En teoría de cuerdas , las D-branas , abreviatura de membrana de Dirichlet , son una clase de objetos extendidos sobre los cuales cuerdas abiertas pueden terminar con condiciones de contorno de Dirichlet , de las cuales reciben su nombre. Las branas D normalmente se clasifican por su dimensión espacial , que se indica mediante un número escrito después de la D. Una brana D0 es un punto único, una brana D1 es una línea (a veces llamada "cadena D"), una La brana D2 es un plano y una brana D25 llena el espacio de mayor dimensión considerado en la teoría de cuerdas bosónicas . También hay D(–1)-branas instantáneas , que están localizadas tanto en el espacio como en el tiempo .
Las D-branas fueron descubiertas por Jin Dai, Leigh y Polchinski , [1] e independientemente por Hořava , [2] en 1989. En 1995, Polchinski identificó las D-branas con soluciones de supergravedad de p-branas negras , un descubrimiento que desencadenó la Segunda Revolución de Supercuerdas y condujo a dualidades holográficas y de teoría M.
Las ecuaciones de movimiento de la teoría de cuerdas requieren que los puntos finales de una cuerda abierta (una cuerda con puntos finales) satisfagan uno de dos tipos de condiciones de frontera: la condición de frontera de Neumann , correspondiente a puntos finales libres que se mueven a través del espacio-tiempo a la velocidad de la luz, o la Condiciones de contorno de Dirichlet , que fijan el punto final de la cuerda. Cada coordenada de la cadena debe satisfacer una u otra de estas condiciones. También pueden existir cadenas con condiciones de contorno mixtas, donde los dos puntos finales satisfacen las condiciones de contorno NN, DD, ND y DN. Si p dimensiones espaciales satisfacen la condición de frontera de Neumann, entonces el punto final de la cuerda está limitado a moverse dentro de un hiperplano p-dimensional. Este hiperplano proporciona una descripción de una brana Dp.
Aunque rígido en el límite del acoplamiento cero, el espectro de cuerdas abiertas que terminan en una D-brana contiene modos asociados con sus fluctuaciones, lo que implica que las D-branas son objetos dinámicos. Cuando las D-branas casi coinciden, el espectro de cuerdas que se extienden entre ellas se vuelve muy rico. Un conjunto de modos produce una teoría de calibre no abeliano sobre el volumen mundial. Otro conjunto de modos es una matriz dimensional para cada dimensión transversal de la brana. Si estas matrices conmutan, pueden estar diagonalizadas y los valores propios definen la posición de las D-branas en el espacio. De manera más general, las branas se describen mediante geometría no conmutativa, lo que permite comportamientos exóticos como el efecto Myers, en el que una colección de Dp-branas se expande en una D(p+2)-brana.
La condensación de taquiones es un concepto central en este campo. Ashoke Sen ha argumentado que en la teoría de cuerdas de tipo IIB , la condensación de taquiones permite (en ausencia del flujo de 3 formas de Neveu-Schwarz ) obtener una configuración de brana D arbitraria a partir de una pila de branas D9 y anti-D9. Edward Witten ha demostrado que tales configuraciones serán clasificadas por la teoría K del espacio-tiempo . La condensación de taquiones aún no se comprende muy bien. Esto se debe a la falta de una teoría exacta del campo de cuerdas que describa la evolución fuera de la capa del taquión.
Esto tiene implicaciones para la cosmología física . Como la teoría de cuerdas implica que el Universo tiene más dimensiones de las que esperamos (26 para las teorías de cuerdas bosónicas y 10 para las teorías de supercuerdas ), tenemos que encontrar una razón por la cual las dimensiones adicionales no son evidentes. Una posibilidad sería que el Universo visible sea en realidad una gran D-brana que se extiende sobre tres dimensiones espaciales. Los objetos materiales, hechos de cuerdas abiertas, están ligados a la brana D y no pueden moverse "en ángulo recto con la realidad" para explorar el Universo fuera de la brana. Este escenario se llama cosmología de brana . La fuerza de gravedad no se debe a cuerdas abiertas; los gravitones que transportan fuerzas gravitacionales son estados vibratorios de cuerdas cerradas . Debido a que no es necesario unir cuerdas cerradas a las D-branas, los efectos gravitacionales podrían depender de las dimensiones adicionales ortogonales a la brana.
