Delta de Kronecker

Función matemática de dos variables; salida 1 si son iguales, 0 en caso contrario

En matemáticas , la delta de Kronecker (llamada así por Leopold Kronecker ) es una función de dos variables , normalmente números enteros no negativos . La función es 1 si las variables son iguales y 0 en caso contrario: o con el uso de corchetes de Iverson : Por ejemplo, porque , mientras que porque . $${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \delta _{ij}=[i=j]\,}$$ ${\displaystyle \delta _{12}=0}$ ${\displaystyle 1\neq 2}$ ${\displaystyle \delta _{33}=1}$ ${\displaystyle 3=3}$

El delta de Kronecker aparece de forma natural en muchas áreas de las matemáticas, la física, la ingeniería y la informática, como un medio de expresar de forma compacta su definición anterior.

En álgebra lineal , la matriz identidad tiene entradas iguales al delta de Kronecker: donde y toman los valores , y el producto interno de los vectores se puede escribir como Aquí los vectores euclidianos se definen como n -tuplas: y y el último paso se obtiene utilizando los valores del delta de Kronecker para reducir la suma sobre . ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ $${\displaystyle I_{ij}=\delta _{ij}}$$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle 1,2,\cdots ,n}$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},...,b_{n})}$ ${\displaystyle j}$

Es común que i y j estén restringidos a un conjunto de la forma {1, 2, ..., n } o {0, 1, ..., n − 1} , pero el delta de Kronecker se puede definir en un conjunto arbitrario.

Propiedades

Se satisfacen las siguientes ecuaciones: Por lo tanto, la matriz δ puede considerarse como una matriz identidad. $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij}&=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{aligned}}}$$

Otra representación útil es la siguiente forma: Esta se puede derivar utilizando la fórmula para la serie geométrica . $${\displaystyle \delta _{nm}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}}(n-m)}}$$

Notación alternativa

Utilizando el soporte de Iverson : $${\displaystyle \delta _{ij}=[i=j].}$$

A menudo se utiliza una notación de un solo argumento , que equivale a configurar : ${\displaystyle \delta _{i}}$ ${\displaystyle j=0}$ $${\displaystyle \delta _{i}=\delta _{i0}={\begin{cases}0,&{\text{if }}i\neq 0\\1,&{\text{if }}i=0\end{cases}}}$$

En álgebra lineal , se puede considerar como un tensor y se escribe . A veces, el delta de Kronecker se denomina tensor de sustitución. ^[1] ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$

Procesamiento de señales digitales

Función de muestra unitaria

En el estudio del procesamiento de señales digitales (DSP), la función de muestra unitaria representa un caso especial de una función delta de Kronecker bidimensional donde los índices de Kronecker incluyen el número cero y donde uno de los índices es cero. En este caso: ${\displaystyle \delta [n]}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ $${\displaystyle \delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}~~~{\text{where}}-\infty <n<\infty }$$

O de forma más general donde: $${\displaystyle \delta [n-k]\equiv \delta [k-n]\equiv \delta _{nk}\equiv \delta _{kn}{\text{where}}-\infty <n<\infty ,-\infty <k<\infty }$$

Sin embargo, este es solo un caso especial. En el cálculo tensorial, es más común numerar los vectores base en una dimensión particular comenzando con el índice 1, en lugar del índice 0. En este caso, la relación no existe y, de hecho, la función delta de Kronecker y la función de muestra unitaria son funciones diferentes que se superponen en el caso específico en el que los índices incluyen el número 0, el número de índices es 2 y uno de los índices tiene el valor cero. ${\displaystyle \delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}}$

Si bien la función de muestra unitaria discreta y la función delta de Kronecker utilizan la misma letra, difieren en los siguientes aspectos. En el caso de la función de muestra unitaria discreta, es más convencional colocar un único índice entero entre corchetes; en cambio, la delta de Kronecker puede tener cualquier número de índices. Además, el propósito de la función de muestra unitaria discreta es diferente al de la función delta de Kronecker. En DSP, la función de muestra unitaria discreta se utiliza normalmente como función de entrada a un sistema discreto para descubrir la función del sistema que se producirá como salida del sistema. En cambio, el propósito típico de la función delta de Kronecker es filtrar términos a partir de una convención de suma de Einstein .

