Serie (matemáticas)

Suma infinita

En matemáticas , una serie es, en términos generales, una suma de infinitos términos , uno después del otro. [ ^1] El estudio de las series es una parte importante del cálculo y su generalización, el análisis matemático . Las series se utilizan en la mayoría de las áreas de las matemáticas, incluso para estudiar estructuras finitas en combinatoria a través de funciones generadoras . Las propiedades matemáticas de las series infinitas las hacen ampliamente aplicables en otras disciplinas cuantitativas como la física , la informática , la estadística y las finanzas .

Entre los antiguos griegos , la idea de que una suma potencialmente infinita pudiera producir un resultado finito se consideraba paradójica , más famosamente en las paradojas de Zenón . ^{[2] [3]} No obstante, las series infinitas fueron aplicadas prácticamente por los matemáticos griegos antiguos, incluido Arquímedes , por ejemplo en la cuadratura de la parábola . ^{[4] [5]} El lado matemático de las paradojas de Zenón se resolvió utilizando el concepto de límite durante el siglo XVII, especialmente a través del cálculo temprano de Isaac Newton . ^[6] La resolución se hizo más rigurosa y mejoró aún más en el siglo XIX a través del trabajo de Carl Friedrich Gauss y Augustin-Louis Cauchy , ^[7] entre otros, respondiendo preguntas sobre cuáles de estas sumas existen a través de la completitud de los números reales y si los términos de la serie se pueden reorganizar o no sin cambiar sus sumas utilizando la convergencia absoluta y la convergencia condicional de series.

En la terminología moderna, cualquier secuencia infinita ordenada de términos, ya sean números, funciones , matrices o cualquier otra cosa que se pueda sumar, define una serie, que es la suma de los a _i uno tras otro. Para enfatizar que hay un número infinito de términos, las series a menudo también se denominan series infinitas . Las series se representan mediante una expresión como o, utilizando la notación de suma con sigma mayúscula , ^[8] ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$ $${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}.}$$

La secuencia infinita de adiciones expresada por una serie no puede ser realizada explícitamente en secuencia en una cantidad finita de tiempo. Sin embargo, si los términos y sus sumas finitas pertenecen a un conjunto que tiene límites , puede ser posible asignar un valor a una serie, llamado suma de la serie . Este valor es el límite cuando n tiende a infinito de las sumas finitas de los n primeros términos de la serie si el límite existe. ^{[9] [10] [11]} Estas sumas finitas se denominan sumas parciales de la serie. Usando la notación de suma, si existe. ^{[9] [10] [11]} Cuando el límite existe, la serie es convergente o sumable y también la secuencia es sumable , y en caso contrario, cuando el límite no existe, la serie es divergente . ^{[9] [10] [11]} $${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{n\to \infty }\,\sum _{i=1}^{n}a_{i},}$$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$

La expresión denota tanto la serie (el proceso implícito de sumar los términos uno tras otro indefinidamente) como, si la serie es convergente, la suma de la serie (el límite explícito del proceso). Se trata de una generalización de la convención similar de denotar mediante la adición (el proceso de sumar) y su resultado (la suma de a y b) . ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ ${\displaystyle a+b}$

Comúnmente, los términos de una serie provienen de un anillo , a menudo el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos . Si es así, el conjunto de todas las series también es en sí mismo un anillo, uno en el que la adición consiste en sumar los términos de la serie término por término y la multiplicación es el producto de Cauchy . ^{[12] [13] [14]} ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Definición

Serie

Una serie o, redundantemente, una serie infinita , es una suma infinita. A menudo se representa como ^{[8] [15] [16]} donde los términos son los miembros de una secuencia de números , funciones o cualquier otra cosa que se pueda sumar . Una serie también se puede representar con notación sigma mayúscula : ^{[8] [16]} $${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots \quad {\text{or}}\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle a_{k}}$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\qquad {\text{or}}\qquad \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.}$$

También es común expresar series utilizando unos primeros términos, una elipsis, un término general y luego una elipsis final, siendo el término general una expresión del término n en función de n : Por ejemplo, el número de Euler se puede definir con la serie donde denota el producto de los primeros números enteros positivos , y es convencionalmente igual a ^{[17] [18] [19]} $${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\cdots \quad {\text{ or }}\quad f(0)+f(1)+f(2)+\cdots +f(n)+\cdots .}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+\cdots +{\frac {1}{n!}}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0!}$ ${\displaystyle 1.}$

Suma parcial de una serie

Dada una serie , su n -ésima suma parcial es ^{[9] [10] [11] [16]} ${\textstyle s=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ $${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}.}$$

Algunos autores identifican directamente una serie con su secuencia de sumas parciales. ^{[9] [11]} O bien la secuencia de sumas parciales o bien la secuencia de términos caracteriza completamente la serie, y la secuencia de términos puede recuperarse a partir de la secuencia de sumas parciales tomando las diferencias entre elementos consecutivos, $${\displaystyle a_{n}=s_{n}-s_{n-1}.}$$

La suma parcial de una secuencia es un ejemplo de transformación de secuencia lineal y también se la conoce como suma de prefijos en informática . La transformación inversa para recuperar una secuencia a partir de sus sumas parciales es la diferencia finita , otra transformación de secuencia lineal.

Las sumas parciales de series a veces tienen expresiones de forma cerrada más simples, por ejemplo, una serie aritmética tiene sumas parciales y una serie geométrica tiene sumas parciales ^{[20] [21] [22]} $${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left(a+kd\right)=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots +(a+nd)=(n+1)a+{\tfrac {1}{2}}n(n+1)d,}$$ $${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.}$$

Suma de una serie

Ilustración de 3 series geométricas con sumas parciales de 1 a 6 términos. La línea discontinua representa el límite.

Estrictamente hablando, se dice que una serie converge , es convergente o es sumable cuando la secuencia de sus sumas parciales tiene un límite . Cuando el límite de la secuencia de sumas parciales no existe, la serie diverge o es divergente . ^[23] Cuando existe el límite de las sumas parciales, se denomina suma de la serie o valor de la serie : ^{[9] [10] [11] [16]} Una serie con solo un número finito de términos distintos de cero siempre es convergente. Tales series son útiles para considerar sumas finitas sin tener en cuenta el número de términos. ^[24] Cuando existe la suma, la diferencia entre la suma de una serie y su suma parcial n.° , se conoce como el n .° error de truncamiento de la serie infinita. ^{[25] [26]} $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}=\lim _{n\to \infty }s_{n}.}$$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle s-s_{n}=\sum _{k=n+1}^{\infty }a_{k},}$ ${\displaystyle n}$

Un ejemplo de serie convergente es la serie geométrica. $${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{k}}}+\cdots .}$$

Se puede demostrar mediante cálculo algebraico que cada suma parcial es Como se tiene, la serie es convergente y converge a 2 con errores de truncamiento . ^{[20] [21] [22]} ${\displaystyle s_{n}}$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{2^{k}}}=2-{\frac {1}{2^{n}}}.}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(2-{\frac {1}{2^{n}}}\right)=2,}$$ ${\textstyle 1/2^{n}}$

Por el contrario, la serie geométrica es divergente en los números reales . ^{[20] [21] [22]} Sin embargo, es convergente en la línea de números reales extendida , con como su límite y como su error de truncamiento en cada paso. ^[27] $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }2^{k}}$$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

Cuando la secuencia de sumas parciales de una serie no se puede calcular ni evaluar fácilmente para su convergencia en forma directa, se pueden utilizar pruebas de convergencia para demostrar que la serie converge o diverge.

