Gravitón dual

Partícula hipotética encontrada en supergravedad

En física teórica , el gravitón dual es una partícula elemental hipotética que es un dual del gravitón bajo la dualidad eléctrico-magnética , como una S-dualidad , predicha por algunas formulaciones de supergravedad de once dimensiones . ^[3]

El gravitón dual fue planteado por primera vez en 1980. ^[4] Se modeló teóricamente en la década de 2000, ^{[1] [2]} y luego se predijo en matemáticas de once dimensiones de supergravedad SO(8) en el marco de la dualidad electromagnética. ^[3] Surgió nuevamente en la geometría generalizada E _{11 en once dimensiones,} ^[5] y la geometría de Vielbein generalizada E ₇ en once dimensiones. ^[6] Si bien no hay un acoplamiento local entre el gravitón y el gravitón dual, el campo introducido por el gravitón dual puede acoplarse a un modelo BF como campos gravitacionales no locales en dimensiones adicionales. ^[7]

Se puede obtener una gravedad dual masiva del modelo de Ogievetsky-Polubarinov ^[8] acoplando el campo de gravitones dual al rizo de su propio tensor de energía-momento. ^{[9] [10]}

Las teorías mencionadas anteriormente del gravitón dual se dan en el espacio plano. En los espacios de Sitter y anti-de Sitter (A)dS, el gravitón dual sin masa exhibe una dinámica de simetrías de calibre menor que la del campo de Curtright en el espacio plano, por lo que el campo de simetría mixta se propaga en más grados de libertad. ^[11] Sin embargo, el gravitón dual en (A)dS se transforma bajo la representación GL(D), que es idéntica a la del gravitón dual masivo en el espacio plano. ^[12] Esta aparente paradoja se puede resolver utilizando la técnica de desdoblamiento de la conjetura de Brink, Metsaev y Vasiliev. ^{[13] [14]} Para el gravitón dual masivo en (A)dS, el límite plano se aclara después de expresar el campo dual en términos del acoplamiento de Stueckelberg de un campo de espín 2 sin masa con un campo de Proca . ^[11]

Gravedad dual linealizada

Las formulaciones duales de la gravedad linealizada se describen mediante un tensor de simetría de Young mixto , el llamado gravitón dual, en cualquier dimensión del espacio-tiempo D > 4 con los siguientes caracteres: ^{[2] [15]} ${\displaystyle T_{\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{D-3}\mu }}$

${\displaystyle T_{\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{D-3}\mu }=T_{[\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{D-3}]\mu },}$

${\displaystyle T_{[\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{D-3}\mu ]}=0.}$

donde los corchetes indican antisimetrización.

Para el espacio-tiempo de 5 dimensiones, el gravitón dual de espín 2 se describe mediante el campo de Curtright . Las propiedades de simetría implican que ${\displaystyle T_{\alpha \beta \gamma }}$

${\displaystyle T_{\alpha \beta \gamma }=T_{[\alpha \beta ]\gamma },}$

${\displaystyle T_{[\alpha \beta ]\gamma }+T_{[\beta \gamma ]\alpha }+T_{[\gamma \alpha ]\beta }=0.}$

La acción lagrangiana para el gravitón dual de espín 2 en el espacio-tiempo 5-D, el campo de Curtright , se convierte en ^{[2] [15]} ${\displaystyle T_{\lambda _{1}\lambda _{2}\mu }}$

${\displaystyle {\cal {L}}_{\rm {dual}}=-{\frac {1}{12}}\left(F_{[\alpha \beta \gamma ]\delta }F^{[\alpha \beta \gamma ]\delta }-3F_{[\alpha \beta \xi ]}{}^{\xi }F^{[\alpha \beta \lambda ]}{}_{\lambda }\right),}$

donde se define como ${\displaystyle F_{\alpha \beta \gamma \delta }}$

${\displaystyle F_{[\alpha \beta \gamma ]\delta }=\partial _{\alpha }T_{[\beta \gamma ]\delta }+\partial _{\beta }T_{[\gamma \alpha ]\delta }+\partial _{\gamma }T_{[\alpha \beta ]\delta },}$

y la simetría de calibre del campo de Curtright es

${\displaystyle \delta _{\sigma ,\alpha }T_{[\alpha \beta ]\gamma }=2(\partial _{[\alpha }\sigma _{\beta ]\gamma }+\partial _{[\alpha }\alpha _{\beta ]\gamma }-\partial _{\gamma }\alpha _{\alpha \beta }).}$

