}}x^{3}y)+D({\tfrac {1}{6}}xy^{3}-{\tfrac {1}{12}}x^{4}y)\,}$

etc.

La ecuación de Euler-Tricomi es una forma límite de la ecuación de Chaplygin .

Véase también

• Ecuación de hamburguesas
• La ecuación de Chaplygin

Bibliografía

• AD Polyanin, Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos , Chapman & Hall/CRC Press, 2002.

Enlaces externos

• Ecuaciones Tricomi y Tricomi generalizadas en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.