En física teórica , la dualidad S (abreviatura de dualidad fuerte-débil o dualidad Sen ) es una equivalencia de dos teorías físicas, que pueden ser teorías cuánticas de campos o teorías de cuerdas . La dualidad S es útil para realizar cálculos en física teórica porque relaciona una teoría en la que los cálculos son difíciles con una teoría en la que son más fáciles. [1]
En la teoría cuántica de campos, la dualidad S generaliza un hecho bien establecido de la electrodinámica clásica , a saber, la invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo el intercambio de campos eléctricos y magnéticos . Uno de los primeros ejemplos conocidos de dualidad S en la teoría cuántica de campos es la dualidad Montonen-Olive , que relaciona dos versiones de una teoría cuántica de campos llamada teoría supersimétrica de Yang-Mills N = 4. El trabajo reciente de Anton Kapustin y Edward Witten sugiere que la dualidad Montonen-Olive está estrechamente relacionada con un programa de investigación en matemáticas llamado programa geométrico Langlands . Otra realización de la dualidad S en la teoría cuántica de campos es la dualidad Seiberg , que relaciona dos versiones de una teoría llamada teoría supersimétrica de Yang-Mills N = 1 .
También hay muchos ejemplos de dualidad S en la teoría de cuerdas. La existencia de estas dualidades de cuerdas implica que formulaciones aparentemente diferentes de la teoría de cuerdas son en realidad físicamente equivalentes. Esto llevó a la conclusión, a mediados de la década de 1990, de que las cinco teorías de supercuerdas consistentes son simplemente casos límite diferentes de una única teoría de once dimensiones llamada teoría M. [2 ]
En la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas, una constante de acoplamiento es un número que controla la fuerza de las interacciones en la teoría. Por ejemplo, la fuerza de la gravedad se describe mediante un número llamado constante de Newton , que aparece en la ley de la gravedad de Newton y también en las ecuaciones de la teoría general de la relatividad de Albert Einstein . De manera similar, la fuerza de la fuerza electromagnética se describe mediante una constante de acoplamiento, que está relacionada con la carga transportada por un solo protón .
Para calcular cantidades observables en la teoría cuántica de campos o la teoría de cuerdas, los físicos suelen aplicar los métodos de la teoría de perturbaciones . En la teoría de perturbaciones, las cantidades llamadas amplitudes de probabilidad , que determinan la probabilidad de que ocurran varios procesos físicos, se expresan como sumas de una cantidad infinita de términos , donde cada término es proporcional a una potencia de la constante de acoplamiento :
Para que una expresión de este tipo tenga sentido, la constante de acoplamiento debe ser menor que 1, de modo que las potencias superiores de se vuelvan despreciablemente pequeñas y la suma sea finita. Si la constante de acoplamiento no es menor que 1, entonces los términos de esta suma se harán cada vez más grandes, y la expresión dará una respuesta infinita sin sentido. En este caso, se dice que la teoría está fuertemente acoplada y no se puede utilizar la teoría de perturbaciones para hacer predicciones.
Para ciertas teorías, la dualidad S proporciona una forma de realizar cálculos en un acoplamiento fuerte al traducir estos cálculos en cálculos diferentes en una teoría débilmente acoplada. La dualidad S es un ejemplo particular de una noción general de dualidad en física. El término dualidad se refiere a una situación en la que dos sistemas físicos aparentemente diferentes resultan ser equivalentes de una manera no trivial. Si dos teorías están relacionadas por una dualidad, significa que una teoría puede transformarse de alguna manera para que termine pareciéndose a la otra teoría. Entonces se dice que las dos teorías son duales entre sí bajo la transformación. Dicho de otra manera, las dos teorías son descripciones matemáticamente diferentes de los mismos fenómenos.
