Supergravedad de once dimensiones

Supergravedad en once dimensiones

En supersimetría , la supergravedad de once dimensiones es la teoría de la supergravedad en el mayor número de dimensiones permitido para una teoría supersimétrica. Contiene un gravitón , un gravitino y un campo de calibración de 3 formas , con sus interacciones fijadas de forma única por la supersimetría. Descubierta en 1978 por Eugène Cremmer , Bernard Julia y Joël Scherk , rápidamente se convirtió en un candidato popular para una teoría del todo durante la década de 1980. ^[1] Sin embargo, el interés en ella pronto se desvaneció debido a numerosas dificultades que surgen al intentar construir modelos físicamente realistas. Volvió a cobrar importancia a mediados de la década de 1990 cuando se descubrió que era el límite de baja energía de la teoría M , lo que la hacía crucial para comprender varios aspectos de la teoría de cuerdas .

Historia

La supergravedad fue descubierta en 1976 mediante la construcción de una supergravedad pura de cuatro dimensiones con un gravitino. Una dirección importante en el programa de supergravedad fue tratar de construir una supergravedad de cuatro dimensiones, ${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$ ya que era un candidato atractivo para una teoría del todo, debido al hecho de que unifica partículas de todos los espines físicamente admisibles en un único multiplete . La teoría puede ser, además, finita en UV. Werner Nahm demostró en 1978 que la supersimetría con espín menor o igual a dos solo es posible en once dimensiones o menos. ^[2] Motivados por esto, la supergravedad de once dimensiones fue construida por Eugène Cremmer, Bernard Julia y Joël Scherk más tarde ese mismo año, ^[1] con el objetivo de reducirla dimensionalmente a cuatro dimensiones para adquirir la teoría, lo que se hizo en 1979. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$

Durante la década de 1980, la supergravedad 11D fue de gran interés por derecho propio como una posible teoría fundamental de la naturaleza. Esto comenzó en 1980 cuando Peter Freund y Mark Ruben demostraron que la supergravedad se compactifica preferentemente en cuatro o siete dimensiones cuando se utiliza un fondo donde el tensor de intensidad de campo está activado. ^[4] Además, Edward Witten argumentó en 1981 que once dimensiones son también el número mínimo de dimensiones necesarias para adquirir el grupo de calibración del Modelo Estándar , asumiendo que este surge como subgrupo del grupo de isometría de la variedad compacta . ^{[5] [nb 1]}

El principal área de estudio fue entender cómo la supergravedad 11D se compacta hasta cuatro dimensiones . ^[6] Si bien hay muchas maneras de hacer esto, dependiendo de la elección de la variedad compacta, la más popular fue usar la 7-esfera . Sin embargo, rápidamente se identificaron varios problemas con estos enfoques que finalmente causaron que el programa fuera abandonado. ^[7] Uno de los principales problemas fue que muchas de las variedades bien motivadas no podían producir el grupo de calibración del Modelo Estándar. ^{[nb 2]} Otro problema en ese momento fue que la compactificación estándar de Kaluza-Klein dificultaba la adquisición de fermiones quirales necesarios para construir el Modelo Estándar. Además, estas compactificaciones generalmente producían constantes cosmológicas negativas muy grandes que podían ser difíciles de eliminar. ^{[nb 3]} Por último, la cuantización de la teoría dio lugar a anomalías cuánticas que eran difíciles de eliminar. Algunos de estos problemas se pueden superar con métodos más modernos que eran desconocidos en ese momento. ^{[8] : 302} Por ejemplo, los fermiones quirales pueden adquirirse utilizando variedades singulares , utilizando variedades no compactas, utilizando la 9-brana del fin del mundo de la teoría, o explotando dualidades de cuerdas que relacionan la teoría 11D con las teorías de cuerdas quirales. De manera similar, la presencia de branas también puede utilizarse para construir grupos de calibración más grandes.

Debido a estos problemas, la supergravedad 11D se abandonó a finales de los años 1980, aunque siguió siendo una teoría intrigante. De hecho, en 1988 Michael Green , John Schwartz y Edward Witten escribieron sobre ella que ^[9]

Es difícil creer que su existencia sea sólo un accidente, pero en la actualidad es difícil formular una conjetura convincente sobre cuál puede ser su papel en el esquema de las cosas.