Agrupación y reorganización de términos

Agrupamiento

En las sumas finitas ordinarias , los términos de la suma se pueden agrupar y desagrupar libremente sin cambiar el resultado de la suma como consecuencia de la asociatividad de la adición. De manera similar, en una serie, cualquier agrupación finita de términos de la serie no cambiará el límite de las sumas parciales de la serie y, por lo tanto, no cambiará la suma de la serie. Sin embargo, si se realiza un número infinito de agrupaciones en una serie infinita, entonces las sumas parciales de la serie agrupada pueden tener un límite diferente al de la serie original y diferentes agrupaciones pueden tener límites diferentes entre sí; la suma de puede no ser igual a la suma de ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}={}}$ ${\displaystyle a_{0}+(a_{1}+a_{2})={}}$ ${\displaystyle (a_{0}+a_{1})+a_{2}.}$ ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$ ${\displaystyle a_{0}+(a_{1}+a_{2})+{}}$ ${\displaystyle (a_{3}+a_{4})+\cdots .}$

Por ejemplo, la serie de Grandi ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }$ tiene una secuencia de sumas parciales que se alterna entre ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$ y no converge. Agrupar sus elementos en pares crea la serie que tiene sumas parciales iguales a cero en cada término y, por lo tanto, suma cero. Agrupar sus elementos en pares comenzando después del primero crea la serie que tiene sumas parciales iguales a uno para cada término y, por lo tanto, suma uno, un resultado diferente. ${\displaystyle (1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots ={}}$ ${\displaystyle 0+0+0+\cdots ,}$ ${\displaystyle 1+(-1+1)+{}}$ ${\displaystyle (-1+1)+\cdots ={}}$ ${\displaystyle 1+0+0+\cdots ,}$

En general, agrupar los términos de una serie crea una nueva serie con una secuencia de sumas parciales que es una subsecuencia de las sumas parciales de la serie original. Esto significa que si la serie original converge, también lo hace la nueva serie después de la agrupación: todas las subsecuencias infinitas de una secuencia convergente también convergen al mismo límite. Sin embargo, si la serie original diverge, entonces las series agrupadas no necesariamente divergen, como en este ejemplo de la serie de Grandi anterior. Sin embargo, la divergencia de una serie agrupada implica que la serie original debe ser divergente, ya que prueba que hay una subsecuencia de las sumas parciales de la serie original que no es convergente, lo que sería imposible si lo fuera. Este razonamiento se aplicó en la prueba de Oresme de la divergencia de la serie armónica [ ^28] y es la base de la prueba general de condensación de Cauchy ^{[29] [30]}

Nueva disposición

En las sumas finitas ordinarias, los términos de la suma pueden reordenarse libremente sin cambiar el resultado de la suma como consecuencia de la conmutatividad de la adición. De manera similar, en una serie, cualquier reordenamiento finito de los términos de una serie no cambia el límite de las sumas parciales de la serie y, por lo tanto, no cambia la suma de la serie: para cualquier reordenamiento finito, habrá algún término después del cual el reordenamiento no afectó a ningún término adicional: cualquier efecto del reordenamiento puede aislarse de la suma finita hasta ese término, y las sumas finitas no cambian bajo el reordenamiento. ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}={}}$ ${\displaystyle a_{0}+a_{2}+a_{1}={}}$ ${\displaystyle a_{2}+a_{1}+a_{0}.}$

Sin embargo, al igual que en el caso de la agrupación, un reordenamiento infinitario de los términos de una serie puede a veces dar lugar a un cambio en el límite de las sumas parciales de la serie. Las series con secuencias de sumas parciales que convergen a un valor pero cuyos términos podrían reordenarse para formar una serie con sumas parciales que convergen a algún otro valor se denominan series condicionalmente convergentes . Las que convergen al mismo valor independientemente del reordenamiento se denominan series incondicionalmente convergentes .

En el caso de las series de números reales y complejos, una serie es incondicionalmente convergente si y solo si la serie que suma los valores absolutos de sus términos también es convergente, una propiedad llamada convergencia absoluta . De lo contrario, cualquier serie de números reales o complejos que converge pero no converge absolutamente es condicionalmente convergente. Cualquier suma condicionalmente convergente de números reales puede reorganizarse para obtener cualquier otro número real como límite, o para divergir. Estas afirmaciones son el contenido del teorema de la serie de Riemann . ^{[31] [32] [33]} ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$ ${\displaystyle |a_{0}|+|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots ,}$

Un ejemplo históricamente importante de convergencia condicional es la serie armónica alternada ,

$${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots ,}$$que tiene una suma del logaritmo natural de 2 , mientras que la suma de los valores absolutos de los términos es la serie armónica , que diverge por la divergencia de la serie armónica, ^[28] por lo que la serie armónica alternada es condicionalmente convergente. Por ejemplo, reordenar los términos de la serie armónica alternada de modo que cada término positivo de la serie original sea seguido por dos términos negativos de la serie original en lugar de solo uno produce ^[34] que es veces la serie original, por lo que tendría una suma de la mitad del logaritmo natural de 2. Por el teorema de la serie de Riemann, también son posibles los reordenamientos de la serie armónica alternada para producir cualquier otro número real. $${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{1 \over n}=1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots ,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[3mu]&\quad =\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[3mu]&\quad ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[3mu]&\quad ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Operaciones

Adición de series

La adición de dos series y se da por la suma término por término ^{[13] [35] [36] [37]} , o, en notación de suma, ${\textstyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$ ${\textstyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$ ${\textstyle (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+\cdots \,}$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+b_{k}.}$$

Usando los símbolos y para las sumas parciales de las series agregadas y para las sumas parciales de las series resultantes, esta definición implica que las sumas parciales de las series resultantes siguen Entonces la suma de las series resultantes, es decir, el límite de la secuencia de sumas parciales de las series resultantes, satisface cuando existen los límites. Por lo tanto, primero, la serie resultante de la adición es sumable si las series agregadas fueran sumables, y, segundo, la suma de las series resultantes es la adición de las sumas de las series agregadas. La adición de dos series divergentes puede producir una serie convergente: por ejemplo, la adición de una serie divergente con una serie de sus términos multiplicados por producirá una serie de todos ceros que converge a cero. Sin embargo, para dos series cualesquiera donde una converge y la otra diverge, el resultado de su adición diverge. ^[35] ${\displaystyle s_{a,n}}$ ${\displaystyle s_{b,n}}$ ${\displaystyle s_{a+b,n}}$ ${\displaystyle s_{a+b,n}=s_{a,n}+s_{b,n}.}$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{a+b,n}=\lim _{n\rightarrow \infty }(s_{a,n}+s_{b,n})=\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n}+\lim _{n\rightarrow \infty }s_{b,n},}$$ ${\displaystyle -1}$

Para las series de números reales o complejos, la suma de series es asociativa , conmutativa e invertible . Por lo tanto, la suma de series da a los conjuntos de series convergentes de números reales o complejos la estructura de un grupo abeliano y también da a los conjuntos de todas las series de números reales o complejos (independientemente de las propiedades de convergencia) la estructura de un grupo abeliano.

Multiplicación escalar

El producto de una serie con un número constante , llamado escalar en este contexto, se da por el producto término por término ^[35] , o, en notación de suma, ${\textstyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$ ${\displaystyle c}$ ${\textstyle ca_{0}+ca_{1}+ca_{2}+\cdots }$

$${\displaystyle c\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }ca_{k}.}$$

Utilizando los símbolos para las sumas parciales de la serie original y para las sumas parciales de la serie después de la multiplicación por , esta definición implica que para todos y por lo tanto también cuando existen los límites. Por lo tanto, si una serie es sumable, cualquier múltiplo escalar distinto de cero de la serie también es sumable y viceversa: si una serie es divergente, entonces cualquier múltiplo escalar distinto de cero de ella también es divergente. ${\displaystyle s_{a,n}}$ ${\displaystyle s_{ca,n}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle s_{ca,n}=cs_{a,n}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{ca,n}=c\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n},}$

La multiplicación escalar de números reales y números complejos es asociativa, conmutativa, invertible y se distribuye sobre la suma de series.

En resumen, la suma de series y la multiplicación escalar dan al conjunto de series convergentes y al conjunto de series de números reales la estructura de un espacio vectorial real . De manera similar, se obtienen espacios vectoriales complejos para series y series convergentes de números complejos. Todos estos espacios vectoriales son de dimensión infinita.

