N = 4 teoría supersimétrica de Yang-Mills

Teoría superconformal de Yang-Mills

N  = 4 La teoría supersimétrica de Yang-Mills ( SYM )es una teoría de calibre lagrangiana relativista conformalmente invariante que describe fermiones que interactúan a través deintercambios de campos de calibre . En D =4dimensiones del espacio-tiempo , N =4 es el número máximo de supersimetrías o cargas de supersimetría. ^[1]

Es una teoría del juguete basada en la teoría de Yang-Mills que no modela el mundo real, pero es útil porque puede actuar como campo de pruebas para enfoques que ataquen problemas en teorías más complejas. ^[2] Describe un universo que contiene campos de bosones y campos de fermiones que están relacionados por cuatro supersimetrías (esto significa que transformar los campos bosónicos y fermiónicos de cierta manera deja la teoría invariante). Es una de las más simples (en el sentido de que no tiene parámetros libres excepto el grupo calibre ) y una de las pocas teorías de campos cuánticos finitos ultravioleta en 4 dimensiones. Se puede considerar como la teoría de campos más simétrica que no involucra la gravedad.

Como todas las teorías de campos supersimétricos, puede formularse de manera equivalente como una teoría de supercampo en un superespacio extendido en el que las variables espacio-temporales se incrementan con una serie de variables de Grassmann anticonmutantes que, para el caso N =4, constan de 4 espinores de Dirac , lo que hace una Total de 16 generadores anticonmutación independientes para el anillo ampliado de superfunciones. Las ecuaciones de campo son equivalentes a la condición geométrica de que la forma 2 de supercurvatura desaparezca de manera idéntica en todas las líneas supernulas . ^{[3] [4]} Esto también se conoce como correspondencia súper ambitwistor .

Una caracterización similar del súper ambitwistor es válida para D =10, N =1 teoría súper Yang-Mills dimensional, ^{[5] [6]} y los casos de dimensiones inferiores D =6, N =2 y D =4, N =4 pueden ser derivado de esto a través de la reducción dimensional .

Significado de N y número de campos

En la teoría de Yang-Mills supersimétrica de N , N denota el número de operaciones supersimétricas independientes que transforman el campo calibre de espín -1 en campos fermiónicos de espín-1/2. ^[7] En una analogía con las simetrías bajo rotaciones, N sería el número de rotaciones independientes, N  = 1 en un plano, N  = 2 en el espacio 3D, etc... Es decir, en una teoría N  = 4 SYM, la El bosón de calibre se puede "rotar" en N  = 4 socios de fermiones supersimétricos diferentes. A su vez, cada fermión se puede rotar en cuatro bosones diferentes: uno corresponde a la rotación de regreso al campo calibre de espín 1 y los otros tres son campos de bosones de espín 0. Debido a que en el espacio 3D uno puede usar diferentes rotaciones para alcanzar un mismo punto (o aquí el mismo bosón de giro 0), cada bosón de giro 0 es supercompañero de dos fermiones de giro 1/2 diferentes, no solo uno. ^[7] Entonces, en total, uno tiene solo 6 bosones de espín-0, no 16.

Por lo tanto, N  = 4 SYM tiene 1 + 4 + 6 = 11 campos, a saber: un campo vectorial (el bosón de calibre de espín-1), cuatro campos de espín (los fermiones de espín-1/2) y seis campos escalares (los fermiones de espín-1). 0 bosones). N  = 4 es el número máximo de supersimetrías independientes: comenzando desde un campo de espín 1 y usando más supersimetrías, por ejemplo, N  = 5, solo rota entre los 11 campos. Para tener N  > 4 supersimetrías independientes, es necesario partir de un campo calibre de espín superior a 1, por ejemplo, un campo tensor de espín-2 como el del gravitón . Esta es la teoría de la supergravedad N  = 8 .

lagrangiano

El lagrangiano de la teoría es ^{[1] [8]}

${\displaystyle L=\operatorname {tr} \left\{-{\frac {1}{2g^{2}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {\theta _{I}}{8\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }{\bar {F}}^{\mu \nu }-i{\overline {\lambda }}^{a}{\overline {\sigma }}^{\mu }D_{\mu }\lambda _{a}-D_{\mu }X^{i}D^{\mu }X^{i}+gC_{i}^{ab}\lambda _{a}[X^{i},\lambda _{b}]+g{\overline {C}}_{iab}{\overline {\lambda }}^{a}[X^{i},{\overline {\lambda }}^{b}]+{\frac {g^{2}}{2}}[X^{i},X^{j}]^{2}\right\},}$

