Progresión aritmética

secuencia de numeros

Prueba sin palabras de las fórmulas de progresión aritmética utilizando una copia rotada de los bloques.

Una progresión aritmética o secuencia aritmética ( AP ) es una secuencia de números tal que la diferencia entre cualquier término posterior y su término anterior permanece constante a lo largo de la secuencia. La diferencia constante se llama diferencia común de esa progresión aritmética. Por ejemplo, la secuencia 5, 7, 9, 11, 13, 15,. . . es una progresión aritmética con una diferencia común de 2.

Si el término inicial de una progresión aritmética es y la diferencia común de los miembros sucesivos es , entonces el -ésimo término de la secuencia ( ) viene dado por: ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

Una porción finita de una progresión aritmética se llama progresión aritmética finita y, a veces, simplemente se llama progresión aritmética. La suma de una progresión aritmética finita se llama serie aritmética .

Historia

Según una anécdota de confiabilidad incierta, ^[1] el joven Carl Friedrich Gauss , que estaba en la escuela primaria, reinventó la fórmula para sumar los números enteros del 1 al , para el caso , agrupando los números de ambos extremos de la secuencia en pares sumando a 101 y multiplicando por el número de pares. Sin embargo, independientemente de la veracidad de esta historia, Gauss no fue el primero en descubrir esta fórmula, y algunos consideran probable que su origen se remonta a los pitagóricos en el siglo V a.C. ^[2] Arquímedes , Hipsicles y Diofanto conocían reglas similares en la antigüedad ; ^[3] en China a Zhang Qiujian ; en la India a Aryabhata , Brahmagupta y Bhaskara II ; ^[4] y en la Europa medieval a Alcuino , ^[5] Dicuil , ^[6] Fibonacci , ^[7] Sacrobosco ^[8] y a comentaristas anónimos del Talmud conocidos como tosafistas . ^[9] ${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=100}$

Suma

Cálculo de la suma 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Cuando la secuencia se invierte y se suma término por término, la secuencia resultante tiene un único valor repetido, igual a la suma del primer y último número (2 + 14 = 16). Por tanto, 16 × 5 = 80 es el doble de la suma.

La suma de los miembros de una progresión aritmética finita se llama serie aritmética . Por ejemplo, considere la suma:

${\displaystyle 2+5+8+11+14=40}$

Esta suma se puede encontrar rápidamente tomando el número n de términos que se agregan (aquí 5), multiplicando por la suma del primer y último número de la progresión (aquí 2 + 14 = 16) y dividiendo por 2:

${\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$

En el caso anterior, esto da la ecuación:

${\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.}$

Esta fórmula funciona para cualquier número real y . Por ejemplo: este ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.}$

Derivación

Prueba animada de la fórmula que da la suma de los primeros números enteros 1+2+...+n.

Para derivar la fórmula anterior, comience expresando la serie aritmética de dos maneras diferentes:

${\displaystyle S_{n}=a+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{(n-1)}+a_{n}}$

${\displaystyle S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d).}$

Reescribiendo los términos en orden inverso:

${\displaystyle S_{n}=(a+(n-1)d)+(a+(n-2)d)+\dots +(a+2d)+(a+d)+a.}$

Sumando los términos correspondientes de ambos lados de las dos ecuaciones y reduciendo a la mitad ambos lados:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d].}$

Esta fórmula se puede simplificar como:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}[a+a+(n-1)d].\\&={\frac {n}{2}}(a+a_{n}).\\&={\frac {n}{2}}({\text{initial term}}+{\text{last term}}).\end{aligned}}}$

Además, el valor medio de la serie se puede calcular mediante : ${\displaystyle S_{n}/n}$

${\displaystyle {\overline {a}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.}$

La fórmula es muy similar a la media de una distribución uniforme discreta .

Producto

El producto de los miembros de una progresión aritmética finita con un elemento inicial a ₁ , diferencias comunes d y n elementos en total se determina en una expresión cerrada

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)...(a_{1}+(n-1)d)=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$

donde denota la función Gamma . La fórmula no es válida cuando es negativa o cero. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle a_{1}/d}$

Esta es una generalización del hecho de que el producto de la progresión está dado por el factorial y que el producto ${\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n}$ ${\displaystyle n!}$

${\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n}$

para números enteros positivos y está dada por ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}$

Derivación

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)\\&=\prod _{k=0}^{n-1}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+(n-1)\right)\\&=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}\end{aligned}}}$

donde denota el factorial creciente . ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$

Por la fórmula de recurrencia , válida para un número complejo , ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$ ${\displaystyle z>0}$