La función de muestra unitaria discreta se define de forma más sencilla como: $${\displaystyle \delta [n]={\begin{cases}1&n=0\\0&n{\text{ is another integer}}\end{cases}}}$$

Además, la función delta de Dirac suele confundirse con la función delta de Kronecker y la función de muestra unitaria. La delta de Dirac se define como: $${\displaystyle {\begin{cases}\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\delta (t)dt=1&\forall \varepsilon >0\\\delta (t)=0&\forall t\neq 0\end{cases}}}$$

A diferencia de la función delta de Kronecker y la función de muestra unitaria , la función delta de Dirac no tiene un índice entero, tiene un único valor continuo no entero t . ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta [n]}$ ${\displaystyle \delta (t)}$

Para complicar aún más las cosas, la función de impulso unitario a veces se utiliza para referirse a la función delta de Dirac o a la función de muestra unitaria . ${\displaystyle \delta (t)}$ ${\displaystyle \delta [n]}$

Propiedades notables

El delta de Kronecker tiene la llamada propiedad de tamizado que para : y si los números enteros se consideran como un espacio de medida , dotado de la medida de conteo , entonces esta propiedad coincide con la propiedad definitoria de la función delta de Dirac y, de hecho, el delta de Dirac recibió el nombre del delta de Kronecker debido a esta propiedad análoga. ^[2] En el procesamiento de señales, normalmente es el contexto (tiempo discreto o continuo) el que distingue las "funciones" de Kronecker y Dirac. Y por convención, generalmente indica tiempo continuo (Dirac), mientras que argumentos como , , , , , y suelen reservarse para tiempo discreto (Kronecker). Otra práctica común es representar secuencias discretas con corchetes; así: . El delta de Kronecker no es el resultado de muestrear directamente la función delta de Dirac. ${\displaystyle j\in \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ij}=a_{j}.}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)\,dx=f(y),}$$ ${\displaystyle \delta (t)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \delta [n]}$

El delta de Kronecker forma el elemento identidad multiplicativo de un álgebra de incidencia . ^[3]

Relación con la función delta de Dirac

En teoría de probabilidad y estadística , tanto la función delta de Kronecker como la delta de Dirac se pueden utilizar para representar una distribución discreta . Si el soporte de una distribución consiste en puntos , con probabilidades correspondientes , entonces la función de masa de probabilidad de la distribución se puede escribir, utilizando la delta de Kronecker, como ${\displaystyle \mathbf {x} =\{x_{1},\cdots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n}}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ $${\displaystyle p(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta _{xx_{i}}.}$$

De manera equivalente, la función de densidad de probabilidad de la distribución se puede escribir utilizando la función delta de Dirac como ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).}$$

En determinadas condiciones, la delta de Kronecker puede surgir del muestreo de una función delta de Dirac. Por ejemplo, si un impulso delta de Dirac se produce exactamente en un punto de muestreo y se filtra idealmente con un filtro de paso bajo (con corte en la frecuencia crítica) según el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , la señal discreta resultante será una función delta de Kronecker.

Generalizaciones

Si se considera como un tensor de tipo , el tensor de Kronecker se puede escribir con un índice covariante y un índice contravariante : ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle \delta _{j}^{i}={\begin{cases}0&(i\neq j),\\1&(i=j).\end{cases}}}$$

Este tensor representa:

• La aplicación identidad (o matriz identidad), considerada como una aplicación lineal o ${\displaystyle V\to V}$ ${\displaystyle V^{*}\to V^{*}}$
• La contracción del trazo o tensor , considerada como una aplicación ${\displaystyle V^{*}\otimes V\to K}$
• El mapa , que representa la multiplicación escalar como una suma de productos externos . ${\displaystyle K\to V^{*}\otimes V}$

ElEl delta de Kronecker generalizado odelta de Kronecker multiíndicede ordenes un tipotensor que es completamenteantisimétricoen susíndices superiores, y también en susíndices inferiores. ${\displaystyle 2p}$ ${\displaystyle (p,p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Se utilizan dos definiciones que difieren en un factor de . A continuación, se presenta la versión que tiene componentes distintos de cero escalados a . La segunda versión tiene componentes distintos de cero que son , con los consiguientes cambios en los factores de escala en las fórmulas, como los factores de escala de en § Propiedades del delta de Kronecker generalizado que aparecen a continuación, que desaparecen. ^[4] ${\displaystyle p!}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \pm 1/p!}$ ${\displaystyle 1/p!}$

Definiciones del delta de Kronecker generalizado

En términos de índices, el delta de Kronecker generalizado se define como: ^{[5] [6]} $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{cases}{\phantom {-}}1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an even permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\-1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an odd permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\{\phantom {-}}0&\quad {\text{in all other cases}}.\end{cases}}}$$