donde y son constantes de acoplamiento (específicamente es el acoplamiento de calibre y es el ángulo de instanten ), la intensidad del campo es con el campo de calibre y los índices i , j = 1, ..., 6 así como a , b = 1, .. ., 4, y representa las constantes de estructura del grupo de calibre particular. Los fermiones de Weyl que quedan , son las matrices de Pauli , son la derivada covariante de calibre , son escalares reales y representan las constantes de estructura del grupo de simetría R SU(4), que rota las cuatro supersimetrías. Como consecuencia de los teoremas de no renormalización , esta teoría de campos supersimétrica es de hecho una teoría de campos superconforme . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \theta _{I}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \theta _{I}}$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{k}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{k}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{k}+f^{klm}A_{\mu }^{l}A_{\nu }^{m}}$ ${\displaystyle A_{\nu }^{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda ^{a}}$ ${\displaystyle \sigma ^{\mu }}$ ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle X^{i}}$ ${\displaystyle C_{i}^{ab}}$

Lagrangiano de diez dimensiones

El Lagrangiano anterior se puede encontrar comenzando con el Lagrangiano de diez dimensiones más simple.

${\displaystyle L=\operatorname {tr} \left\{{\frac {1}{g^{2}}}F_{IJ}F^{IJ}-i{\bar {\lambda }}\Gamma ^{I}D_{I}\lambda \right\},}$

donde I y J ahora van de 0 a 9 y son las matrices gamma de 32 por 32 , seguido de la adición del término con el cual es un término topológico . ${\displaystyle \Gamma ^{I}}$ ${\displaystyle (32=2^{10/2})}$ ${\displaystyle \theta _{I}}$

Los componentes del campo de calibre para i  = 4 a 9 se vuelven escalares al eliminar las dimensiones adicionales. Esto también da una interpretación de la simetría R SO (6) como rotaciones en dimensiones extra compactas. ${\displaystyle A_{i}}$

Mediante la compactación en un T ⁶ , se conservan todas las sobrecargas , dando N  = 4 en la teoría de 4 dimensiones.

Una interpretación de la teoría de la teoría de cuerdas de Tipo IIB es la teoría del volumen mundial de una pila de branas D3 .

S-dualidad

Las constantes de acoplamiento y naturalmente se emparejan en una única constante de acoplamiento. ${\displaystyle \theta _{I}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \tau :={\frac {\theta _{I}}{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g^{2}}}.}$

La teoría tiene simetrías que se desplazan por números enteros. La conjetura de la dualidad S dice que también hay una simetría que envía y cambia el grupo a su grupo dual de Langlands . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {-1}{n_{G}\tau }}}$ ${\displaystyle G}$

Correspondencia AdS/CFT

Esta teoría también es importante ^[1] en el contexto del principio holográfico . Existe una dualidad entre la teoría de cuerdas de tipo IIB en el espacio AdS ₅ × S ⁵ (un producto del espacio AdS de 5 dimensiones con una esfera de 5 dimensiones ) y N  = 4 super Yang-Mills en el límite de 4 dimensiones de AdS ₅ . Sin embargo, esta realización particular de la correspondencia AdS/CFT no es un modelo realista de gravedad, ya que la gravedad en nuestro universo es de 4 dimensiones. A pesar de esto, la correspondencia AdS/CFT es la realización más exitosa del principio holográfico, una idea especulativa sobre la gravedad cuántica propuesta originalmente por Gerard 't Hooft , quien estaba ampliando el trabajo sobre la termodinámica de los agujeros negros, y fue mejorada y promovida en el contexto. de la teoría de cuerdas de Leonard Susskind .

Integrabilidad

Hay evidencia de que la teoría supersimétrica de Yang-Mills N = 4 tiene una estructura integrable en el límite plano de N grande (ver más abajo lo que significa "planar" en el contexto actual). ^[9] A medida que el número de colores (también denominado N ) llega al infinito, las amplitudes escalan como , de modo que solo sobrevive la contribución del género 0 (gráfico plano) . Los diagramas planos de Feynman son gráficos en los que ningún propagador cruza a otro, a diferencia de los gráficos de Feynman no planos donde uno o más propagadores pasan sobre otro. ^[10] Un gráfico no plano tiene un número menor de bucles de calibre posibles en comparación con un gráfico plano similar. Por lo tanto, los gráficos no planos son suprimidos por factores en comparación con los planos que, por lo tanto, dominan en el límite N grande. En consecuencia, una teoría plana de Yang-Mills denota una teoría en el límite grande de N , donde N suele ser el número de colores . Asimismo, un límite plano es un límite en el que las amplitudes de dispersión están dominadas por diagramas de Feynman a los que se les puede dar la estructura de gráficos planos. ^[11] En el límite de N grande , el acoplamiento desaparece y, por lo tanto, un formalismo perturbativo es muy adecuado para cálculos de N grandes. Por tanto, los gráficos planos están asociados al dominio donde los cálculos perturbativos convergen bien. ${\displaystyle N^{2-2g}}$ ${\displaystyle 1/N^{2-2g}}$ ${\displaystyle g}$