Cuando dos D-branas se acercan entre sí, la interacción es capturada por la amplitud del anillo de un bucle de las cuerdas entre las dos branas. El escenario de dos branas paralelas que se acercan entre sí a una velocidad constante se puede mapear al problema de dos branas estacionarias que giran entre sí en algún ángulo. La amplitud del anillo produce singularidades que corresponden a la producción en la capa de cuerdas abiertas estiradas entre las dos branas. Esto es cierto independientemente de la carga de las D-branas. A velocidades de dispersión no relativistas, las cuerdas abiertas pueden describirse mediante una acción efectiva de baja energía que contiene dos campos escalares complejos que están acoplados mediante un término . Así, a medida que cambia el campo (separación de las branas), cambia la masa del campo . Esto induce la producción de cuerdas abiertas y, como resultado, las dos branas en dispersión quedarán atrapadas.
La disposición de las D-branas restringe los tipos de estados de cuerdas que pueden existir en un sistema. Por ejemplo, si tenemos dos branas D2 paralelas, podemos imaginar fácilmente cuerdas que se extienden desde la brana 1 hasta la brana 2 o viceversa. (En la mayoría de las teorías, las cuerdas son objetos orientados : cada una lleva una "flecha" que define una dirección a lo largo de su longitud). Las cuerdas abiertas permitidas en esta situación se dividen en dos categorías, o "sectores": las que se originan en la brana 1 y terminan en la brana 1. en la brana 2, y los que se originan en la brana 2 y terminan en la brana 1. Simbólicamente, decimos que tenemos los sectores [1 2] y [2 1]. Además, una cadena puede comenzar y terminar en la misma brana, dando sectores [1 1] y [2 2]. (Los números dentro de los corchetes se llaman índices de Chan-Paton , pero en realidad son solo etiquetas que identifican las branas). Una cadena en el sector [1 2] o [2 1] tiene una longitud mínima: no puede ser más corta que la separación entre las branas. Todas las cuerdas tienen cierta tensión, contra la cual hay que tirar para alargar el objeto; este tirón trabaja sobre la cuerda, aumentando su energía. Debido a que las teorías de cuerdas son relativistas por naturaleza , agregar energía a una cuerda es equivalente a agregar masa, según la relación de Einstein E = mc 2 . Por tanto, la separación entre D-branas controla la masa mínima que pueden tener las cuerdas al aire.
Además, fijar el extremo de una cuerda a una brana influye en la forma en que la cuerda puede moverse y vibrar. Debido a que los estados de las partículas "emergen" de la teoría de cuerdas como los diferentes estados vibratorios que la cuerda puede experimentar, la disposición de las D-branas controla los tipos de partículas presentes en la teoría. El caso más simple es el sector [1 1] para una D - brana, es decir, las cadenas que comienzan y terminan en cualquier D-brana particular de p dimensiones. Al examinar las consecuencias de la acción Nambu-Goto (y aplicar las reglas de la mecánica cuántica para cuantificar la cuerda), se encuentra que entre el espectro de partículas hay una que se asemeja al fotón , el cuanto fundamental del campo electromagnético. El parecido es preciso: en cada Dp-brana existe una versión p -dimensional del campo electromagnético, que obedece a un análogo p -dimensional de las ecuaciones de Maxwell .
En este sentido, entonces, se puede decir que la teoría de cuerdas "predice" el electromagnetismo: las D-branas son una parte necesaria de la teoría si permitimos que existan cuerdas abiertas, y todas las D-branas llevan un campo electromagnético en su volumen.
Otros estados de partículas se originan a partir de cuerdas que comienzan y terminan en la misma D-brana. Algunas corresponden a partículas sin masa como el fotón; también en este grupo hay un conjunto de partículas escalares sin masa. Si una D p -brana está incrustada en un espaciotiempo de d dimensiones espaciales, la brana lleva (además de su campo de Maxwell) un conjunto de d - p escalares sin masa (partículas que no tienen polarizaciones como los fotones que componen la luz). Curiosamente, hay tantos escalares sin masa como direcciones perpendiculares a la brana; la geometría de la disposición de las branas está estrechamente relacionada con la teoría cuántica de campos de las partículas que existen en ella. De hecho, estos escalares sin masa son excitaciones de Goldstone de la brana, correspondientes a las diferentes formas en que se puede romper la simetría del espacio vacío. Colocar una D-brana en un universo rompe la simetría entre ubicaciones, porque define un lugar particular, asignando un significado especial a una ubicación particular a lo largo de cada una de las direcciones d - p perpendiculares a la brana.