Multiplicación de series

La multiplicación de dos series y la generación de una tercera serie , llamada producto de Cauchy, ^{[12] [13] [14] [36] [38]} se puede escribir en notación de suma con cada Aquí, la convergencia de las sumas parciales de la serie no es tan sencilla de establecer como para la suma. Sin embargo, si ambas series y son series absolutamente convergentes , entonces la serie resultante de multiplicarlas también converge absolutamente con una suma igual al producto de las dos sumas de las series multiplicadas, ^{[13] [36] [39]} ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$ ${\displaystyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$ ${\displaystyle c_{0}+c_{1}+c_{2}+\cdots }$ $${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\biggr )}\cdot {\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}{\biggr )}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j},}$$ ${\textstyle c_{k}=\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j}={}\!}$ ${\displaystyle \!a_{0}b_{k}+a_{1}b_{k-1}+\cdots +a_{k-1}b_{1}+a_{k}b_{0}.}$ ${\displaystyle c_{0}+c_{1}+c_{2}+\cdots }$ ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$ ${\displaystyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{c,n}=\left(\,\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n}\right)\cdot \left(\,\lim _{n\rightarrow \infty }s_{b,n}\right).}$$

La multiplicación de series de números reales y complejos absolutamente convergentes es asociativa, conmutativa y se distribuye sobre la suma de series. Junto con la suma de series, la multiplicación de series da a los conjuntos de series de números reales o complejos absolutamente convergentes la estructura de un anillo conmutativo y, junto con la multiplicación escalar, la estructura de un álgebra conmutativa ; estas operaciones también dan a los conjuntos de todas las series de números reales o complejos la estructura de un álgebra asociativa .

Ejemplos de series numéricas

• Una serie geométrica ^{[20] [21]} es aquella en la que cada término sucesivo se obtiene multiplicando el término anterior por un número constante (llamado razón común en este contexto). Por ejemplo: En general, una serie geométrica con término inicial y razón común , converge si y solo si , en cuyo caso converge a . $${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}=2.}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }ar^{n},}$ ${\textstyle |r|<1}$ ${\textstyle {a \over 1-r}}$
• La serie armónica es la serie ^[40] La serie armónica es divergente . $${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.}$$
• Una serie alternada es una serie donde los términos alternan signos. ^[41] Ejemplos: la serie armónica alternada y la fórmula de Leibniz para $${\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2),}$$ $${\displaystyle -1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}}{2n-1}}=-{\frac {\pi }{4}},}$$ ${\displaystyle \pi .}$
• Una serie telescópica ^[42] converge si la secuencia b _n converge a un límite L cuando n tiende a infinito. El valor de la serie es entonces b ₁ − L . ^[43] $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(b_{n}-b_{n+1}\right)}$$
• Una serie aritmético-geométrica es una serie cuyos términos son cada uno el producto de un elemento de una progresión aritmética con el elemento correspondiente de una progresión geométrica . Ejemplo: $${\displaystyle 3+{5 \over 2}+{7 \over 4}+{9 \over 8}+{11 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(3+2n) \over 2^{n}}.}$$
• La serie de Dirichlet converge para p > 1 y diverge para p ≤ 1, lo que se puede demostrar con la prueba integral de convergencia descrita a continuación en pruebas de convergencia. Como función de p , la suma de esta serie es la función zeta de Riemann . ^[44] $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$$
• Series hipergeométricas : y sus generalizaciones (como las series hipergeométricas básicas y las series hipergeométricas elípticas ) aparecen con frecuencia en sistemas integrables y en física matemática . ^[45] $${\displaystyle _{r}F_{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s}\end{matrix}};z\right]:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\dotsb (a_{r})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\dotsb (b_{s})_{n}\;n!}}z^{n}}$$
• Hay algunas series elementales cuya convergencia aún no se conoce/demuestra. Por ejemplo, se desconoce si la serie de Flint Hills converge o no. La convergencia depende de qué tan bien se pueda aproximar con números racionales (lo cual se desconoce hasta el momento). Más específicamente, los valores de n con grandes contribuciones numéricas a la suma son los numeradores de las fracciones continuas convergentes de , una secuencia que comienza con 1, 3, 22, 333, 355, 103993, ... (secuencia A046947 en la OEIS ). Estos son números enteros n que están cerca de para algún número entero m , de modo que es cercano a y su recíproco es grande. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sin ^{2}n}},}$$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle m\pi }$ ${\displaystyle \sin n}$ ${\displaystyle \sin m\pi =0}$

Pi

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(4)}{2n-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi }$$

Logaritmo natural de 2

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}=\ln 2}$$

Base del logaritmo naturalmi

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots ={\frac {1}{e}}}$$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e}$$

Prueba de convergencia

Una de las pruebas más simples para la convergencia de una serie, aplicable a todas las series, es la condición de desaparición o prueba del término n : si , entonces la serie diverge; si , entonces la prueba no es concluyente. ^{[46] [47]} ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$

Pruebas de convergencia absoluta

Cuando cada término de una serie es un número real no negativo, por ejemplo cuando los términos son los valores absolutos de otra serie de números reales o números complejos, la secuencia de sumas parciales no es decreciente. Por lo tanto, una serie con términos no negativos converge si y solo si la secuencia de sumas parciales está acotada, y por lo tanto, encontrar un límite para una serie o para los valores absolutos de sus términos es una forma eficaz de demostrar la convergencia o la convergencia absoluta de una serie. ^{[48] [49] [47] [50]}

Por ejemplo, la serie es convergente y absolutamente convergente porque para todos y un argumento de suma telescópica implica que las sumas parciales de la serie de esos términos límite no negativos están acotadas por encima de 2. ^[43] El valor exacto de esta serie es ; véase el problema de Basilea . ${\textstyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}+\cdots \,}$ ${\textstyle {\frac {1}{n^{2}}}\leq {\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\textstyle {\frac {1}{6}}\pi ^{2}}$

Este tipo de estrategia de acotación es la base para las pruebas generales de comparación de series. La primera es la prueba general de comparación directa : ^{[51] [52] [47]} Para cualquier serie , Si es una serie absolutamente convergente tal que para algún número real positivo y para suficientemente grande , entonces converge absolutamente también. Si diverge, y para todos suficientemente grandes , entonces tampoco converge absolutamente, aunque todavía podría ser condicionalmente convergente, por ejemplo, si las se alternan en signo. La segunda es la prueba general de comparación de límites : ^{[53] [54]} Si es una serie absolutamente convergente tal que para suficientemente grande , entonces converge absolutamente también. Si diverge, y para todos suficientemente grandes , entonces tampoco converge absolutamente, aunque todavía podría ser condicionalmente convergente si las varían en signo. ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \leq C\left\vert b_{n}\right\vert }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum \left\vert b_{n}\right\vert }$ ${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \geq \left\vert b_{n}\right\vert }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\textstyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle \left\vert {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \leq \left\vert {\tfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum \left|b_{n}\right|}$ ${\displaystyle \left\vert {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \geq \left\vert {\tfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

Utilizando comparaciones con series geométricas específicamente, ^{[20] [21]} esas dos pruebas de comparación generales implican dos pruebas más comunes y generalmente útiles para la convergencia de series con términos no negativos o para la convergencia absoluta de series con términos generales. La primera es la prueba de la razón : ^{[55] [56] [57]} si existe una constante tal que para todos los suficientemente grandes  , entonces converge absolutamente. Cuando la razón es menor que , pero no menor que una constante menor que , la convergencia es posible pero esta prueba no la establece. La segunda es la prueba de la raíz : ^{[55] [58] [59]} si existe una constante tal que para todos los suficientemente grandes  , entonces converge absolutamente. ${\displaystyle C<1}$ ${\displaystyle \left\vert {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert <C}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle C<1}$ ${\displaystyle \textstyle \left\vert a_{n}\right\vert ^{1/n}\leq C}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$

Alternativamente, utilizando comparaciones con representaciones en serie de integrales específicamente, se deriva la prueba integral : ^{[60] [61]} si es una función decreciente monótona positiva definida en el intervalo entonces para una serie con términos para todos  , converge si y solo si la integral es finita. El uso de comparaciones con versiones aplanadas de una serie conduce a la prueba de condensación de Cauchy : ^{[29] [30]} si la secuencia de términos no es negativa ni creciente, entonces las dos series y son ambas convergentes o ambas divergentes. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [1,\infty )}$ ${\displaystyle a_{n}=f(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum 2^{k}a_{(2^{k})}}$

Pruebas de convergencia condicional

Se dice que una serie de números reales o complejos es condicionalmente convergente (o semiconvergente ) si es convergente pero no absolutamente convergente. La convergencia condicional se prueba de forma diferente a la convergencia absoluta.