En 1995, Edward Witten descubrió la teoría M, ^[10] cuyo límite de baja energía es la supergravedad 11D, devolviendo la teoría a la vanguardia de la física y otorgándole un lugar importante en la teoría de cuerdas.

Teoría

En supersimetría, el número máximo de supercargas reales que dan supermultipletes que contienen partículas de espín menor o igual a dos, es 32. ^{[11] : 265} Las supercargas con más componentes dan como resultado supermultipletes que necesariamente incluyen estados de espín más altos , lo que hace que tales teorías no sean físicas. Dado que las supercargas son espinores , la supersimetría solo se puede realizar en dimensiones que admitan representaciones espinorales con no más de 32 componentes, lo que solo ocurre en once dimensiones o menos. ^{[nb 4]}

La supergravedad de once dimensiones está determinada únicamente por la supersimetría, y su estructura es relativamente simple en comparación con las teorías de supergravedad en otras dimensiones . El único parámetro libre es la masa de Planck , que establece la escala de la teoría. Tiene un solo multiplete que consiste en el gravitón, un gravitino de Majorana y un campo de calibración de 3 formas. La necesidad del campo de 3 formas se ve al notar que proporciona los 84 grados de libertad bosónicos faltantes necesarios para completar el multiplete, ya que el gravitón tiene 44 grados de libertad mientras que el gravitino tiene 128.

Superálgebra

El álgebra máximamente extendida para la supersimetría en once dimensiones está dada por ^{[11] : 265}

${\displaystyle \{Q_{\alpha },Q_{\beta }\}=(C\gamma )_{\alpha \beta }^{\mu }P_{\mu }+(C\gamma )_{\alpha \beta }^{\mu \nu }Z_{\mu \nu }+(C\gamma )_{\alpha \beta }^{\mu \nu \rho \sigma \gamma }Z_{\mu \nu \rho \sigma \gamma },}$

donde es el operador de conjugación de carga que asegura que la combinación sea simétrica o antisimétrica . ^{[nb 5]} Dado que el anticonmutador es simétrico, las únicas entradas admisibles en el lado derecho son aquellas que son simétricas en sus índices de espinor, lo que en once dimensiones solo ocurre para uno, dos y cinco índices de espacio-tiempo , siendo el resto equivalente hasta la dualidad de Poincaré . ^{[12] : 253} Los coeficientes correspondientes y se conocen como cargas cuasi-centrales. No son cargas centrales regulares en el sentido teórico de grupo ya que no son escalares de Lorentz y por lo tanto no conmutan con los generadores de Lorentz , pero su interpretación es la misma. Indican que hay objetos extendidos que conservan cierta cantidad de supersimetría, siendo estos la M2-brana y la M5-brana . ^{[13] : 738} Además, no hay un grupo de simetría R. ^{[12] : 239} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\gamma ^{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}}$ ${\displaystyle Z_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle Z_{\mu \nu \rho \sigma \gamma }}$

Acción de supergravedad

La acción para la supergravedad de once dimensiones está dada por ^{[12] : 209}

${\displaystyle S={\frac {1}{2\kappa _{11}^{2}}}\int d^{11}x\ e{\bigg [}R(\omega )-{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }D_{\nu }({\tfrac {1}{2}}(\omega +{\hat {\omega }}))\psi _{\rho }-{\frac {1}{24}}F_{\mu \nu \rho \sigma }F^{\mu \nu \rho \sigma }}$

${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{192}}({\bar {\psi }}_{\nu }\gamma ^{\alpha \beta \gamma \delta \nu \rho }\psi _{\rho }+12{\bar {\psi }}^{\gamma }\gamma ^{\alpha \beta }\psi ^{\delta })(F_{\alpha \beta \gamma \delta }+{\hat {F}}_{\alpha \beta \gamma \delta })}$

${\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {2}}}{(144)^{2}}}\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta \alpha '\beta '\gamma '\delta '\mu \nu \rho }F_{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\alpha '\beta '\gamma '\delta '}A_{\mu \nu \rho }{\bigg ]}.}$

