Autoadjunto

Elemento de álgebra donde x* es igual a x

En matemáticas , un elemento de un *-álgebra se llama autoadjunto si es igual que su adjunto (es decir ). ${\displaystyle a=a^{*}}$

Definición

Sea un *-álgebra. Un elemento se llama autoadjunto si . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a=a^{*}}$

Al conjunto de elementos autoadjuntos se le denomina . ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$

Un subconjunto que está cerrado bajo la involución *, es decir , se llama autoadjunto. ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{*}}$

Un caso especial de particular importancia es el caso en el que hay un *-álgebra normada completa , que satisface la identidad C* ( ), que se llama C*-álgebra . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}}$

Especialmente en la literatura más antigua sobre álgebras * y álgebras C*, estos elementos a menudo se denominan hermitianos. ^[1] Por eso también se utilizan a veces las notaciones , o para el conjunto de elementos autoadjuntos, incluso en la literatura más reciente. ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{h}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{H}}$ ${\displaystyle H({\mathcal {A}})}$

Ejemplos

• Cada elemento positivo de un álgebra C* es autoadjunto. ^[3]
• Para cada elemento de un *-álgebra, los elementos y son autoadjuntos, ya que * es un antiautomorfismo involutivo . ^[4] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle aa^{*}}$ ${\displaystyle a^{*}a}$
• Para cada elemento de un *-álgebra, las partes real e imaginaria y son autojuntas, donde denota la unidad imaginaria . ^[1] ${\displaystyle a}$ ${\textstyle \operatorname {Re} (a)={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}$ ${\textstyle \operatorname {Im} (a)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(a-a^{*})}$ ${\displaystyle \mathrm {i} }$
• Si es un elemento normal de un álgebra C* , entonces para cada función de valor real , que es continua en el espectro de , el cálculo funcional continuo define un elemento autoadjunto . ^[5] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a)}$

Criterios

Sea un *-álgebra. Entonces: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Dejemos que , entonces sea autoadjunto, ya que . Un cálculo similar arroja que también es autoadjunto. ^[6] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a^{*}a}$ ${\displaystyle (a^{*}a)^{*}=a^{*}(a^{*})^{*}=a^{*}a}$ ${\displaystyle aa^{*}}$
• Sea el producto de dos elementos autoconjuntos . Entonces es autoadjunto si y conmutado , ya que siempre se cumple. ^[1] ${\displaystyle a=a_{1}a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle (a_{1}a_{2})^{*}=a_{2}^{*}a_{1}^{*}=a_{2}a_{1}}$
• Si es un álgebra C*, entonces un elemento normal es autoadjunto si y sólo si su espectro es real, es decir . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$

Propiedades

En *-álgebras

Sea un *-álgebra. Entonces: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Cada elemento puede descomponerse de forma única en partes reales e imaginarias, es decir, existen elementos determinados de forma única , por lo que eso se cumple. Dónde y . ^[1] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle a=a_{1}+\mathrm {i} a_{2}}$ ${\textstyle a_{1}={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}$ ${\textstyle a_{2}={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(a-a^{*})}$
• El conjunto de elementos autoadjuntos es un subespacio lineal real de . De la propiedad anterior se deduce que es la suma directa de dos subespacios lineales reales, es decir . ^[7] ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{sa}\oplus \mathrm {i} {\mathcal {A}}_{sa}}$
• Si es autoadjunto, entonces es normal. ^[1] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle a}$
• El *-álgebra se llama *-álgebra hermitiana si cada elemento autoadjunto tiene un espectro real . ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$

En C * -álgebras

Sea un álgebra C* y . Entonces: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$

• Para el espectro o se cumple, ya que es real y se cumple para el radio espectral , porque es normal. ^[9] ${\displaystyle \left\|a\right\|\in \sigma (a)}$ ${\displaystyle -\left\|a\right\|\in \sigma (a)}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle r(a)=\left\|a\right\|}$ ${\displaystyle a}$
• Según el cálculo funcional continuo existen elementos positivos unívocamente determinados , tales que con . Para lo normal, se mantiene. ^[10] Los elementos y también se conocen como partes positivas y negativas . Además, se cumple el valor absoluto definido para cada elemento . ^[11] ${\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle a=a_{+}-a_{-}}$ ${\displaystyle a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0}$ ${\displaystyle \left\|a\right\|=\max(\left\|a_{+}\right\|,\left\|a_{-}\right\|)}$ ${\displaystyle a_{+}}$ ${\displaystyle a_{-}}$ ${\displaystyle |a|=a_{+}+a_{-}}$ ${\textstyle |a|=(a^{*}a)^{\frac {1}{2}}}$
• Para cada e impar , existe un determinado unívocamente que satisface , es decir, una raíz -ésima única , como se puede demostrar con el cálculo funcional continuo. ^[12] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle b^{n}=a}$ ${\displaystyle n}$

Ver también

• Matriz autoadjunta
• Operador autoadjunto

Notas

1. Dixmier 1977, pág. 4.
2. Dixmier 1977, pag. 3.
3. Palmer 1977, pag. 800.Error sfn: sin destino: CITEREFPalmer1977 ( ayuda )
4. Dixmier 1977, págs. 3–4.
5. Kadison 1983, pág. 271.Error sfn: sin destino: CITEREFKadison1983 ( ayuda )
6. Palmer 1977, págs. 798–800.Error sfn: sin destino: CITEREFPalmer1977 ( ayuda )
7. Palmer 1977, pag. 798.Error sfn: sin destino: CITEREFPalmer1977 ( ayuda )
8. Palmer 1977, pag. 1008.Error sfn: sin destino: CITEREFPalmer1977 ( ayuda )
9. Kadison 1983, pag. 238.Error sfn: sin destino: CITEREFKadison1983 ( ayuda )
10. Kadison 1983, pag. 246.Error sfn: sin destino: CITEREFKadison1983 ( ayuda )
11. Dixmier 1977, pag. 15.
12. Blackadar 2006, pag. 63.

Referencias

• Blackadar, Bruce (2006). Álgebras de operadores. Teoría de C*-Álgebras y Álgebras de von Neumann . Berlín/Heidelberg: Springer. pag. 63.ISBN​ 3-540-28486-9.
• Dixmier, Jacques (1977). C*-álgebras . Traducido por Jellett, Francis. Ámsterdam/Nueva York/Oxford: Holanda Septentrional. ISBN 0-7204-0762-1.Traducción al inglés de Les C*-algèbres et leurs représentations (en francés). Gauthier-Villars. 1969.
• Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1983). Fundamentos de la Teoría de Álgebras de Operadores. Volumen 1 Teoría elemental . Nueva York/Londres: Academic Press. ISBN 0-12-393301-3.
• Palmer, Theodore W. (1994). Álgebras de Banach y la teoría general de * -álgebras: Volumen 2, * -álgebras . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-36638-0.