Medida esférica

En matemáticas —específicamente, en la teoría de la medida geométrica— la medida esférica σ ⁿ es la medida de Borel "natural" en la n -esfera S ⁿ . La medida esférica a menudo se normaliza para que sea una medida de probabilidad en la esfera, es decir, de modo que σ ⁿ ( S ⁿ ) = 1.

Definición de medida esférica

Hay varias formas de definir la medida esférica. Una forma es utilizar la métrica "redonda" o " de arco " habitual ρ _n en S ⁿ ; es decir, para los puntos x e y en S ⁿ , ρ _n ( x ,  y ) se define como el ángulo (euclidiano) que subtienden en el centro de la esfera (el origen de R ^{n +1} ). Ahora construya la medida de Hausdorff n -dimensional H ⁿ en el espacio métrico ( S ⁿ ,  ρ _n ) y defina

${\displaystyle \sigma ^{n}={\frac {1}{H^{n}(\mathbf {S} ^{n})}}H^{n}.}$

También se podría haber dado a S ⁿ la métrica que hereda como subespacio del espacio euclidiano R ^{n +1} ; la misma medida esférica resulta de esta elección de métrica.

Otro método utiliza la medida de Lebesgue λ ^{n +1} en el espacio euclidiano ambiental R ^{n +1} : para cualquier subconjunto medible A de S ⁿ , defina σ ⁿ ( A ) como el volumen ( n  + 1)-dimensional de la "cuña" en la bola B ^{n +1} que subtiende en el origen. Es decir,

${\displaystyle \sigma ^{n}(A):={\frac {1}{\alpha (n+1)}}\lambda ^{n+1}(\{tx\mid x\in A,t\in [0,1]\}),}$

dónde

${\displaystyle \alpha (m):=\lambda ^{m}(\mathbf {B} _{1}^{m}(0)).}$

El hecho de que todos estos métodos definan la misma medida en S ⁿ se desprende de un elegante resultado de Christensen: todas estas medidas están obviamente distribuidas uniformemente en S ⁿ , y dos medidas regulares de Borel uniformemente distribuidas en un espacio métrico separable deben ser múltiplos constantes (positivos) entre sí. Dado que todos nuestros σ ⁿ candidatos se han normalizado para que sean medidas de probabilidad, todos son la misma medida.

Relación con otras medidas

Ya se ha discutido la relación de la medida esférica con la medida de Hausdorff en la esfera y la medida de Lebesgue en el espacio circundante.

La medida esférica tiene una buena relación con la medida de Haar en el grupo ortogonal . Sea O( n ) el grupo ortogonal que actúa sobre R ⁿ y sea θ ⁿ su medida de Haar normalizada (de modo que θ ⁿ (O( n )) = 1). El grupo ortogonal también actúa sobre la esfera S ^{n −1} . Entonces, para cualquier x  ∈  S ^{n −1} y cualquier A  ⊆  S ^{n −1} ,

${\displaystyle \theta ^{n}(\{g\in \mathrm {O} (n)\mid g(x)\in A\})=\sigma ^{n-1}(A).}$

En el caso de que S ⁿ sea un grupo topológico (es decir, cuando n es 0, 1 o 3), la medida esférica σ ⁿ coincide con la medida de Haar (normalizada) en S ⁿ .

Desigualdad isoperimétrica

Existe una desigualdad isoperimétrica para la esfera con su medida métrica y esférica habitual (véase Ledoux y Talagrand, capítulo 1):

Si A  ⊆  S ^{n −1} es cualquier conjunto de Borel y B ⊆  S ^{n −1} es una ρ _n -bola con la misma σ ⁿ -medida que A , entonces, para cualquier r  > 0,

${\displaystyle \sigma ^{n}(A_{r})\geq \sigma ^{n}(B_{r}),}$

donde A _r denota la "inflación" de A por r , es decir

${\displaystyle A_{r}:=\{x\in \mathbf {S} ^{n}\mid \rho _{n}(x,A)\leq r\}.}$

En particular, si σ ⁿ ( A ) ≥  ⁠1/2⁠ y n  ≥ 2, entonces

${\displaystyle \sigma ^{n}(A_{r})\geq 1-{\sqrt {\frac {\pi }{8}}}\,\exp \left(-{\frac {(n-1)r^{2}}{2}}\right).}$

Referencias

• Christensen, Jens Peter Reus (1970). "Sobre algunas medidas análogas a la medida de Haar". Mathematica Scandinavica . 26 : 103–106. ISSN  0025-5521. Sr. 0260979
• Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Probabilidad en espacios de Banach . Berlín: Springer-Verlag. pp. xii+480. ISBN 3-540-52013-9. MR 1102015 (Ver capítulo 1)
• Mattila, Pertti (1995). Geometría de conjuntos y medidas en espacios euclidianos: fractales y rectificabilidad . Cambridge Studies in Advanced Mathematics No. 44. Cambridge: Cambridge University Press. pp. xii+343. ISBN 0-521-46576-1. MR 1333890 (Ver capítulo 3)