El tensor de curvatura dual de Riemann del gravitón dual se define de la siguiente manera: ^[2]

${\displaystyle E_{[\alpha \beta \delta ][\varepsilon \gamma ]}\equiv {\frac {1}{2}}(\partial _{\varepsilon }F_{[\alpha \beta \delta ]\gamma }-\partial _{\gamma }F_{[\alpha \beta \delta ]\varepsilon }),}$

y el tensor de curvatura dual de Ricci y la curvatura escalar del gravitón dual se convierten, respectivamente

${\displaystyle E_{[\alpha \beta ]\gamma }=g^{\varepsilon \delta }E_{[\alpha \beta \delta ][\varepsilon \gamma ]},}$

${\displaystyle E_{\alpha }=g^{\beta \gamma }E_{[\alpha \beta ]\gamma }.}$

Cumplen las siguientes identidades Bianchi

${\displaystyle \partial _{\alpha }(E^{[\alpha \beta ]\gamma }+g^{\gamma [\alpha }E^{\beta ]})=0,}$

¿Dónde está la métrica del espacio-tiempo 5-D? ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$

Gravedad dual masiva

En 4-D, el lagrangiano de la versión masiva sin espín de la gravedad dual es

${\displaystyle {\mathcal {L_{\rm {dual,massive}}^{\rm {spinless}}}}=-{\frac {1}{2}}u+{\frac {1}{2}}(v-gu)^{2}+{\frac {1}{3}}g(v-gu)^{3}\sideset {_{3}}{_{2}}F(1,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}};2,{\frac {5}{2}};-4g^{2}(v-gu)^{2}),}$

donde ^[16] La constante de acoplamiento aparece en la ecuación de movimiento para acoplar la traza del tensor de momento de energía conformemente mejorado al campo como en la siguiente ecuación ${\displaystyle V^{\mu }={\frac {1}{6}}\epsilon ^{\mu \alpha \beta \gamma }V_{\alpha \beta \gamma }~,v=V_{\mu }V^{\mu }{\text{and}}~u=\partial _{\mu }V^{\mu }.}$ ${\displaystyle g/m}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \left(\Box +m^{2}\right)V_{\mu }={\frac {g}{m}}\partial _{\mu }\theta .}$

Y para la gravedad dual masiva de espín 2 en 4-D, ^[10] el Lagrangiano se formula en términos de la matriz Hessiana que también constituye la teoría de Horndeski (Galileones/ gravedad masiva ) a través de

${\displaystyle {\text{det}}(\delta _{\nu }^{\mu }+{\frac {g}{m}}K_{\nu }^{\mu })=1-{\frac {1}{2}}(g/m)^{2}K_{\alpha }^{\beta }K_{\beta }^{\alpha }+{\frac {1}{3}}(g/m)^{3}K_{\alpha }^{\beta }K_{\beta }^{\gamma }K_{\gamma }^{\alpha }+{\frac {1}{8}}(g/m)^{4}\left[(K_{\alpha }^{\beta }K_{\beta }^{\alpha })^{2}-2K_{\alpha }^{\beta }K_{\beta }^{\gamma }K_{\gamma }^{\delta }K_{\delta }^{\alpha }\right],}$

dónde . ${\displaystyle K_{\mu }^{\nu }=3\partial _{\alpha }T_{[\beta \gamma ]\mu }\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \nu }}$

Por lo tanto, la parte de interacción cero, es decir, el tercer término en el Lagrangiano, se puede leer como, por lo que la ecuación de movimiento se convierte en ${\displaystyle K_{\alpha }^{\beta }\theta _{\beta }^{\alpha }}$

${\displaystyle \left(\Box +m^{2}\right)T_{[\alpha \beta ]\gamma }={\frac {g}{m}}P_{\alpha \beta \gamma ,\lambda \mu \nu }\partial ^{\lambda }\theta ^{\mu \nu },}$

donde es el simetrizador de Young de dicha teoría SO(2). ${\displaystyle P_{\alpha \beta \gamma ,\lambda \mu \nu }=2\epsilon _{\alpha \beta \lambda \mu }\eta _{\gamma \nu }+\epsilon _{\alpha \gamma \lambda \mu }\eta _{\beta \nu }-\epsilon _{\beta \gamma \lambda \mu }\eta _{\alpha \nu }}$