Sea el grupo simétrico de grado , entonces: ${\displaystyle \mathrm {S} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{\sigma (1)}}^{\mu _{1}}\cdots \delta _{\nu _{\sigma (p)}}^{\mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{\sigma (1)}}\cdots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{\sigma (p)}}.}$$

Usando anti-simetrización : $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=p!\delta _{[\nu _{1}}^{\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}]}^{\mu _{p}}=p!\delta _{\nu _{1}}^{[\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}]}.}$$

En términos de determinante : ^[7] ${\displaystyle p\times p}$ $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{vmatrix}\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{1}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{p}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\end{vmatrix}}.}$$

Utilizando la expansión de Laplace ( fórmula de Laplace ) del determinante, se puede definir recursivamente : ^[8] donde el carón, , indica un índice que se omite de la secuencia. $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=\sum _{k=1}^{p}(-1)^{p+k}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots {\check {\nu }}_{k}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k}\dots {\check {\mu }}_{p}}\\&=\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p-1}}-\sum _{k=1}^{p-1}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{k-1}\,\nu _{p}\,\nu _{k+1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k-1}\,\mu _{k}\,\mu _{k+1}\dots \mu _{p-1}},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\check {}}}$

Cuando (la dimensión del espacio vectorial), en términos del símbolo de Levi-Civita : De manera más general, para , utilizando la convención de suma de Einstein : ${\displaystyle p=n}$ $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}=\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\,.}$$ ${\displaystyle m=n-p}$ $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\tfrac {1}{m!}}\varepsilon ^{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\mu _{1}\dots \mu _{p}}\varepsilon _{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\nu _{1}\dots \nu _{p}}\,.}$$

Contracciones del delta de Kronecker generalizado

Las contracciones delta de Kronecker dependen de la dimensión del espacio. Por ejemplo, donde d es la dimensión del espacio. A partir de esta relación, la delta contraída completa se obtiene como La generalización de las fórmulas anteriores es ^{[ cita requerida ]} $${\displaystyle \delta _{\mu _{1}}^{\nu _{1}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=(d-1)\delta _{\nu _{2}}^{\mu _{2}},}$$ $${\displaystyle \delta _{\mu _{1}\mu _{2}}^{\nu _{1}\nu _{2}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=2d(d-1).}$$ $${\displaystyle \delta _{\mu _{1}\dots \mu _{n}}^{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=n!{\frac {(d-p+n)!}{(d-p)!}}\delta _{\nu _{n+1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{n+1}\dots \mu _{p}}.}$$

Propiedades de la delta de Kronecker generalizada

El delta de Kronecker generalizado se puede utilizar para la antisimetrización : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}.\end{aligned}}}$$

A partir de las ecuaciones anteriores y de las propiedades de los tensores antisimétricos , podemos derivar las propiedades del delta de Kronecker generalizado: que son la versión generalizada de las fórmulas escritas en § Propiedades . La última fórmula es equivalente a la fórmula de Cauchy–Binet . $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}},\end{aligned}}}$$

La reducción del orden mediante la suma de los índices puede expresarse mediante la identidad ^[9] $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}={\frac {(n-s)!}{(n-p)!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}}.}$$

Usando tanto la regla de suma para el caso como la relación con el símbolo de Levi-Civita, se deriva la regla de suma del símbolo de Levi-Civita : La versión 4D de la última relación aparece en el enfoque de espinor de Penrose para la relatividad general ^[10] que luego generalizó, mientras desarrollaba los diagramas de Aitken, ^[11] para convertirse en parte de la técnica de notación gráfica de Penrose . ^[12] Además, esta relación se usa ampliamente en las teorías de dualidad S , especialmente cuando se escribe en el lenguaje de las formas diferenciales y los duales de Hodge . ${\displaystyle p=n}$ $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\frac {1}{(n-p)!}}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}.}$$

Representaciones integrales

Para cualquier número entero , utilizando un cálculo de residuo estándar , podemos escribir una representación integral para el delta de Kronecker como la integral que se muestra a continuación, donde el contorno de la integral va en sentido antihorario alrededor de cero. Esta representación también es equivalente a una integral definida mediante una rotación en el plano complejo. ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=1}z^{x-n-1}\,dz={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(x-n)\varphi }\,d\varphi }$$

