En teoría cuántica de campos y mecánica estadística , la expansión 1/ N (también conocida como expansión de " gran N " ) es un análisis perturbativo particular de las teorías cuánticas de campos con un grupo de simetría interna como SO(N) o SU(N) . Consiste en derivar una expansión para las propiedades de la teoría en potencias de , que se trata como un parámetro pequeño.
Esta técnica se utiliza en QCD (aunque sólo sea 3) con el grupo de calibración SU(3). Otra aplicación en física de partículas es el estudio de las dualidades AdS/CFT .
También se utiliza ampliamente en física de la materia condensada , donde puede emplearse para proporcionar una base rigurosa para la teoría del campo medio .
Comenzando con un ejemplo simple —el O(N) φ 4— el campo escalar φ toma valores en la representación vectorial real de O(N). Usando la notación de índice para los N " sabores " con la convención de suma de Einstein y debido a que O(N) es ortogonal, no se hará distinción entre índices covariantes y contravariantes. La densidad lagrangiana está dada por
donde va de 1 a N. Nótese que N ha sido absorbido por la fuerza de acoplamiento λ. Esto es crucial aquí.
Introduciendo un campo auxiliar F;
En los diagramas de Feynman , el gráfico se divide en ciclos disjuntos , cada uno formado por φ aristas del mismo tipo y los ciclos están conectados por F aristas (que no tienen línea propagadora ya que los campos auxiliares no se propagan).
Cada vértice de 4 puntos contribuye con λ/N y, por lo tanto, con 1/N. Cada ciclo de sabor contribuye con N porque hay N sabores de este tipo para sumar. Tenga en cuenta que no todos los ciclos de flujo de momento son ciclos de sabor.
Al menos desde el punto de vista perturbativo, la contribución dominante a la función de correlación conectada de 2k puntos es del orden (1/N) k-1 y los otros términos son potencias más altas de 1/N. Realizar una expansión 1/N se vuelve cada vez más precisa en el gran límite N. La densidad de energía del vacío es proporcional a N, pero se puede ignorar debido al incumplimiento de los supuestos de la relatividad general . [ aclaración necesaria ]
Debido a esta estructura, se puede utilizar una notación gráfica diferente para denotar los diagramas de Feynman . Cada ciclo de sabor se puede representar por un vértice. Las rutas de sabor que conectan dos vértices externos se representan por un solo vértice. Los dos vértices externos a lo largo de la misma ruta de sabor están emparejados naturalmente y se pueden reemplazar por un solo vértice y una arista (no una arista F) que lo conecta a la ruta de sabor. Las aristas F son aristas que conectan dos ciclos/rutas de sabor entre sí (o un ciclo/ruta de sabor a sí mismo). Las interacciones a lo largo de un ciclo/ruta de sabor tienen un orden cíclico definido y representan un tipo especial de gráfico donde el orden de las aristas incidentes a un vértice importa, pero solo hasta una permutación cíclica, y dado que esta es una teoría de escalares reales, también una inversión de orden (pero si tenemos SU(N) en lugar de SU(2), las inversiones de orden no son válidas). A cada arista F se le asigna un momento (la transferencia de momento) y hay una integral de momento interna asociada con cada ciclo de sabor.
La QCD es una teoría de calibración SU(3) que involucra gluones y quarks . Los quarks levógiros pertenecen a una representación triplete, los diestros a una representación antitriplete (después de conjugarlos por carga) y los gluones a una representación adjunta real . A una arista de quark se le asigna un color y una orientación y a una arista de gluón se le asigna un par de colores.
En el límite N grande, solo consideramos el término dominante. Véase AdS/CFT .