La versión cuántica del electromagnetismo de Maxwell es sólo un tipo de teoría de calibre , una teoría de calibre U (1) donde el grupo de calibre está formado por matrices unitarias de orden 1. Las D-branas se pueden utilizar para generar teorías de calibre de orden superior, en el siguiente manera:
Considere un grupo de N D p -branas separadas , dispuestas en paralelo para simplificar. Las branas están etiquetadas como 1,2,..., N por conveniencia. Las cuerdas abiertas en este sistema existen en uno de muchos sectores: las cuerdas que comienzan y terminan en alguna brana le dan a esa brana un campo de Maxwell y algunos campos escalares sin masa en su volumen. Las cuerdas que se extienden desde la brana i hasta otra brana j tienen propiedades más intrigantes. Para empezar, vale la pena preguntarse qué sectores de cuerdas pueden interactuar entre sí. Un mecanismo sencillo para una interacción de cadenas es que dos cadenas unan puntos finales (o, a la inversa, que una cadena se "divida por la mitad" y forme dos cadenas "hijas"). Dado que los puntos finales están restringidos a estar en D-branas, es evidente que una cadena [1 2] puede interactuar con una cadena [2 3], pero no con una [3 4] o [4 17]. Las masas de estas cuerdas estarán influenciadas por la separación entre las branas, como se discutió anteriormente, por lo que, en aras de la simplicidad, podemos imaginar las branas apretadas cada vez más hasta que queden una encima de la otra. Si consideramos dos branas superpuestas como objetos distintos, entonces todavía tenemos todos los sectores que teníamos antes, pero sin los efectos debidos a las separaciones de branas.
Los estados de masa cero en el espectro de partículas de cuerda abierta para un sistema de N D-branas coincidentes producen un conjunto de campos cuánticos que interactúan que es exactamente una teoría de calibre U ( N ). (La teoría de cuerdas contiene otras interacciones, pero sólo son detectables a energías muy altas). Las teorías de calibre no se inventaron a partir de cuerdas bosónicas o fermiónicas; se originaron en un área diferente de la física y se han vuelto bastante útiles por derecho propio. Al menos, la relación entre la geometría de la D-brana y la teoría de calibre ofrece una herramienta pedagógica útil para explicar las interacciones de calibre, incluso si la teoría de cuerdas no logra ser la "teoría del todo".
Otro uso importante de las D-branas ha sido en el estudio de los agujeros negros . Desde la década de 1970, los científicos han debatido el problema de la entropía de los agujeros negros . Consideremos, como experimento mental , dejar caer una cantidad de gas caliente en un agujero negro. Dado que el gas no puede escapar de la atracción gravitacional del agujero, su entropía parecería haber desaparecido del universo. Para mantener la segunda ley de la termodinámica , se debe postular que el agujero negro ganó cualquier entropía que tuviera originalmente el gas que ingresó. Al intentar aplicar la mecánica cuántica al estudio de los agujeros negros, Stephen Hawking descubrió que un agujero debería emitir energía con el espectro característico de radiación térmica. La temperatura característica de esta radiación de Hawking está dada por
donde es la constante gravitacional de Newton , es la masa del agujero negro y es la constante de Boltzmann .
Usando esta expresión para la temperatura de Hawking, y suponiendo que un agujero negro de masa cero tiene entropía cero, se pueden usar argumentos termodinámicos para derivar la " entropía de Bekenstein ":
La entropía de Bekenstein es proporcional a la masa del agujero negro al cuadrado; Debido a que el radio de Schwarzschild es proporcional a la masa, la entropía de Bekenstein es proporcional al área de la superficie del agujero negro. De hecho,
¿Dónde está la longitud de Planck ?
El concepto de entropía de los agujeros negros plantea algunos enigmas interesantes. En una situación ordinaria, un sistema tiene entropía cuando un gran número de "microestados" diferentes pueden satisfacer la misma condición macroscópica. Por ejemplo, dada una caja llena de gas, muchas disposiciones diferentes de los átomos del gas pueden tener la misma energía total. Sin embargo, se creía que un agujero negro era un objeto sin rasgos distintivos (según el eslogan de John Wheeler , " Los agujeros negros no tienen pelo "). ¿Cuáles son entonces los "grados de libertad" que pueden dar lugar a la entropía de un agujero negro?
