Autoadjunto

Elemento de álgebra donde x* es igual a x

En matemáticas , un elemento de un *-álgebra se llama autoadjunto si es el mismo que su adjunto (es decir, ). ${\displaystyle a=a^{*}}$

Definición

Sea una *-álgebra. Un elemento se llama autoadjunto si . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a=a^{*}}$

El conjunto de elementos autoadjuntos se denomina . ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$

Un subconjunto que está cerrado bajo la involución *, es decir , se llama autoadjunto. ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{*}}$

Un caso especial de particular importancia es el caso donde es un *-álgebra normada completa , que satisface la C*-identidad ( ), que se llama un C*-álgebra . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}}$

Especialmente en la literatura más antigua sobre *-álgebras y C*-álgebras, a estos elementos a menudo se les llama hermíticos. ^[1] Por eso, las notaciones , o para el conjunto de elementos autoadjuntos también se utilizan a veces, incluso en la literatura más reciente. ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{h}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{H}}$ ${\displaystyle H({\mathcal {A}})}$

Ejemplos

• Cada elemento positivo de un C*-álgebra es autoadjunto. ^[3]
• Para cada elemento de un *-álgebra, los elementos y son autoadjuntos, ya que * es un antiautomorfismo involutivo . ^[4] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle aa^{*}}$ ${\displaystyle a^{*}a}$
• Para cada elemento de un *-álgebra, las partes real e imaginaria y son autoadjuntas, donde denota la unidad imaginaria . ^[1] ${\displaystyle a}$ ${\textstyle \operatorname {Re} (a)={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}$ ${\textstyle \operatorname {Im} (a)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(a-a^{*})}$ ${\displaystyle \mathrm {i} }$
• Si es un elemento normal de un C*-álgebra , entonces para cada función de valor real , que es continua en el espectro de , el cálculo funcional continuo define un elemento autoadjunto . ^[5] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a)}$

Criterios

Sea una *-álgebra. Entonces: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Sea , entonces es autoadjunto, ya que . Un cálculo similar da como resultado que también es autoadjunto. ^[6] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a^{*}a}$ ${\displaystyle (a^{*}a)^{*}=a^{*}(a^{*})^{*}=a^{*}a}$ ${\displaystyle aa^{*}}$
• Sea el producto de dos elementos autoadjuntos . Entonces es autoadjunto si y conmutan , ya que siempre se cumple. ^[1] ${\displaystyle a=a_{1}a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle (a_{1}a_{2})^{*}=a_{2}^{*}a_{1}^{*}=a_{2}a_{1}}$
• Si es un C*-álgebra, entonces un elemento normal es autoadjunto si y solo si su espectro es real, es decir . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$

Propiedades

En *-álgebras

Sea una *-álgebra. Entonces: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Cada elemento puede descomponerse de forma única en partes reales e imaginarias, es decir, hay elementos determinados de forma única , por lo que se cumple. Donde y . ^[1] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle a=a_{1}+\mathrm {i} a_{2}}$ ${\textstyle a_{1}={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}$ ${\textstyle a_{2}={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(a-a^{*})}$
• El conjunto de elementos autoadjuntos es un subespacio lineal real de . De la propiedad anterior se deduce que es la suma directa de dos subespacios lineales reales, es decir . ^[7] ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{sa}\oplus \mathrm {i} {\mathcal {A}}_{sa}}$
• Si es autoadjunto, entonces es normal. ^[1] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle a}$
• El *-álgebra se denomina *-álgebra hermítica si cada elemento autoadjunto tiene un espectro real . ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$

En álgebras C*

Sea una C*-álgebra y . Entonces: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$

• Para el espectro o se cumple, ya que es real y se cumple para el radio espectral , porque es normal. ^[9] ${\displaystyle \left\|a\right\|\in \sigma (a)}$ ${\displaystyle -\left\|a\right\|\in \sigma (a)}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle r(a)=\left\|a\right\|}$ ${\displaystyle a}$
• De acuerdo con el cálculo funcional continuo, existen elementos positivos determinados de manera única , tales que con . Para la norma, se cumple. ^[10] Los elementos y también se denominan partes positiva y negativa . Además, se cumple para el valor absoluto definido para cada elemento . ^[11] ${\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle a=a_{+}-a_{-}}$ ${\displaystyle a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0}$ ${\displaystyle \left\|a\right\|=\max(\left\|a_{+}\right\|,\left\|a_{-}\right\|)}$ ${\displaystyle a_{+}}$ ${\displaystyle a_{-}}$ ${\displaystyle |a|=a_{+}+a_{-}}$ ${\textstyle |a|=(a^{*}a)^{\frac {1}{2}}}$
• Para cada e impar , existe un determinado de forma única que satisface , es decir, una raíz -ésima única , como se puede demostrar con el cálculo funcional continuo. ^[12] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle b^{n}=a}$ ${\displaystyle n}$

Véase también

• Matriz autoadjunta
• Operador autoadjunto

Notas

1. Dixmier 1977, pág. 4.
2. Dixmier 1977, pág. 3.
3. Palmer 2001, pág. 800.
4. Dixmier 1977, págs. 3-4.
5. Kadison y Ringrose 1983, pág. 271.
6. Palmer 2001, págs. 798–800.
7. Palmer 2001, pág. 798.
8. Palmer 2001, pág. 1008.
9. Kadison y Ringrose 1983, pág. 238.
10. Kadison y Ringrose 1983, pág. 246.
11. Dixmier 1977, pág. 15.
12. Blackadar 2006, pág. 63.

Referencias

• Blackadar, Bruce (2006). Álgebras de operadores. Teoría de las álgebras C* y las álgebras de von Neumann . Berlín/Heidelberg: Springer. pág. 63. ISBN 3-540-28486-9.
• Dixmier, Jacques (1977). C*-álgebras . Traducido por Jellett, Francis. Ámsterdam/Nueva York/Oxford: North-Holland. ISBN 0-7204-0762-1.Traducción al inglés de Les C*-algèbres et leurs représentations (en francés). Gauthier-Villars. 1969.
• Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1983). Fundamentos de la teoría de álgebras de operadores. Volumen 1 Teoría elemental . Nueva York/Londres: Academic Press. ISBN 0-12-393301-3.
• Palmer, Theodore W. (2001). Álgebras de Banach y teoría general de las *-álgebras: Volumen 2, *-álgebras . Cambridge University Press. ISBN 0-521-36638-0.