Núcleo de Szegő

En el estudio matemático de varias variables complejas , el núcleo de Szegő es un núcleo integral que da lugar a un núcleo reproductor en un espacio de Hilbert natural de funciones holomorfas . Recibe su nombre en honor a su descubridor, el matemático húngaro Gábor Szegő .

Sea Ω un dominio acotado en C ⁿ con frontera C ² y sea A (Ω) el espacio de todas las funciones holomorfas en Ω que son continuas en . Defina el espacio de Hardy H ² (∂Ω) como la clausura en L ² (∂Ω) de las restricciones de elementos de A (Ω) a la frontera. La integral de Poisson implica que cada elemento ƒ de H ² (∂Ω) se extiende a una función holomorfa Pƒ en Ω. Además, para cada z  ∈ Ω, la función ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$

${\displaystyle f\mapsto Pf(z)}$

define un funcional lineal continuo sobre H ² (∂Ω). Por el teorema de representación de Riesz , este funcional lineal se representa por un núcleo k _z , es decir

${\displaystyle Pf(z)=\int _{\partial \Omega }f(\zeta ){\overline {k_{z}(\zeta )}}\,d\sigma (\zeta ).}$

El núcleo de Szegő está definido por

${\displaystyle S(z,\zeta )={\overline {k_{z}(\zeta )}},\quad z\in \Omega ,\zeta \in \partial \Omega .}$

Al igual que su primo cercano, el núcleo de Bergman , el núcleo de Szegő es holomorfo en z . De hecho, si φ _i es una base ortonormal de H ² (∂Ω) que consiste enteramente en las restricciones de funciones en A (Ω), entonces un argumento del teorema de Riesz-Fischer muestra que

${\displaystyle S(z,\zeta )=\sum _{i=1}^{\infty }\phi _{i}(z){\overline {\phi _{i}(\zeta )}}.}$

Referencias

• Krantz, Steven G. (2002), Teoría de funciones de varias variables complejas , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2724-6