Beisert et al. ^[12] ofrece un artículo de revisión que demuestra cómo, en esta situación, los operadores locales pueden expresarse a través de ciertos estados en cadenas de espín (en particular, la cadena de espín de Heisenberg ), pero basándose en una superálgebra de Lie más grande que para el espín ordinario. Estas cadenas de espín son integrables en el sentido de que pueden resolverse mediante el método de Bethe ansatz . También construyen una acción del Yangian asociado sobre las amplitudes de dispersión . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

Nima Arkani-Hamed et al. También he investigado este tema. Utilizando la teoría de los twistores , encuentran una descripción (el formalismo del amplituedro ) en términos del Grassmanniano positivo . ^[13]

Relación con la teoría M de 11 dimensiones

N  = 4 super Yang-Mills se pueden derivar de una teoría de 10 dimensiones más simple y, sin embargo, la supergravedad y la teoría M existen en 11 dimensiones. La conexión es que si el grupo de calibre U ( N ) de SYM se vuelve infinito, se vuelve equivalente a una teoría de 11 dimensiones conocida como teoría matricial . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$

Ver también

• 4D N = 1 supersimetría global
• Teoría de campos superconformales 6D (2,0)
• Supersimetría extendida
• N = 1 teoría supersimétrica de Yang-Mills
• N = 8 supergravedad
• Teoría de Seiberg-Witten

Referencias

Citas

1. d'Hoker, Eric; Freedman, Daniel Z. (2004). "Teorías del calibre supersimétrico y la correspondencia entre anuncios y CFT". Cuerdas, Branas y Dimensiones Extra . págs. 3-159. arXiv : hep-th/0201253 . doi :10.1142/9789812702821_0001. ISBN 978-981-238-788-2. S2CID  119501374.
2. Matt von Hippel (21 de mayo de 2013). "Obtener un doctorado estudiando una teoría que sabemos que es incorrecta". Ars Técnica .
3. Witten, E. (1978). "Una interpretación de la teoría clásica de Yang-Mills". Física. Lett . 77B (4–5): 394–398. Código bibliográfico : 1978PhLB...77..394W. doi :10.1016/0370-2693(78)90585-3.
4. Harnad, J.; Hurtubise, J.; Legare, M.; Shnider, S. (1985). "Ecuaciones de restricción y ecuaciones de campo en la teoría supersimétrica N = 3 de Yang-Mills". Física nuclear . B256 : 609–620. Código bibliográfico : 1985NuPhB.256..609H. doi :10.1016/0550-3213(85)90410-9.
5. Witten, E. (1986). "Transformación similar a un giro en diez dimensiones". Física nuclear . B266 (2): 245–264. Código bibliográfico : 1986NuPhB.266..245W. doi :10.1016/0550-3213(86)90090-8.
6. Harnad, J.; Shnider, S. (1986). "Restricciones y ecuaciones de campo para la teoría de diez dimensiones de Super Yang-Mills". Comunitario. Matemáticas. Física . 106 (2): 183–199. Código bibliográfico : 1986CMaPh.106..183H. doi :10.1007/BF01454971. S2CID  122622189.
7. "N = 4: partículas máximas para máxima diversión", del blog 4 gravitons (2013)
8. Lucas Wassink (2009). "N = 4 teoría de Super Yang-Mills" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 31 de mayo de 2014 . Consultado el 22 de mayo de 2013 .
9. Amón, Martín; Erdmenger, Johanna (2015). "Integrabilidad y amplitudes de dispersión". Dualidad calibre/gravedad . págs. 240–272. doi :10.1017/CBO9780511846373.008. ISBN 9780511846373.
10. "Planar versus no plano: una historia colorida", del blog 4 gravitons (2013)
11. límite plano en nLab
12. Beisert, Niklas (enero de 2012). "Revisión de la integrabilidad de AdS/CFT: descripción general". Letras en Física Matemática . 99 (1–3): 425. arXiv : 1012,4000 . Código Bib : 2012LMaPh..99..425K. doi :10.1007/s11005-011-0516-7. S2CID  254796664.
13. Arkani-Hamed, Nima; Bourjaily, Jacob L.; Cachazo, Freddy; Goncharov, Alexander B.; Póstnikov, Alejandro; Trnka, Jaroslav (2012). "Amplitudes de dispersión y el Grassmanniano positivo". arXiv : 1212.5605 . doi : 10.14288/1.0043020. S2CID  119599921. {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )

Fuentes

• Kapustin, Antón; Witten, Eduardo (2007). "La dualidad eléctrico-magnética y el programa geométrico Langlands". Comunicaciones en Teoría de Números y Física . 1 (1): 1–236. arXiv : hep-th/0604151 . Código Bib : 2007CNTP....1....1K. doi :10.4310/cntp.2007.v1.n1.a1. S2CID  30505126.