Un ejemplo importante de una prueba de convergencia condicional es la prueba de series alternadas o prueba de Leibniz : ^{[62] [63] [64]} Una serie de la forma con todos se llama alternada . Tal serie converge si la secuencia no negativa es monótona decreciente y converge a  . La inversa en general no es cierta. Un ejemplo famoso de una aplicación de esta prueba es la serie armónica alternada que es convergente según la prueba de series alternadas (y su suma es igual a  ), aunque la serie formada tomando el valor absoluto de cada término es la serie armónica ordinaria , que es divergente. ^{[65] [66]} ${\textstyle \sum (-1)^{n}a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}>0}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots ,}$$ ${\displaystyle \ln 2}$

La prueba de series alternadas puede verse como un caso especial de la prueba de Dirichlet más general : ^{[67] [68] [69]} si es una secuencia de términos de números reales no negativos decrecientes que converge a cero, y es una secuencia de términos con sumas parciales acotadas, entonces la serie converge. Tomando se recupera la prueba de series alternadas. ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (\lambda _{n})}$ ${\textstyle \sum \lambda _{n}a_{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{n}=(-1)^{n}}$

La prueba de Abel es otra técnica importante para manejar series semiconvergentes. ^{[67] [29]} Si una serie tiene la formadonde las sumas parciales de la serie con términos,están acotadas,tiene variación acotada yexiste: siyconverge, entonces la seriees convergente. ${\textstyle \sum a_{n}=\sum \lambda _{n}b_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle s_{b,n}=b_{0}+\cdots +b_{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{n}}$ ${\displaystyle \lim \lambda _{n}b_{n}}$ ${\textstyle \sup _{n}|s_{b,n}|<\infty ,}$ ${\textstyle \sum \left|\lambda _{n+1}-\lambda _{n}\right|<\infty ,}$ ${\displaystyle \lambda _{n}s_{b,n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$

Otras pruebas de convergencia especializadas para tipos específicos de series incluyen la prueba de Dini ^[70] para series de Fourier .

Evaluación de errores de truncamiento

La evaluación de los errores de truncamiento de series es importante en el análisis numérico (especialmente en el análisis numérico validado y en las demostraciones asistidas por computadora ). Se puede utilizar para demostrar la convergencia y para analizar las tasas de convergencia .

Serie alternada

Cuando se cumplen las condiciones de la prueba de series alternadas por , hay una evaluación de error exacta. ^[71] Establezca que sea la suma parcial de la serie alternada dada . Entonces se cumple la siguiente desigualdad: ${\textstyle S:=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}u_{m}}$ ${\displaystyle s_{n}}$ ${\textstyle s_{n}:=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}u_{m}}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle |S-s_{n}|\leq u_{n+1}.}$$

Serie hipergeométrica

Utilizando la relación , podemos obtener la evaluación del término de error cuando se trunca la serie hipergeométrica . ^[72]

Matriz exponencial

Para la matriz exponencial :

$${\displaystyle \exp(X):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k},\quad X\in \mathbb {C} ^{n\times n},}$$

Se cumple la siguiente evaluación de error (método de escala y cuadrado): ^{[73] [74] [75]}

$${\displaystyle T_{r,s}(X):={\biggl (}\sum _{j=0}^{r}{\frac {1}{j!}}(X/s)^{j}{\biggr )}^{s},\quad {\bigl \|}\exp(X)-T_{r,s}(X){\bigr \|}\leq {\frac {\|X\|^{r+1}}{s^{r}(r+1)!}}\exp(\|X\|).}$$

Sumas de series divergentes

En muchas circunstancias, es deseable asignar sumas generalizadas a series que no convergen en el sentido estricto de que sus secuencias de sumas parciales no convergen. Un método de suma es cualquier método para asignar sumas a series divergentes de una manera que extienda sistemáticamente la noción clásica de la suma de una serie. Los métodos de suma incluyen la suma de Cesàro , la suma generalizada de Cesàro ( C , α ) , la suma de Abel y la suma de Borel , en orden de aplicabilidad a series cada vez más divergentes. Todos estos métodos se basan en transformaciones de secuencia de la serie original de términos o de su secuencia de sumas parciales. Una familia alternativa de métodos de suma se basa en la continuación analítica en lugar de la transformación de secuencia.

Se conocen diversos resultados generales sobre los posibles métodos de sumabilidad. El teorema de Silverman-Toeplitz caracteriza los métodos de suma de matrices , que son métodos para sumar una serie divergente aplicando una matriz infinita al vector de coeficientes. Los métodos más generales para sumar una serie divergente son no constructivos y se refieren a los límites de Banach .

Serie de funciones

Una serie de funciones de valores reales o complejos

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$$

es convergente puntualmente a un límite ƒ ( x ) en un conjunto E si la serie converge para cada x en E como una serie de números reales o complejos. De manera equivalente, las sumas parciales

$${\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}f_{n}(x)}$$

convergen a ƒ ( x ) cuando N  → ∞ para cada x  ∈  E .

Una noción más fuerte de convergencia de una serie de funciones es convergencia uniforme . Una serie converge uniformemente en un conjunto si converge puntualmente a la función ƒ ( x ) en cada punto de y el supremo de estos errores puntuales al aproximar el límite por la suma parcial N , ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle \sup _{x\in E}{\bigl |}s_{N}(x)-f(x){\bigr |}}$$

converge a cero al aumentar N , independientemente de x .

La convergencia uniforme es deseable para una serie porque muchas propiedades de los términos de la serie se conservan entonces por el límite. Por ejemplo, si una serie de funciones continuas converge uniformemente, entonces la función límite también es continua. De manera similar, si los ƒ _n son integrables en un intervalo cerrado y acotado I y convergen uniformemente, entonces la serie también es integrable en I y puede integrarse término por término. Las pruebas para la convergencia uniforme incluyen la prueba M de Weierstrass , la prueba de convergencia uniforme de Abel , la prueba de Dini y el criterio de Cauchy .

También se pueden definir tipos más sofisticados de convergencia de una serie de funciones. En la teoría de la medida , por ejemplo, una serie de funciones converge casi en todas partes si converge puntualmente excepto en un conjunto de medida cero . Otros modos de convergencia dependen de una estructura espacial métrica diferente en el espacio de funciones en consideración. Por ejemplo, una serie de funciones converge en media a una función límite ƒ en un conjunto E si

$${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\int _{E}{\bigl |}s_{N}(x)-f(x){\bigr |}^{2}\,dx=0.}$$

Serie de potencias

Una serie de potencias es una serie de la forma

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}.}$$

La serie de Taylor en un punto c de una función es una serie de potencias que, en muchos casos, converge a la función en un entorno de c . Por ejemplo, la serie

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$$

es la serie de Taylor en el origen y converge a ella para cada x . ${\displaystyle e^{x}}$

A menos que converja sólo en x = c , dicha serie converge en un cierto disco abierto de convergencia centrado en el punto c en el plano complejo, y también puede converger en algunos de los puntos del límite del disco. El radio de este disco se conoce como radio de convergencia , y en principio se puede determinar a partir de la asintótica de los coeficientes a _n . La convergencia es uniforme en subconjuntos cerrados y acotados (es decir, compactos ) del interior del disco de convergencia: es decir, es uniformemente convergente en conjuntos compactos .