Aquí se describe la gravedad utilizando el formalismo de Vielbein con una constante de acoplamiento gravitacional de once dimensiones ^{[nb 6]} y ${\displaystyle e_{\mu }^{a}}$ ${\displaystyle \kappa _{11}}$

${\displaystyle \omega _{\mu ab}=\omega _{\mu ab}(e)+K_{\mu ab},}$

${\displaystyle {\hat {\omega }}_{\mu ab}=\omega _{\mu ab}-{\tfrac {1}{8}}{\bar {\psi }}_{\nu }\gamma ^{\nu \rho }{}_{\mu ab}\psi _{\rho },}$

${\displaystyle K_{\mu ab}=-{\tfrac {1}{4}}({\bar {\psi }}_{\mu }\gamma _{b}\psi _{a}-{\bar {\psi }}_{a}\gamma _{\mu }\psi _{b}+{\bar {\psi }}_{b}\gamma _{a}\psi _{\mu })+{\tfrac {1}{8}}{\bar {\psi }}_{\nu }\gamma ^{\nu \rho }{}_{\mu ab}\psi _{\rho },}$

${\displaystyle {\hat {F}}_{\mu \nu \rho \sigma }=F_{\mu \nu \rho \sigma }+{\tfrac {3}{2}}{\sqrt {2}}{\bar {\psi }}_{[\mu }\gamma _{\nu \rho }\psi _{\sigma ]}.}$

La conexión libre de torsión está dada por , mientras que es el tensor de contorsión . Mientras tanto, es la derivada covariante con una conexión de espín , que al actuar sobre los espinores toma la forma ${\displaystyle \omega _{\mu ab}(e)}$ ${\displaystyle K_{\mu ab}}$ ${\displaystyle D_{\nu }(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle D_{\mu }(\omega )\psi _{\nu }=\partial _{\mu }\psi _{\nu }+{\tfrac {1}{4}}\omega _{\mu }^{ab}\gamma _{ab}\psi _{\nu },}$

donde . Las matrices gamma regulares que satisfacen el álgebra de Dirac se denotan por , mientras que son campos dependientes de la posición . La primera línea en la acción contiene los términos cinéticos covariantizados dados por la acción de Einstein-Hilbert , la ecuación de Rarita-Schwinger y la acción cinética de norma . La segunda línea corresponde a los términos del campo de norma-gravitón cúbico junto con algunos términos de gravitino cuárticos . La última línea en el lagrangiano es un término de Chern-Simons . ^{[nb 7]} ${\displaystyle \gamma _{ab}=\gamma _{[a}\gamma _{b]}}$ ${\displaystyle \gamma _{a}}$ ${\displaystyle \gamma _{\mu }=e_{\mu }^{a}\gamma _{a}}$

Las reglas de transformación de supersimetría están dadas por ^{[11] : 267}

${\displaystyle \delta _{s}e_{\mu }^{a}={\tfrac {1}{2}}{\bar {\epsilon }}\gamma ^{a}\psi _{\mu },}$

${\displaystyle \delta _{s}\psi _{\mu }=D_{\mu }({\hat {\omega }})\epsilon +{\tfrac {\sqrt {2}}{288}}(\gamma ^{\alpha \beta \gamma \delta }{}_{\mu }-8\gamma ^{\beta \gamma \delta }\delta _{\mu }^{\alpha }){\hat {F}}_{\alpha \beta \gamma \delta }\epsilon ,}$

${\displaystyle \delta _{s}A_{\mu \nu \rho }=-{\tfrac {3{\sqrt {2}}}{4}}{\bar {\epsilon }}\gamma _{[\mu \nu }\psi _{\rho ]},}$

donde es el parámetro de calibración de Majorana de supersimetría. Todas las variables con sombrero son supercovariantes en el sentido de que no dependen de la derivada del parámetro de supersimetría . La acción es además invariante bajo paridad , con el campo de calibración transformándose como un pseudotensor . Las ecuaciones de movimiento para esta supergravedad también tienen una simetría rígida conocida como simetría de trombón bajo la cual y . ^[14] ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\epsilon }$ ${\displaystyle A\rightarrow -A}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }\rightarrow \alpha ^{2}g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle A_{\mu \nu \rho }\rightarrow \alpha ^{3}A_{\mu \nu \rho }}$