El peine Kronecker

La función peine de Kronecker con período se define (usando la notación DSP ) como: donde y son números enteros. El peine de Kronecker consiste, por lo tanto, en una serie infinita de impulsos unitarios separados por N unidades, e incluye el impulso unitario en cero. Puede considerarse como el análogo discreto del peine de Dirac . ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \Delta _{N}[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta [n-kN],}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$

Integral de Kronecker

El delta de Kronecker también se denomina grado de aplicación de una superficie en otra. ^[13] Supongamos que se produce una aplicación desde la superficie S _uvw a S _xyz , que son límites de las regiones R _uvw y R _xyz, que están simplemente conectadas con una correspondencia uno a uno. En este marco, si s y t son parámetros para S _uvw , y S _uvw a S _uvw están orientados cada uno por la normal externa n : mientras que la normal tiene la dirección de $${\displaystyle u=u(s,t),\quad v=v(s,t),\quad w=w(s,t),}$$ $${\displaystyle (u_{s}\mathbf {i} +v_{s}\mathbf {j} +w_{s}\mathbf {k} )\times (u_{t}\mathbf {i} +v_{t}\mathbf {j} +w_{t}\mathbf {k} ).}$$

Sea x = x ( u , v , w ) , y = y ( u , v , w ) , z = z ( u , v , w ) definida y suave en un dominio que contiene S _uvw , y sean estas ecuaciones las que definen la aplicación de S _uvw sobre S _xyz . Entonces el grado δ de la aplicación es ⁠1/4π⁠ veces el ángulo sólido de la imagen S de S _uvw con respecto al punto interior de S _xyz , O . Si O es el origen de la región, R _xyz , entonces el grado, δ viene dado por la integral: $${\displaystyle \delta ={\frac {1}{4\pi }}\iint _{R_{st}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}{\begin{vmatrix}x&y&z\\{\frac {\partial x}{\partial s}}&{\frac {\partial y}{\partial s}}&{\frac {\partial z}{\partial s}}\\{\frac {\partial x}{\partial t}}&{\frac {\partial y}{\partial t}}&{\frac {\partial z}{\partial t}}\end{vmatrix}}\,ds\,dt.}$$

Véase también

• Medida de Dirac
• Función indicadora
• Símbolo de Levi-Civita
• Métrica de Minkowski
• Símbolo de 't Hooft
• Función de unidad
• Puerta XNOR

Referencias

1. Trowbridge, JH (1998). "Sobre una técnica para la medición de la tensión cortante turbulenta en presencia de ondas superficiales". Revista de tecnología atmosférica y oceánica . 15 (1): 291. Bibcode :1998JAtOT..15..290T. doi : 10.1175/1520-0426(1998)015<0290:OATFMO>2.0.CO;2 .
2. Dirac, Paul (1930). Los principios de la mecánica cuántica (1.ª ed.) . Oxford University Press. ISBN 9780198520115.
3. Spiegel, Eugene; O'Donnell, Christopher J. (1997), Álgebras de incidencia , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 206, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0036-8.
4. Pope, Christopher (2008). "Geometría y teoría de grupos" (PDF) .
5. Frankel, Theodore (2012). La geometría de la física: una introducción (3.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 9781107602601.
6. Agarwal, DC (2007). Cálculo tensorial y geometría riemanniana (22.ª ed.). Krishna Prakashan Media.^{[ Falta ISBN ]}
7. Lovelock, David; Rund, Hanno (1989). Tensores, formas diferenciales y principios variacionales . Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65840-6.
8. Una definición recursiva requiere un primer caso, que puede tomarse como δ = 1 para p = 0 , o alternativamente δ^mi
   _​= δ^mi
   _​para p = 1 (delta generalizado en términos del delta estándar).
9. Hassani, Sadri (2008). Métodos matemáticos: para estudiantes de física y campos relacionados (2.ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09503-5.
10. Penrose, Roger (junio de 1960). "Un enfoque espinorial para la relatividad general". Anales de Física . 10 (2): 171–201. Código Bibliográfico :1960AnPhy..10..171P. doi :10.1016/0003-4916(60)90021-X.
11. Aitken, Alexander Craig (1958). Determinantes y matrices . Reino Unido: Oliver y Boyd.
12. Roger Penrose , "Aplicaciones de tensores dimensionales negativos", en Combinatorial Mathematics and its Applications , Academic Press (1971).
13. Kaplan, Wilfred (2003). Cálculo avanzado. Pearson Education. pág. 364. ISBN 0-201-79937-5.