Históricamente, matemáticos como Leonhard Euler trabajaron con liberalidad con series infinitas, incluso si no eran convergentes. Cuando el cálculo se estableció sobre una base sólida y correcta en el siglo XIX, siempre se requirieron pruebas rigurosas de la convergencia de las series.

Serie de potencias formales

Aunque muchos usos de las series de potencias se refieren a sus sumas, también es posible tratar las series de potencias como sumas formales , lo que significa que en realidad no se realizan operaciones de suma y el símbolo "+" es un símbolo abstracto de conjunción que no se interpreta necesariamente como correspondiente a la suma. En este contexto, la secuencia de coeficientes en sí es de interés, en lugar de la convergencia de la serie. Las series de potencias formales se utilizan en combinatoria para describir y estudiar secuencias que de otro modo serían difíciles de manejar, por ejemplo, utilizando el método de funciones generadoras . La serie de Hilbert-Poincaré es una serie de potencias formales que se utiliza para estudiar álgebras graduadas .

Incluso si no se considera el límite de la serie de potencias, si los términos admiten una estructura apropiada, entonces es posible definir operaciones como adición , multiplicación , derivada y antiderivada para series de potencias "formalmente", tratando el símbolo "+" como si correspondiera a la adición. En el contexto más común, los términos provienen de un anillo conmutativo , de modo que la serie de potencias formal se puede sumar término por término y multiplicar mediante el producto de Cauchy . En este caso, el álgebra de series de potencias formales es el álgebra total del monoide de números naturales sobre el anillo de términos subyacente. ^[76] Si el anillo de términos subyacente es un álgebra diferencial , entonces el álgebra de series de potencias formales también es un álgebra diferencial, con diferenciación realizada término por término.

Serie Laurent

Las series de Laurent generalizan las series de potencias admitiendo términos en la serie con exponentes negativos y positivos. Por lo tanto, una serie de Laurent es cualquier serie de la forma

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}x^{n}.}$$

Si una serie de este tipo converge, en general lo hace en un anillo en lugar de en un disco, y posiblemente en algunos puntos límite. La serie converge de manera uniforme en subconjuntos compactos del interior del anillo de convergencia.

Serie de Dirichlet

Una serie de Dirichlet es una de las formas

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}},}$$

donde s es un número complejo . Por ejemplo, si todos los a _n son iguales a 1, entonces la serie de Dirichlet es la función zeta de Riemann.

$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$$

Al igual que la función zeta, las series de Dirichlet en general desempeñan un papel importante en la teoría analítica de números . Generalmente, una serie de Dirichlet converge si la parte real de s es mayor que un número llamado abscisa de convergencia. En muchos casos, una serie de Dirichlet se puede extender a una función analítica fuera del dominio de convergencia mediante continuación analítica . Por ejemplo, la serie de Dirichlet para la función zeta converge absolutamente cuando Re( s ) > 1, pero la función zeta se puede extender a una función holomorfa definida en con un polo simple en 1. ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$

Esta serie se puede generalizar directamente a la serie general de Dirichlet .

Serie trigonométrica

Una serie de funciones en las que los términos son funciones trigonométricas se denomina serie trigonométrica :

$${\displaystyle A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos nx+B_{n}\sin nx\right).}$$

El ejemplo más importante de una serie trigonométrica es la serie de Fourier de una función.

Serie asintótica

Las series asintóticas , típicamente llamadas expansiones asintóticas , son series infinitas cuyos términos son funciones de una secuencia de órdenes asintóticos diferentes y cuyas sumas parciales son aproximaciones de alguna otra función en un límite asintótico . En general no convergen, pero aun así son útiles como secuencias de aproximaciones, cada una de las cuales proporciona un valor cercano a la respuesta deseada para un número finito de términos. Son herramientas cruciales en la teoría de perturbaciones y en el análisis de algoritmos .

No es posible hacer que una serie asintótica produzca una respuesta tan exacta como se desea fuera del límite asintótico, como sí puede hacerlo una serie convergente ordinaria de funciones. De hecho, una serie asintótica típica alcanza su mejor aproximación práctica fuera del límite asintótico después de un número finito de términos; si se incluyen más términos, la serie producirá aproximaciones menos precisas.

Historia de la teoría de series infinitas

Desarrollo de series infinitas

Las series infinitas desempeñan un papel importante en el análisis moderno de la filosofía griega antigua del movimiento , particularmente en las paradojas de Zenón . ^[77] La ​​paradoja de Aquiles y la tortuga demuestra que el movimiento continuo requeriría una infinidad real de instantes temporales, lo que podría decirse que era un absurdo : Aquiles corre tras una tortuga, pero cuando alcanza la posición de la tortuga al comienzo de la carrera, la tortuga ha alcanzado una segunda posición; cuando alcanza esta segunda posición, la tortuga está en una tercera posición, y así sucesivamente. Se dice que Zenón argumentó que, por lo tanto, Aquiles nunca podría alcanzar a la tortuga y, por lo tanto, que el movimiento continuo debe ser una ilusión. Zenón dividió la carrera en infinitas subrazas, cada una de las cuales requiere una cantidad finita de tiempo, de modo que el tiempo total para que Aquiles atrape a la tortuga está dado por una serie. La solución del lado puramente matemático e imaginativo de la paradoja es que, aunque la serie tiene un número infinito de términos, tiene una suma finita, que da el tiempo necesario para que Aquiles alcance a la tortuga. Sin embargo, en la filosofía moderna del movimiento el lado físico del problema permanece abierto, con filósofos y físicos dudando, como Zenón, de que los movimientos espaciales sean infinitamente divisibles: las conciliaciones hipotéticas de la mecánica cuántica y la relatividad general en las teorías de la gravedad cuántica a menudo introducen cuantizaciones del espacio-tiempo en la escala de Planck . ^{[78] [79]}

El matemático griego Arquímedes produjo la primera suma conocida de una serie infinita con un método que todavía se utiliza en el área del cálculo actual. Utilizó el método de exhaución para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita, ^[5] y dio una aproximación notablemente precisa de π . ^{[80] [81]}

Los matemáticos de la escuela de Kerala estudiaban series infinitas alrededor del año  1350 d . C. ^[82]

En el siglo XVII, James Gregory trabajó en el nuevo sistema decimal sobre series infinitas y publicó varias series de Maclaurin . En 1715, Brook Taylor proporcionó un método general para construir la serie de Taylor para todas las funciones para las que existen . Leonhard Euler , en el siglo XVIII, desarrolló la teoría de las series hipergeométricas y las series q .

Criterios de convergencia

Se considera que la investigación de la validez de las series infinitas comenzó con Gauss en el siglo XIX. Euler ya había considerado la serie hipergeométrica

$${\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+\cdots }$$

sobre el cual Gauss publicó una memoria en 1812. Estableció criterios más simples de convergencia y las cuestiones de los residuos y el rango de convergencia.

Cauchy (1821) insistió en pruebas estrictas de convergencia; demostró que si dos series son convergentes su producto no lo es necesariamente, y con él comienza el descubrimiento de criterios efectivos. Los términos convergencia y divergencia habían sido introducidos mucho antes por Gregory (1668). Leonhard Euler y Gauss habían dado varios criterios, y Colin Maclaurin había anticipado algunos de los descubrimientos de Cauchy. Cauchy avanzó la teoría de las series de potencias mediante su desarrollo de una función compleja en esa forma.

Abel (1826) en sus memorias sobre la serie binomial

$${\displaystyle 1+{\frac {m}{1!}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\cdots }$$

Corrigió algunas de las conclusiones de Cauchy y dio una suma completamente científica de la serie para valores complejos de y . Demostró la necesidad de considerar el tema de la continuidad en cuestiones de convergencia. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$

Los métodos de Cauchy condujeron a criterios especiales en lugar de generales, y lo mismo puede decirse de Raabe (1832), quien realizó la primera investigación elaborada sobre el tema, de De Morgan (desde 1842), cuya prueba logarítmica, según demostraron DuBois-Reymond (1873) y Pringsheim (1889), falla dentro de una cierta región; de Bertrand (1842), Bonnet (1843), Malmsten (1846, 1847, este último sin integración); Stokes (1847), Paucker (1852), Chebyshev (1852) y Arndt (1853).