${\displaystyle \Gamma (z+2)=(z+1)\Gamma (z+1)=(z+1)z\Gamma (z)}$,

${\displaystyle \Gamma (z+3)=(z+2)\Gamma (z+2)=(z+2)(z+1)z\Gamma (z)}$,

de modo que

${\displaystyle {\frac {\Gamma (z+m)}{\Gamma (z)}}=\prod _{k=0}^{m-1}(z+k)}$

para un número entero positivo y un número complejo positivo. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle z}$

Así, si , ${\displaystyle a_{1}/d>0}$

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$,

y finalmente,

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$

Ejemplos

Ejemplo 1

Tomando el ejemplo , el producto de los términos de la progresión aritmética dado hasta el término 50 es ${\displaystyle 3,8,13,18,23,28,\ldots }$ ${\displaystyle a_{n}=3+5(n-1)}$

${\displaystyle P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.}$

Ejemplo 2

El producto de los primeros 10 números impares está dado por ${\displaystyle (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)}$

${\displaystyle 1\cdot 3\cdot 5\cdots 19=\prod _{k=0}^{9}(1+2k)=2^{10}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+10\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}}$= 654.729.075

Desviación Estándar

La desviación estándar de cualquier progresión aritmética se puede calcular como

${\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}$

donde es el número de términos en la progresión y es la diferencia común entre términos. La fórmula es muy similar a la desviación estándar de una distribución uniforme discreta . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$

Intersecciones

La intersección de dos progresiones aritméticas doblemente infinitas cualesquiera es vacía o es otra progresión aritmética, que se puede encontrar utilizando el teorema del resto chino . Si cada par de progresiones de una familia de progresiones aritméticas doblemente infinitas tiene una intersección no vacía, entonces existe un número común a todas ellas; es decir, infinitas progresiones aritméticas forman una familia Helly . ^[10] Sin embargo, la intersección de infinitas progresiones aritméticas infinitas podría ser un solo número en lugar de ser una progresión infinita.

Ver también

• Progresión geométrica
• Progresión armónica
• número triangular
• Secuencia aritmético-geométrica
• Desigualdad de medias aritméticas y geométricas.
• Primos en progresión aritmética
• Ecuación en diferencias lineales
• Progresión aritmética generalizada , es un conjunto de números enteros construidos como una progresión aritmética, pero permitiendo varias diferencias posibles
• Triángulos heronianos con lados en progresión aritmética
• Problemas que involucran progresiones aritméticas.
• Utonalidad
• Polinomios que calculan sumas de potencias de progresiones aritméticas.

Referencias

1. Hayes, Brian (2006). "El día del juicio final de Gauss". Científico americano . 94 (3): 200. doi :10.1511/2006.59.200. Archivado desde el original el 12 de enero de 2012 . Consultado el 16 de octubre de 2020 .
2. Høyrup, J. La "herencia desconocida": rastro de un lugar olvidado de sofisticación matemática. Arco. Historia. Ciencia exacta. 62, 613–654 (2008). https://doi.org/10.1007/s00407-008-0025-y
3. Tropfke, Johannes (1924). Análisis, geometría analítica . Walter de Gruyter. págs. 3-15. ISBN 978-3-11-108062-8.
4. Tropfke, Johannes (1979). Aritmética y Álgebra . Walter de Gruyter. págs. 344–354. ISBN 978-3-11-004893-3.
5. Problemas para agudizar a los jóvenes, John Hadley y David Singmaster, The Mathematical Gazette , 76 , n.º 475 (marzo de 1992), págs.
6. Ross, HE & Knott, BI (2019) Dicuil (siglo IX) sobre números triangulares y cuadrados, Revista Británica de Historia de las Matemáticas , 34:2, 79-94, https://doi.org/10.1080/26375451.2019. 1598687
7. Sigler, Laurence E. (trad.) (2002). El Liber Abaci de Fibonacci . Springer-Verlag. págs. 259–260. ISBN 0-387-95419-8.
8. Katz, Victor J. (editar) (2016). Libro de consulta sobre matemáticas de la Europa medieval y el norte de África . Prensa de la Universidad de Princeton. págs.91, 257. ISBN 9780691156859.
9. Popa, M. (1990). 74.23 Derivación medieval de la suma de una progresión aritmética. La Gaceta Matemática, 74(468), 157-159. doi:10.2307/3619368
10. Duchet, Pierre (1995), "Hypergraphs", en Graham, RL; Grötschel, M .; Lovász, L. (eds.), Manual de combinatoria, vol. 1, 2 , Ámsterdam: Elsevier, págs. 381–432, SEÑOR  1373663. Véase en particular la Sección 2.5, "Propiedad de Helly", págs. 393–394.

enlaces externos

• "Series aritméticas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Progresión aritmética". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Series aritméticas". MundoMatemático .