Para soluciones de la teoría masiva en ND arbitrario, es decir, campo de Curtright , el simetrizador se convierte en SO(N-2). ^[9] ${\displaystyle T_{[\lambda _{1}\lambda _{2}...\lambda _{N-3}]\mu }}$

Acoplamiento dual de gravitones con la teoría BF

Los gravitones duales interactúan con el modelo topológico BF en D = 5 a través de la siguiente acción lagrangiana ^[7]

${\displaystyle S_{\rm {L}}=\int d^{5}x({\cal {L}}_{\rm {dual}}+{\cal {L}}_{\rm {BF}}).}$

dónde

${\displaystyle {\cal {L}}_{\rm {BF}}=Tr[\mathbf {B} \wedge \mathbf {F} ]}$

Aquí está la forma de curvatura y es el campo de fondo. ${\displaystyle \mathbf {F} \equiv d\mathbf {A} \sim R_{ab}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \equiv e^{a}\wedge e^{b}}$

En principio, debería acoplarse de manera similar a un modelo BF de gravedad como la acción de Einstein-Hilbert linealizada en D > 4:

${\displaystyle S_{\rm {BF}}=\int d^{5}x{\cal {L}}_{\rm {BF}}\sim S_{\rm {EH}}={1 \over 2}\int \mathrm {d} ^{5}xR{\sqrt {-g}}.}$

donde es el determinante de la matriz tensor métrica , y es el escalar de Ricci . ${\displaystyle g=\det(g_{\mu \nu })}$ ${\displaystyle R}$

Gravitoelectromagnetismo dual

De manera similar, mientras definimos gravitomagnético y gravitoeléctrico para el gravitón, podemos definir campos eléctricos y magnéticos para el gravitón dual. ^[17] Existe la siguiente relación entre el campo gravitoeléctrico y el campo gravitomagnético del gravitón y el campo gravitoeléctrico y el campo gravitomagnético del gravitón dual : ^{[18] [15]} ${\displaystyle E_{ab}[h_{ab}]}$ ${\displaystyle B_{ab}[h_{ab}]}$ ${\displaystyle h_{ab}}$ ${\displaystyle E_{ab}[T_{abc}]}$ ${\displaystyle B_{ab}[T_{abc}]}$ ${\displaystyle T_{abc}}$

${\displaystyle B_{ab}[T_{abc}]=E_{ab}[h_{ab}]}$

${\displaystyle E_{ab}[T_{abc}]=-B_{ab}[h_{ab}]}$

y curvatura escalar con curvatura escalar dual : ^[18] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle E=\star R}$

${\displaystyle R=-\star E}$

donde denota el dual de Hodge . ${\displaystyle \star }$

Gravitón dual en gravedad conforme

La gravedad conforme libre (4,0) en D = 6 se define como

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \mathrm {d} ^{6}x{\sqrt {-g}}C_{ABCD}C^{ABCD},}$

donde es el tensor de Weyl en D = 6. La gravedad conforme libre (4,0) se puede reducir al gravitón en el espacio ordinario y al gravitón dual en el espacio dual en D = 4. ^[19] ${\displaystyle C_{ABCD}}$

Es fácil notar la similitud entre el tensor de Lanczos , que genera el tensor de Weyl en las teorías geométricas de la gravedad, y el tensor de Curtright, particularmente sus propiedades de simetría compartidas de la conexión de espín linealizada en la teoría de Einstein. Sin embargo, el tensor de Lanczos es un tensor de geometría en D=4, ^[20] mientras que el tensor de Curtright es un tensor de campo en dimensiones arbitrarias.

Véase también

• Gravitón
• Gravitino
• Gravedad
• Gravitoelectromagnetismo
• Campo Curtright
• Espacio Taub-NUT
• Vórtice de Nielsen-Olesen
• Bucle de 't Hooft
• Fotón dual
• Gravedad masiva
• La teoría de Horndeski

Referencias

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2. Bekaert, X.; Boulanger, N.; Henneaux, M. (2003). "Deformaciones consistentes de formulaciones duales de gravedad linealizada: un resultado imposible". Physical Review D . 67 (4): 044010. arXiv : hep-th/0210278 . Código Bibliográfico :2003PhRvD..67d4010B. doi :10.1103/PhysRevD.67.044010. S2CID  14739195.
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