Los criterios generales se iniciaron con Kummer (1835) y han sido estudiados por Eisenstein (1847), Weierstrass en sus diversas contribuciones a la teoría de funciones, Dini (1867), DuBois-Reymond (1873) y muchos otros. Las memorias de Pringsheim (1889) presentan la teoría general más completa.

Convergencia uniforme

La teoría de la convergencia uniforme fue tratada por Cauchy (1821), y Abel señaló sus limitaciones, pero los primeros en atacarla con éxito fueron Seidel y Stokes (1847-1848). Cauchy retomó el problema (1853), reconociendo las críticas de Abel y llegando a las mismas conclusiones que Stokes. Thomae utilizó la doctrina (1866), pero hubo un gran retraso en reconocer la importancia de distinguir entre convergencia uniforme y no uniforme, a pesar de las exigencias de la teoría de funciones.

Semiconvergencia

Se dice que una serie es semiconvergente (o condicionalmente convergente) si es convergente pero no absolutamente convergente .

Las series semiconvergentes fueron estudiadas por Poisson (1823), quien también dio una forma general para el resto de la fórmula de Maclaurin. Sin embargo, la solución más importante del problema se debe a Jacobi (1834), quien abordó la cuestión del resto desde un punto de vista diferente y llegó a una fórmula diferente. Esta expresión también fue elaborada, y otra dada, por Malmsten (1847). Schlömilch ( Zeitschrift , vol. I, p. 192, 1856) también mejoró el resto de Jacobi y mostró la relación entre el resto y la función de Bernoulli.

$${\displaystyle F(x)=1^{n}+2^{n}+\cdots +(x-1)^{n}.}$$

Genocchi (1852) contribuyó aún más a la teoría.

Entre los primeros escritores estuvo Wronski , cuya "loi suprême" (1815) apenas fue reconocida hasta que Cayley (1873) la puso en relieve.

Serie de Fourier

Las series de Fourier se estaban investigando como resultado de consideraciones físicas al mismo tiempo que Gauss, Abel y Cauchy estaban desarrollando la teoría de las series infinitas. Las series para el desarrollo de senos y cosenos, de arcos múltiples en potencias del seno y el coseno del arco habían sido tratadas por Jacob Bernoulli (1702) y su hermano Johann Bernoulli (1701) y aún antes por Vieta . Euler y Lagrange simplificaron el tema, al igual que Poinsot , Schröter , Glaisher y Kummer .

Fourier (1807) se planteó un problema diferente: desarrollar una función dada de x en términos de los senos o cosenos de múltiplos de x , un problema que plasmó en su Théorie analytique de la chaleur (1822). Euler ya había dado las fórmulas para determinar los coeficientes de la serie; Fourier fue el primero en afirmar e intentar demostrar el teorema general. Poisson (1820-23) también abordó el problema desde un punto de vista diferente. Sin embargo, Fourier no resolvió la cuestión de la convergencia de su serie, un asunto que Cauchy (1826) intentó intentar y que Dirichlet (1829) manejó de una manera completamente científica (véase convergencia de las series de Fourier ). El tratamiento de las series trigonométricas por parte de Dirichlet ( Crelle , 1829) fue objeto de críticas y mejoras por parte de Riemann (1854), Heine, Lipschitz , Schläfli y du Bois-Reymond . Entre otros contribuyentes destacados a la teoría de las series trigonométricas y de Fourier se encuentran Dini , Hermite , Halphen , Krause, Byerly y Appell .

Sumas sobre conjuntos de índices generales

Se pueden dar definiciones para sumas infinitas sobre un conjunto de índices arbitrario ^[83]. Esta generalización introduce dos diferencias principales con respecto a la noción habitual de serie: en primer lugar, puede que no haya un orden específico dado en el conjunto ; en segundo lugar, el conjunto puede ser incontable. Las nociones de convergencia deben reconsiderarse para estos casos, porque, por ejemplo, el concepto de convergencia condicional depende del ordenamiento del conjunto de índices. ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$

Si es una función de un conjunto índice a un conjunto entonces la "serie" asociada a es la suma formal de los elementos sobre los elementos índice denotados por el ${\displaystyle a:I\mapsto G}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a(x)\in G}$ ${\displaystyle x\in I}$

$${\displaystyle \sum _{x\in I}a(x).}$$

Cuando el conjunto índice son los números naturales la función es una sucesión denotada por Una serie indexada en los números naturales es una suma formal ordenada y por eso reescribimos como para enfatizar el orden inducido por los números naturales. De este modo, obtenemos la notación común para una serie indexada por los números naturales ${\displaystyle I=\mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle a:\mathbb {N} \mapsto G}$ ${\displaystyle a(n)=a_{n}.}$ ${\textstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots .}$$

Familias de números no negativos

Al sumar una familia de números reales no negativos sobre el conjunto de índices , defina ${\displaystyle \left\{a_{i}:i\in I\right\}}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sup {\biggl \{}\sum _{i\in A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite}}{\biggr \}}\in [0,+\infty ].}$$

Cuando el supremo es finito entonces el conjunto de tales que es numerable. En efecto, para cada la cardinalidad del conjunto es finita porque ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle a_{i}>0}$ ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle \left|A_{n}\right|}$ ${\displaystyle A_{n}=\left\{i\in I:a_{i}>1/n\right\}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\,\left|A_{n}\right|=\sum _{i\in A_{n}}{\frac {1}{n}}\leq \sum _{i\in A_{n}}a_{i}\leq \sum _{i\in I}a_{i}<\infty .}$$

Si es infinito contable y enumerado como entonces la suma definida anteriormente satisface ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I=\left\{i_{0},i_{1},\ldots \right\}}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{i_{k}},}$$siempre que se permita el valor para la suma de la serie. ${\displaystyle \infty }$

Cualquier suma sobre números reales no negativos puede entenderse como la integral de una función no negativa con respecto a la medida de conteo , lo que explica las muchas similitudes entre las dos construcciones.

Grupos topológicos abelianos

Sea una función, también denotada por de algún conjunto no vacío en un grupo topológico abeliano de Hausdorff Sea la colección de todos los subconjuntos finitos de con visto como un conjunto dirigido , ordenado bajo inclusión con unión como unión . Se dice que la familia es incondicionalmente sumable si el siguiente límite , que se denota por y se llama suma de existe en ${\displaystyle a:I\to X}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}a_{i}}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle X:}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}:=\lim _{A\in \operatorname {Finite} (I)}\ \sum _{i\in A}a_{i}=\lim {\biggl \{}\sum _{i\in A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite }}{\biggr \}}}$$Decir que la suma es el límite de sumas parciales finitas significa que para cada entorno del origen en existe un subconjunto finito de tal que ${\displaystyle \textstyle S:=\sum _{i\in I}a_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle S-\sum _{i\in A}a_{i}\in V\qquad {\text{ for every finite superset}}\;A\supseteq A_{0}.}$$

Como no está totalmente ordenado , no se trata de un límite de una secuencia de sumas parciales, sino de una red . ^{[84] [85]} ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$

Para cada vecindad del origen en existe una vecindad más pequeña tal que Se sigue que las sumas parciales finitas de una familia incondicionalmente sumable forman una red de Cauchy , es decir, para cada vecindad del origen en existe un subconjunto finito de tal que ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V-V\subseteq W.}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle \sum _{i\in A_{1}}a_{i}-\sum _{i\in A_{2}}a_{i}\in W\qquad {\text{ for all finite supersets }}\;A_{1},A_{2}\supseteq A_{0},}$$lo que implica que para cada (tomando y ). ${\displaystyle a_{i}\in W}$ ${\displaystyle i\in I\setminus A_{0}}$ ${\displaystyle A_{1}:=A_{0}\cup \{i\}}$ ${\displaystyle A_{2}:=A_{0}}$