Soluciones especiales

Hay varias soluciones especiales en la supergravedad 11D, siendo las más notables las ondas pp , las branas M2, las branas M5, los monopolos KK y la brana M9. Las soluciones de brana son objetos solitónicos dentro de la supergravedad que son el límite de baja energía de las branas de la teoría M correspondientes. El campo de calibración de 3 formas se acopla eléctricamente a las branas M2 y magnéticamente a las branas M5. ^{[8] : 307} Se conocen soluciones solitónicas explícitas de supergravedad para las branas M2 y M5.

Las M2-branas y M5-branas tienen un horizonte de eventos regular no degenerado cuyas secciones transversales de tiempo constante son topológicamente 7-esferas y 4-esferas, respectivamente. ^{[13] : 737–740} El límite cercano al horizonte de la M2-brana extrema está dado por una geometría mientras que para la M5-brana extrema está dado por . Estas soluciones de límite extremo preservan la mitad de la supersimetría de la solución de vacío , lo que significa que tanto las M2-branas extremas como las M5-branas pueden verse como solitones que interpolan entre dos vacíos de Minkowski máximamente supersimétricos en el infinito, con un horizonte o , respectivamente. ${\displaystyle AdS_{4}\times S^{7}}$ ${\displaystyle AdS_{7}\times S^{4}}$ ${\displaystyle AdS_{4}\times S^{7}}$ ${\displaystyle AdS_{6}\times S^{4}}$

Compactación

La compactificación de Freund-Rubin de la supergravedad 11D muestra que se compactifica preferentemente en siete y cuatro dimensiones, lo que llevó a que se estudiara ampliamente a lo largo de la década de 1980. ^[4] Esta compactificación se logra más fácilmente exigiendo que las variedades compactas y no compactas tengan un tensor de Ricci que sea proporcional a la métrica , lo que significa que son variedades de Einstein . Además, se exige que la solución sea estable frente a fluctuaciones, lo que en los espacios-tiempos anti-de Sitter requiere que se cumpla el límite de Bretenlohner-Freedman. La estabilidad está garantizada si hay alguna supersimetría ininterrumpida, aunque también existen soluciones clásicamente estables que rompen por completo la supersimetría.

Una de las principales variedades de compactificación estudiadas fue la 7-esfera. ^[6] La variedad tiene 8 espinores de Killing , lo que significa que la teoría de cuatro dimensiones resultante tiene supersimetría. Además, también da como resultado un grupo de calibración , correspondiente al grupo de isometría de la esfera. Una compactificación similar ampliamente estudiada fue la que utilizó una 7-esfera aplastada, que se puede adquirir incrustando la 7-esfera en un espacio proyectivo cuaterniónico , lo que da un grupo de calibración de . ${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(8)}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(5)\times {\text{SU}}(2)}$

Una propiedad clave de las compactificaciones de Kaluza-Klein de 7 esferas es que su truncamiento es consistente, lo que no es necesariamente el caso de otras variedades de Einstein además del 7-toro . Un truncamiento inconsistente significa que la teoría de cuatro dimensiones resultante no es consistente con las ecuaciones de campo de dimensiones superiores . Físicamente, esto no tiene por qué ser un problema en las compactificaciones a los espaciotiempos de Minkowski, ya que el truncamiento inconsistente simplemente da como resultado operadores irrelevantes adicionales en la acción. Sin embargo, la mayoría de las compactificaciones de variedades de Einstein son a los espaciotiempos anti-de Sitter que tienen una constante cosmológica relativamente grande. En este caso, los operadores irrelevantes se pueden convertir en operadores relevantes a través de la ecuación de movimiento. ^{[nb 8]}