La dualidad S es útil porque relaciona una teoría con una constante de acoplamiento con una teoría equivalente con una constante de acoplamiento . Por lo tanto, relaciona una teoría fuertemente acoplada (donde la constante de acoplamiento es mucho mayor que 1) con una teoría débilmente acoplada (donde la constante de acoplamiento es mucho menor que 1 y los cálculos son posibles). Por esta razón, la dualidad S se denomina dualidad fuerte-débil .
En física clásica , el comportamiento del campo eléctrico y magnético se describe mediante un sistema de ecuaciones conocido como ecuaciones de Maxwell . Trabajando en el lenguaje del cálculo vectorial y suponiendo que no hay cargas eléctricas ni corrientes , estas ecuaciones se pueden escribir [3]
Aquí hay un vector (o más precisamente, un campo vectorial cuya magnitud y dirección pueden variar de un punto a otro en el espacio) que representa el campo eléctrico, es un vector que representa el campo magnético, es el tiempo y es la velocidad de la luz . Los otros símbolos en estas ecuaciones se refieren a la divergencia y al rizo , que son conceptos del cálculo vectorial.
Una propiedad importante de estas ecuaciones [4] es su invariancia bajo la transformación que simultáneamente reemplaza el campo eléctrico por el campo magnético y reemplaza por :
En otras palabras, dado un par de campos eléctricos y magnéticos que resuelven las ecuaciones de Maxwell, es posible describir una nueva configuración física en la que estos campos eléctricos y magnéticos están esencialmente intercambiados, y los nuevos campos darán nuevamente una solución de las ecuaciones de Maxwell. Esta situación es la manifestación más básica de la dualidad S en una teoría de campos.
En la teoría cuántica de campos, los campos eléctricos y magnéticos se unifican en una sola entidad llamada campo electromagnético , y este campo se describe mediante un tipo especial de teoría cuántica de campos llamada teoría de calibre o teoría de Yang-Mills . En una teoría de calibre, los campos físicos tienen un alto grado de simetría que se puede entender matemáticamente utilizando la noción de un grupo de Lie . Este grupo de Lie se conoce como el grupo de calibre . El campo electromagnético se describe mediante una teoría de calibre muy simple correspondiente al grupo de calibre abeliano U(1) , pero existen otras teorías de calibre con grupos de calibre no abelianos más complicados . [5]
Es natural preguntarse si existe un análogo en la teoría de calibración de la simetría que intercambia los campos eléctrico y magnético en las ecuaciones de Maxwell. La respuesta fue dada a fines de la década de 1970 por Claus Montonen y David Olive , [6] basándose en trabajos anteriores de Peter Goddard , Jean Nuyts y Olive. [7] Su trabajo proporciona un ejemplo de dualidad S ahora conocida como dualidad Montonen-Olive . La dualidad Montonen-Olive se aplica a un tipo muy especial de teoría de calibración llamada teoría de Yang-Mills supersimétrica N = 4 , y dice que dos de esas teorías pueden ser equivalentes en un cierto sentido preciso. [1] Si una de las teorías tiene un grupo de calibración , entonces la teoría dual tiene grupo de calibración donde denota el grupo dual de Langlands que es en general diferente de . [8]
Una cantidad importante en la teoría cuántica de campos es la constante de acoplamiento compleja, un número complejo definido por la fórmula [9].