Cuando es completa , una familia es incondicionalmente sumable en si y solo si las sumas finitas satisfacen la última condición de red de Cauchy. Cuando es completa y es incondicionalmente sumable en entonces para cada subconjunto la subfamilia correspondiente también es incondicionalmente sumable en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle J\subseteq I,}$ ${\displaystyle \left(a_{j}\right)_{j\in J},}$ ${\displaystyle X.}$

Cuando la suma de una familia de números no negativos, en el sentido extendido definido anteriormente, es finita, entonces coincide con la suma en el grupo topológico ${\displaystyle X=\mathbb {R} .}$

Si una familia en es incondicionalmente sumable, entonces para cada entorno del origen en hay un subconjunto finito tal que para cada índice que no esté en Si es un espacio de primer numeración , entonces se deduce que el conjunto de tal que es numerable. Esto no tiene por qué ser cierto en un grupo topológico abeliano general (ver ejemplos a continuación). ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}\subseteq I}$ ${\displaystyle a_{i}\in W}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{0}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$

Serie incondicionalmente convergente

Supongamos que si una familia es incondicionalmente sumable en un grupo topológico abeliano de Hausdorff , entonces la serie en el sentido habitual converge y tiene la misma suma, ${\displaystyle I=\mathbb {N} .}$ ${\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}.}$$

Por naturaleza, la definición de sumabilidad incondicional es insensible al orden de la suma. Cuando es incondicionalmente sumable, entonces la serie sigue siendo convergente después de cualquier permutación del conjunto de índices, con la misma suma. ${\displaystyle \textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$$

Por el contrario, si cada permutación de una serie converge, entonces la serie es incondicionalmente convergente. Cuando es completa entonces la convergencia incondicional también es equivalente al hecho de que todas las subseries son convergentes; si es un espacio de Banach , esto es equivalente a decir que para cada secuencia de signos , la serie ${\displaystyle \textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}=\pm 1}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}a_{n}}$$

converge en ${\displaystyle X.}$

Series en espacios vectoriales topológicos

Si es un espacio vectorial topológico (TVS) y es una familia (posiblemente incontable ) en entonces esta familia es sumable ^[86] si el límite de la red existe en donde es el conjunto dirigido de todos los subconjuntos finitos de dirigido por inclusión y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \textstyle \lim _{A\in \operatorname {Finite} (I)}x_{A}}$ ${\displaystyle \left(x_{A}\right)_{A\in \operatorname {Finite} (I)}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\textstyle x_{A}:=\sum _{i\in A}x_{i}.}$

Se dice que es absolutamente sumable si, además, para cada seminorma continua de la familia es sumable. Si es un espacio normable y si es una familia absolutamente sumable en entonces necesariamente todos los conjuntos de son cero, salvo uno numerable. Por lo tanto, en los espacios normados, normalmente solo es necesario considerar series con un número numerable de términos. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(p\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Las familias sumables juegan un papel importante en la teoría de los espacios nucleares .

Series en Banach y espacios semirregulados

La noción de serie se puede extender fácilmente al caso de un espacio seminormado . Si es una secuencia de elementos de un espacio normado y si entonces la serie converge a en si la secuencia de sumas parciales de la serie converge a en ; a saber, ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \textstyle \sum x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle {\bigl (}\!\!~\sum _{n=0}^{N}x_{n}{\bigr )}_{N=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\Biggl \|}x-\sum _{n=0}^{N}x_{n}{\Biggr \|}\to 0\quad {\text{ as }}N\to \infty .}$$

De manera más general, la convergencia de series se puede definir en cualquier grupo topológico abeliano de Hausdorff . Específicamente, en este caso, converge a si la secuencia de sumas parciales converge a ${\displaystyle \textstyle \sum x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Si es un espacio semirnormalizado , entonces la noción de convergencia absoluta se convierte en: Una serie de vectores en converge absolutamente si ${\displaystyle (X,|\cdot |)}$ ${\textstyle \sum _{i\in I}x_{i}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}\left|x_{i}\right|<+\infty }$$

En cuyo caso, todos los valores, excepto un número contable máximo, son necesariamente cero. ${\displaystyle \left|x_{i}\right|}$

Si una serie contable de vectores en un espacio de Banach converge absolutamente, entonces converge incondicionalmente, pero lo inverso sólo se cumple en espacios de Banach de dimensión finita (teorema de Dvoretzky y Rogers (1950)).

Sumas bien ordenadas

Se puede considerar una serie condicionalmente convergente si es un conjunto bien ordenado , por ejemplo, un número ordinal. En este caso, se define por recursión transfinita : ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \alpha _{0}.}$

$${\displaystyle \sum _{\beta <\alpha +1}\!a_{\beta }=a_{\alpha }+\sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }}$$

y para un ordinal límite ${\displaystyle \alpha ,}$

$${\displaystyle \sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }=\lim _{\gamma \to \alpha }\,\sum _{\beta <\gamma }a_{\beta }}$$

Si existe este límite, si existen todos los límites hasta entonces la serie converge. ${\displaystyle \alpha _{0},}$

Ejemplos

• Dada una función en un grupo topológico abeliano se define para cada una función cuyo soporte es un singleton . Entonces en la topología de convergencia puntual (es decir, la suma se toma en el grupo de productos infinitos ). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle a\in X,}$ $${\displaystyle f_{a}(x)={\begin{cases}0&x\neq a,\\f(a)&x=a,\\\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \{a\}.}$ $${\displaystyle f=\sum _{a\in X}f_{a}}$$ ${\displaystyle \textstyle Y^{X}}$
• En la definición de particiones de la unidad , se construyen sumas de funciones sobre un conjunto de índices arbitrario. Si bien, formalmente, esto requiere una noción de sumas de series incontables, por construcción, para cada dado solo hay un número finito de términos distintos de cero en la suma, por lo que no surgen problemas relacionados con la convergencia de tales sumas. En realidad, generalmente se supone más: la familia de funciones es localmente finita , es decir, para cada hay un vecindario de en el que todas las funciones, excepto un número finito de funciones, se desvanecen. Cualquier propiedad de regularidad de, como la continuidad, la diferenciabilidad, que se conserva bajo sumas finitas se conservará para la suma de cualquier subcolección de esta familia de funciones. ${\displaystyle I,}$ $${\displaystyle \sum _{i\in I}\varphi _{i}(x)=1.}$$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi _{i},}$
• En el primer ordinal incontable visto como un espacio topológico en la topología de orden , la función constante dada por satisface (en otras palabras, las copias de 1 son ) solo si se toma un límite sobre todas las sumas parciales contables , en lugar de sumas parciales finitas. Este espacio no es separable. ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle f:\left[0,\omega _{1}\right)\to \left[0,\omega _{1}\right]}$ ${\displaystyle f(\alpha )=1}$ $${\displaystyle \sum _{\alpha \in [0,\omega _{1})}\!\!\!f(\alpha )=\omega _{1}}$$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Véase también

• Fracción continua
• Pruebas de convergencia
• Serie convergente
• Serie divergente
• Composiciones infinitas de funciones analíticas
• Expresión infinita
• Producto infinito
• Operación binaria iterada
• Lista de series matemáticas
• Prefijo suma
• Transformación de secuencia
• Expansión de la serie