Teorías relacionadas

Si bien la supergravedad de once dimensiones es la única supergravedad en once dimensiones a nivel de una acción, se puede adquirir una teoría relacionada a nivel de las ecuaciones de movimiento, conocida como supergravedad 11D modificada. ^{[nb 9]} Esto se hace reemplazando la conexión de espín por una que esté relacionada conformemente con la original. ^[14] Tal teoría es inequivalente a la supergravedad 11D estándar solo en espacios que no están simplemente conectados . Una acción para una teoría 11D masiva también se puede adquirir introduciendo un campo vectorial Killing no dinámico auxiliar , con esta teoría reduciéndose a supergravedad masiva de tipo IIA tras la reducción dimensional. ^[15] Esta no es una teoría de once dimensiones adecuada ya que los campos explícitamente no dependen de una de las coordenadas, pero no obstante es útil para estudiar branas masivas.

La reducción dimensional de la supergravedad de 11 dimensiones a diez dimensiones da lugar a la supergravedad de tipo IIA , mientras que la reducción dimensional a cuatro dimensiones puede dar lugar a la supergravedad, que fue una de las motivaciones originales para construir la teoría. ^[16] Aunque la supergravedad de once dimensiones no es finita en UV, es el límite de baja energía de la teoría M. La supergravedad también recibe correcciones a nivel cuántico , donde estas correcciones a veces juegan un papel importante en varios mecanismos de compactificación. ^{[8] : 469–471} ${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$

A diferencia de la supergravedad en otras dimensiones, no existe una extensión al espacio-tiempo anti-de Sitter de once dimensiones. ^[17] Si bien la teoría es la teoría supersimétrica en el mayor número de dimensiones, la salvedad es que esto solo es válido para firmas de espacio-tiempo con una dimensión temporal. Si se permiten firmas de espacio-tiempo arbitrarias, entonces también existe una supergravedad en doce dimensiones con dos dimensiones temporales .

Notas

1. Los dos argumentos de que once dimensiones es el número mínimo de dimensiones necesarias para obtener el grupo gauge del Modelo Estándar, así como el número máximo de dimensiones en el que funciona la supergravedad, tenían un gran atractivo teórico para la teoría en ese momento.
2. Por ejemplo, la 7-esfera da un grupo de calibración que no tiene como subgrupo. Otras variedades de 7 dimensiones, como , tienen éxito en este sentido, pero tienen otras desventajas, como romper toda supersimetría. ${\displaystyle {\text{SO}}(8)}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(3)\times {\text{SU}}(2)\times {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle CP^{2}\times S^{2}\times S^{1}}$
3. Cualquier compactificación puramente bosónica tendrá una constante cosmológica grande, aunque una forma de lidiar con esto es tratar de usar condensados ​​fermiónicos .
4. firmas arbitrarias , en cuyo caso doce dimensiones con una firma espaciotemporal de (10,2) tienen espinores con 32 componentes y por lo tanto admiten una teoría de supergravedad.
5. A veces, las matrices gamma con índices reducidos se definen como aquellas contraídas con la matriz de conjugación de carga , que es equivalente a la notación utilizada aquí. ${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }^{\mu }=(\gamma ^{\mu })_{\alpha }{}^{\delta }C_{\delta \beta }}$ ${\displaystyle C\gamma ^{\mu }}$
6. Esto está relacionado con la constante gravitacional de 11 dimensiones y la masa de Planck a través de . ${\displaystyle \kappa _{11}^{2}=8\pi G^{(11)}=(M_{P}^{(11)})^{-9}}$
7. Puede expresarse como . En principio, existen dos supergravedades 11D diferentes relacionadas por la redefinición de campo que cambia el signo de este término topológico. ${\displaystyle -{\tfrac {M_{P}^{2}{\sqrt {2}}}{6}}\int F\wedge F\wedge A}$ ${\displaystyle A\rightarrow -A}$
8. Por ejemplo, un operador de dimensión seis se puede convertir en uno de dimensión cuatro utilizando la constante cosmológica , que surge de la ecuación de campo para los espaciotiempos anti-de Sitter. ${\displaystyle RF^{2}\sim \Lambda F^{2}}$ ${\displaystyle R\sim \Lambda }$
9. A veces se la denomina teoría MM.

Referencias

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