Los teóricos de cuerdas han construido modelos en los que un agujero negro es una cuerda muy larga (y por tanto muy masiva). Este modelo coincide aproximadamente con la entropía esperada de un agujero negro de Schwarzschild, pero aún no se ha encontrado una prueba exacta de un modo u otro. La principal dificultad es que es relativamente fácil contar los grados de libertad que poseen las cuerdas cuánticas si no interactúan entre sí. Esto es análogo al gas ideal estudiado en la introducción a la termodinámica: la situación más fácil de modelar es cuando los átomos del gas no tienen interacciones entre sí. Desarrollar la teoría cinética de los gases en el caso en que los átomos o moléculas del gas experimentan fuerzas entre partículas (como la fuerza de van der Waals ) es más difícil. Sin embargo, un mundo sin interacciones es un lugar poco interesante: lo más significativo para el problema de los agujeros negros es que la gravedad es una interacción, por lo que si se desactiva el "acoplamiento de cuerdas", nunca podría surgir ningún agujero negro. Por lo tanto, calcular la entropía de un agujero negro requiere trabajar en un régimen en el que existen interacciones de cuerdas.
Extender el caso más simple de cuerdas que no interactúan al régimen en el que podría existir un agujero negro requiere supersimetría . En ciertos casos, el cálculo de entropía realizado para el acoplamiento de cadenas cero sigue siendo válido cuando las cadenas interactúan. El desafío para un teórico de cuerdas es idear una situación en la que pueda existir un agujero negro que no "rompa" la supersimetría. En los últimos años, [ ¿plazo? ] Esto se ha hecho construyendo agujeros negros a partir de D-branas. Calcular las entropías de estos hipotéticos agujeros da resultados que concuerdan con la entropía esperada de Bekenstein. Desafortunadamente, todos los casos estudiados hasta ahora involucran espacios de dimensiones superiores: branas D5 en un espacio de nueve dimensiones, por ejemplo. No se aplican directamente al caso familiar de los agujeros negros de Schwarzschild observados en nuestro propio universo.
Las condiciones de contorno de Dirichlet y las D-branas tuvieron una larga "prehistoria" antes de que se reconociera su pleno significado. Una serie de artículos de 1975-76 de Bardeen, Bars, Hanson y Peccei abordaron una propuesta concreta temprana de partículas que interactúan en los extremos de las cuerdas (quarks que interactúan con tubos de flujo QCD), con condiciones de frontera dinámicas para los puntos finales de las cuerdas donde las condiciones de Dirichlet eran dinámico en lugar de estático. Warren Siegel consideró por primera vez las condiciones de frontera mixtas de Dirichlet/Neumann en 1976 como un medio para reducir la dimensión crítica de la teoría de cuerdas abiertas de 26 o 10 a 4 (Siegel también cita un trabajo inédito de Halpern y un artículo de 1974 de Chodos y Thorn, pero una lectura de este último artículo muestra que en realidad se ocupa de fondos de dilatación lineal, no de condiciones de contorno de Dirichlet). Este artículo, aunque profético, pasó desapercibido en su época (una parodia de Siegel de 1985, "The Super-g String", contiene una descripción casi precisa de los mundos brana). Las condiciones de Dirichlet para todas las coordenadas, incluido el tiempo euclidiano (que define lo que ahora se conoce como instantes D), fueron introducidas por Michael Green en 1977 como un medio para introducir una estructura puntual en la teoría de cuerdas, en un intento de construir una teoría de cuerdas de los fuertes. interacción . Las compactaciones de cuerdas estudiadas por Harvey y Minahan, Ishibashi y Onogi, y Pradisi y Sagnotti en 1987-1989 también emplearon condiciones de contorno de Dirichlet.
En 1989, Dai, Leigh , Polchinski y Hořava , de forma independiente, descubrieron que la dualidad T intercambia las condiciones de frontera habituales de Neumann con las condiciones de frontera de Dirichlet. Este resultado implica que tales condiciones de frontera deben aparecer necesariamente en regiones del espacio de módulos de cualquier teoría de cuerdas abierta. El Dai et al. El artículo también señala que el lugar geométrico de las condiciones de contorno de Dirichlet es dinámico y acuña el término brana de Dirichlet (brana D) para el objeto resultante (este artículo también acuña orientifold para otro objeto que surge bajo la dualidad T de cuerda). Un artículo de Leigh de 1989 demostró que la dinámica de la D-brana está gobernada por la acción de Dirac-Born-Infeld. Los D-instantons fueron estudiados extensamente por Green a principios de la década de 1990, y Polchinski demostró en 1994 que producían los efectos de cuerda no perturbativos e -1 ⁄ g anticipados por Shenker . En 1995, Polchinski demostró que las D-branas son las fuentes de los campos eléctricos y magnéticos de Ramond-Ramond necesarios para la dualidad de cuerdas , [3] [ verificación fallida ] que condujo a un rápido progreso en la comprensión no perturbativa de la teoría de cuerdas.