Notas

1. Thompson, Silvanus ; Gardner, Martin (1998). Cálculo simplificado. Macmillan. ISBN 978-0-312-18548-0.
2. Huggett, Nick (2024), "Las paradojas de Zenón", en Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de primavera de 2024), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 25 de marzo de 2024
3. Apostol 1967, págs. 374-375
4. Swain, Gordon; Dence, Thomas (1998). "Revisión de la cuadratura de la parábola de Arquímedes". Revista de Matemáticas . 71 (2): 123–130. doi :10.2307/2691014. ISSN  0025-570X. JSTOR  2691014.
5. Russo, Lucio (2004). La revolución olvidada . Traducido por Levy, Silvio. Alemania: Springer-Verlag. pp. 49–52. ISBN 978-3-540-20396-4.
6. Apóstol 1967, pág. 377
7. Apóstol 1967, pág. 378
8. Apostol 1967, pág. 37
9. Spivak 2008, págs. 471-472
10. Apóstol 1967, pág. 384
11. Ablowitz, Mark J.; Fokas, Athanassios S. (2003). Variables complejas: Introducción y aplicaciones (2.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 110. ISBN 978-0-521-53429-1.
12. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley and Sons. pág. 238. ISBN 978-0-471-43334-7.
13. Spivak 2008, págs. 486–487, 493
14. Wilf, Herbert S. (1990). Generatingfunctionology . San Diego: Academic Press. págs. 27-28. ISBN 978-1-48-324857-8.
15. Swokoski, Earl W. (1983). Cálculo con geometría analítica (edición alternativa). Boston: Prindle, Weber & Schmidt. pág. 501. ISBN 978-0-87150-341-1.
16. Rudin 1976, pág. 59
17. Spivak 2008, pág. 426
18. Apóstol 1967, pág. 281
19. Rudin 1976, pág. 63
20. Spivak 2008, págs. 473–478
21. Apostol 1967, págs. 388–390, 399–401
22. Rudin 1976, pág. 61
23. Spivak 2008, pág. 453
24. Knuth, Donald E. (1992). "Dos notas sobre notación". American Mathematical Monthly . 99 (5): 403–422. doi :10.2307/2325085. JSTOR  2325085.
25. Atkinson, Kendall E. (1989). Introducción al análisis numérico (2.ª ed.). Nueva York: Wiley. pág. 20. ISBN 978-0-471-62489-9.OCLC 803318878  .
26. Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002). Introducción al análisis numérico (3.ª ed.). Princeton, NJ: Grabación para ciegos y disléxicos. OCLC  50556273.
27. Wilkins, David (2007). "Sección 6: El sistema de números reales extendido" (PDF) . maths.tcd.ie . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
28. Kifowit, Steven J.; Stamps, Terra A. (2006). "La serie armónica diverge una y otra vez" (PDF) . Revista de la Asociación Americana de Matemáticas de Universidades de Dos Años . 27 (2): 31–43.
29. Spivak 2008, pág. 496
30. Rudin 1976, pág. 61
31. Spivak 2008, págs. 483–486
32. Apostol 1967, págs. 412–414
33. Rudin 1976, pág. 76
34. Spivak 2008, pág. 482
35. Apóstol 1967, págs. 385–386
36. Saff, EB; Snider, Arthur D. (2003). Fundamentos del análisis complejo (3.ª ed.). Pearson Education. págs. 247–249. ISBN 0-13-907874-6.
37. Rudin 1976, pág. 72
38. Rudin 1976, pág. 73
39. Rudin 1976, pág. 74
40. Apóstol 1967, pág. 384
41. Apostol 1967, págs. 403-404
42. Apóstol 1967, pág. 386
43. Apostol 1967, pág. 387
44. Apóstol 1967, pág. 396
45. Gasper, G., Rahman, M. (2004). Series hipergeométricas básicas. Cambridge University Press .
46. Spivak 2008, pág. 473
47. Rudin 1976, pág. 60
48. Apostol 1967, págs. 381, 394–395
49. Spivak 2008, págs. 457, 473–474
50. Rudin 1976, págs. 71-72
51. Apostol 1967, págs. 395-396
52. Spivak 2008, págs. 474-475
53. Apóstol 1967, pág. 396
54. Spivak 2008, págs. 475-476
55. Apostol 1967, págs. 399-401
56. Spivak 2008, págs. 476-478
57. Rudin 1976, pág. 66
58. Spivak 2008, pág. 493
59. Rudin 1976, pág. 65
60. Apostol 1967, págs. 397–398
61. Spivak 2008, págs. 478-479
62. Apostol 1967, págs. 403-404
63. Spivak 2008, pág. 481
64. Rudin 1976, pág. 71
65. Apostol 1967, págs. 413-414
66. Spivak 2008, págs. 482-483
67. Apostol 1967, págs. 407-409
68. Spivak 2008, pág. 495
69. Rudin 1976, pág. 70
70. Spivak 2008, pág. 524
71. Términos positivos y negativos: series alternadas
72. Johansson, F. (2016). Cálculo riguroso de funciones hipergeométricas. Preimpresión arXiv arXiv:1606.06977.
73. Higham, NJ (2008). Funciones de matrices: teoría y cálculo. Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas .
74. Higham, NJ (2009). El método de escalamiento y cuadratura para la matriz exponencial revisitado. SIAM review, 51(4), 747-764.
75. Cómo y cómo no calcular la exponencial de una matriz
76. Nicolas Bourbaki (1989), Álgebra , Springer:§III.2.11.
77. Huggett, Nick (2024), "Las paradojas de Zenón", en Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de primavera de 2024), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 25 de marzo de 2024
78. Snyder, H. (1947), "Espacio-tiempo cuantificado", Physical Review , 67 (1): 38–41, Bibcode :1947PhRv...71...38S, doi :10.1103/PhysRev.71.38.
79. "El desenlace del espacio-tiempo". Revista Quanta . 25 de septiembre de 2024. Consultado el 11 de octubre de 2024 .
80. O'Connor, JJ y Robertson, EF (1996). "Una historia del cálculo". Universidad de St Andrews . Consultado el 7 de agosto de 2007 .
81. Bidwell, James K. (30 de noviembre de 1993). "Arquímedes y Pi: una nueva mirada". School Science and Mathematics . 94 (3). doi :10.1111/j.1949-8594.1994.tb15638.x.
82. "Los indios precedieron al 'descubrimiento' de Newton por 250 años". manchester.ac.uk .
83. Jean Dieudonné, Fundamentos del análisis matemático , Academic Press
84. Bourbaki, Nicolas (1998). Topología general: capítulos 1-4 . Springer. págs. 261-270. ISBN. 978-3-540-64241-1.
85. Choquet, Gustave (1966). Topología . Academic Press. Págs. 216-231. ISBN. 978-0-12-173450-3.
86. Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 8 (2.ª ed.). Nueva York, NY: Springer. págs. 179–180. ISBN 978-1-4612-7155-0.

Referencias

• Apostol, Tom M. (1967) [1961]. Cálculo . Vol. 1 (2.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00005-1.
• Rudin, Walter (1976) [1953]. Principios del análisis matemático (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.OCLC 1502474  .
• Spivak, Michael (2008) [1967]. Cálculo (4.ª ed.). Houston, TX: Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-91-1.

Lectura adicional

• Bromwich, TJ (1926). Introducción a la teoría de series infinitas (2.ª ed.). MacMillan.
• Dvoretzky, Aryeh; Rogers, C. Ambrose (1950). "Convergencia absoluta e incondicional en espacios lineales normados". Proc. Natl. Sci. USA . 36 (3): 192–197. Bibcode :1950PNAS...36..192D. doi : 10.1073/pnas.36.3.192 . PMC  1063182 . PMID  16588972.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos (2.ª ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.
• Swokowski, Earl W. (1983), Cálculo con geometría analítica (edición alternativa), Boston: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 978-0-87150-341-1
• Pietsch, Albrecht (1972). Espacios nucleares localmente convexos . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0.OCLC 539541  .
• Robertson, AP (1973). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge, Inglaterra: University Press. ISBN 0-521-29882-2.
• Rudin, Walter (1964). Principios del análisis matemático (2.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-070-54231-7.
• Ryan, Raymond (2002). Introducción a los productos tensoriales de los espacios de Banach . Londres, Nueva York: Springer. ISBN 1-85233-437-1.OCLC 48092184  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• Trèves, François (1967). Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Nueva York: Academic Press.Reimpreso por Dover, 2006, ISBN 978-0-486-45352-1 . 
• Wong (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6.OCLC 5126158  .

Enlaces externos

• "Serie", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Tutorial de series infinitas
• Serie "Lo básico". Notas de matemáticas en línea de Paul.
• "Colección de series Show-Me" (PDF) . Leslie Green.