donde es el ángulo theta , una cantidad que aparece en el lagrangiano que define la teoría, [9] y es la constante de acoplamiento. Por ejemplo, en la teoría de Yang-Mills que describe el campo electromagnético, este número es simplemente la carga elemental transportada por un solo protón. [1] Además de intercambiar los grupos de calibración de las dos teorías, la dualidad Montonen-Olive transforma una teoría con constante de acoplamiento complejizada en una teoría con constante complejizada . [9]
En matemáticas, la correspondencia clásica de Langlands es una colección de resultados y conjeturas que relacionan la teoría de números con la rama de las matemáticas conocida como teoría de la representación . [10] Formulada por Robert Langlands a fines de la década de 1960, la correspondencia de Langlands está relacionada con conjeturas importantes en la teoría de números, como la conjetura de Taniyama-Shimura , que incluye el último teorema de Fermat como un caso especial. [10]
A pesar de su importancia en la teoría de números, establecer la correspondencia de Langlands en el contexto de la teoría de números ha resultado extremadamente difícil. [10] Como resultado, algunos matemáticos han trabajado en una conjetura relacionada conocida como la correspondencia geométrica de Langlands . Se trata de una reformulación geométrica de la correspondencia clásica de Langlands que se obtiene sustituyendo los cuerpos numéricos que aparecen en la versión original por cuerpos funcionales y aplicando técnicas de la geometría algebraica . [10]
En un artículo de 2007, Anton Kapustin y Edward Witten sugirieron que la correspondencia geométrica de Langlands puede verse como una declaración matemática de la dualidad de Montonen-Olive. [11] A partir de dos teorías de Yang-Mills relacionadas por la dualidad S, Kapustin y Witten demostraron que se puede construir un par de teorías cuánticas de campos en el espacio-tiempo bidimensional . Al analizar lo que esta reducción dimensional hace a ciertos objetos físicos llamados D-branas , demostraron que se pueden recuperar los ingredientes matemáticos de la correspondencia geométrica de Langlands. [12] Su trabajo muestra que la correspondencia de Langlands está estrechamente relacionada con la dualidad S en la teoría cuántica de campos, con posibles aplicaciones en ambos temas. [10]
Otra realización de la S-dualidad en la teoría cuántica de campos es la dualidad de Seiberg , introducida por primera vez por Nathan Seiberg alrededor de 1995. [13] A diferencia de la dualidad de Montonen-Olive, que relaciona dos versiones de la teoría de calibración máximamente supersimétrica en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, la dualidad de Seiberg relaciona teorías menos simétricas llamadas teorías de calibración supersimétricas N=1 . Las dos teorías N=1 que aparecen en la dualidad de Seiberg no son idénticas, pero dan lugar a la misma física a grandes distancias. Al igual que la dualidad de Montonen-Olive, la dualidad de Seiberg generaliza la simetría de las ecuaciones de Maxwell que intercambian los campos eléctricos y magnéticos.
Hasta mediados de la década de 1990, los físicos que trabajaban en la teoría de cuerdas creían que había cinco versiones distintas de la teoría: tipo I , tipo IIA , tipo IIB y las dos versiones de la teoría de cuerdas heterótica ( SO(32) y E 8 ×E 8 ). Las diferentes teorías permiten diferentes tipos de cuerdas, y las partículas que surgen a bajas energías exhiben diferentes simetrías.
A mediados de la década de 1990, los físicos notaron que estas cinco teorías de cuerdas en realidad están relacionadas por dualidades altamente no triviales. Una de estas dualidades es la dualidad S. La existencia de la dualidad S en la teoría de cuerdas fue propuesta por primera vez por Ashoke Sen en 1994. [14] [ verificación fallida ] Se demostró que la teoría de cuerdas de tipo IIB con la constante de acoplamiento es equivalente a través de la dualidad S a la misma teoría de cuerdas con la constante de acoplamiento . De manera similar, la teoría de cuerdas de tipo I con el acoplamiento es equivalente a la teoría de cuerdas heterótica SO(32) con la constante de acoplamiento .
La existencia de estas dualidades demostró que las cinco teorías de cuerdas no eran, de hecho, todas teorías distintas. En 1995, en la conferencia sobre teoría de cuerdas celebrada en la Universidad del Sur de California , Edward Witten hizo la sorprendente sugerencia de que las cinco teorías eran simplemente límites diferentes de una única teoría conocida ahora como teoría M. [15] La propuesta de Witten se basaba en la observación de que las teorías de cuerdas heteróticas de tipo IIA y E 8 × E 8 están estrechamente relacionadas con una teoría gravitacional llamada supergravedad de once dimensiones . Su anuncio dio lugar a una oleada de trabajos que ahora se conocen como la segunda revolución de las supercuerdas .
