triangulo entero

Triángulo con longitudes de lados enteras

Un triángulo heroniano con longitudes laterales c , e y b  +  d , y altura a , todos números enteros.

Un triángulo entero o triángulo integral es un triángulo cuyas longitudes de lados son números enteros . Un triángulo racional es aquel cuyas longitudes de lados son números racionales ; cualquier triángulo racional se puede reescalar por el mínimo común denominador de los lados para obtener un triángulo entero similar , por lo que existe una estrecha relación entre los triángulos enteros y los triángulos racionales.

A veces se utilizan otras definiciones del término triángulo racional : Carmichael (1914) y Dickson (1920) usan el término para referirse a un triángulo heroniano (un triángulo con longitudes y áreas de lados integrales o racionales); ^[1] Conway y Guy (1996) definen un triángulo racional como uno con lados racionales y ángulos racionales medidos en grados; los únicos triángulos de este tipo son los triángulos equiláteros de lados racionales . ^[2]

Propiedades generales de un triángulo entero

Triángulos enteros con perímetro dado

Cualquier triple de números enteros positivos puede servir como longitud de los lados de un triángulo entero siempre que satisfaga la desigualdad del triángulo : el lado más largo es más corto que la suma de los otros dos lados. Cada uno de estos triples define un triángulo entero que es único hasta la congruencia . Entonces, el número de triángulos enteros (hasta la congruencia) con perímetro p es el número de particiones de p en tres partes positivas que satisfacen la desigualdad del triángulo. Este es el número entero más cercano a cuando p es par y a cuando p es impar . ^{[3] [4]} También significa que el número de triángulos enteros con perímetros pares es el mismo que el número de triángulos enteros con perímetros impares Por lo tanto no hay un triángulo entero con perímetro 1, 2 o 4, sino uno con perímetro 3 , 5, 6 u 8, y dos con perímetro 7 o 10. La secuencia del número de triángulos enteros con perímetro p , comenzando en es: ${\displaystyle p^{2}/48}$ ${\displaystyle (p+3)^{2}/48}$ ${\displaystyle p=2n}$ ${\displaystyle p=2n-3.}$ ${\displaystyle p=1,}$

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8... (secuencia A005044 en el OEIS )

Esto se llama secuencia de Alcuino .

Triángulos enteros con el lado más grande dado

El número de triángulos enteros (hasta la congruencia) con el lado mayor c dado y un triple entero es el número de triples enteros tales que y Este es el valor entero ^[3] Alternativamente, para c par es el número triangular doble y para c impar es el cuadrado. También significa que el número de triángulos enteros con mayor lado c excede el número de triángulos enteros con mayor lado c − 2 por c . La secuencia del número de triángulos enteros no congruentes con lado mayor c , comenzando en c  = 1, es: ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle a+b>c}$ ${\displaystyle a\leq b\leq c.}$ ${\displaystyle \lceil {\tfrac {1}{2}}(c+1)\rceil \cdot \lfloor {\tfrac {1}{2}}(c+1)\rfloor .}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}c{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}c+1{\bigr )}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(c+1).}$

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90... (secuencia A002620 en el OEIS )

El número de triángulos enteros (hasta la congruencia) con el lado mayor c dado y un triple entero ( a ,  b ,  c ) que se encuentran en o dentro de un semicírculo de diámetro c es el número de triples enteros tales que a  +  b  >  c  ,  a ²  +  segundo ²  ≤  c ² y a  ≤  segundo  ≤  c . Este es también el número de triángulos enteros obtusos o rectángulos (no agudos ) de lados con el lado más grande c . La secuencia que comienza en c  = 1, es:

0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48... (secuencia A236384 en el OEIS )

En consecuencia, la diferencia entre las dos secuencias anteriores da el número de triángulos de lados enteros agudos (hasta la congruencia) con el lado más grande c dado . La secuencia que comienza en c  = 1, es:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52... (secuencia A247588 en el OEIS )

Área de un triángulo entero

Según la fórmula de Heron , si T es el área de un triángulo cuyos lados tienen longitudes a , b y c , entonces

${\displaystyle 4T={\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}.}$

Dado que todos los términos bajo el radical en el lado derecho de la fórmula son números enteros, se deduce que todos los triángulos enteros deben tener un valor entero de 16T ² y T ² serán racionales.

Ángulos de un triángulo entero

Por la ley de los cosenos , todo ángulo de un triángulo entero tiene un coseno racional .

Si los ángulos de cualquier triángulo forman una progresión aritmética , entonces uno de sus ángulos debe medir 60°. ^[5] Para triángulos enteros, los ángulos restantes también deben tener cosenos racionales y a continuación se proporciona un método para generar dichos triángulos. Sin embargo, aparte del caso trivial de un triángulo equilátero, no existen triángulos enteros cuyos ángulos formen una progresión geométrica o armónica . Esto se debe a que tales ángulos tienen que ser ángulos racionales de la forma racional. Pero todos los ángulos de triángulos enteros deben tener cosenos racionales y esto ocurrirá sólo cuando ^{[6] : p.2} es decir, el triángulo entero es equilátero. ${\displaystyle \pi p/q}$ ${\displaystyle 0<p/q<1.}$ ${\displaystyle p/q=1/3.}$

El cuadrado de cada bisectriz del ángulo interno de un triángulo entero es racional, porque la fórmula general del triángulo para la bisectriz interna del ángulo A es donde s es el semiperímetro (y lo mismo para las bisectrices de los otros ángulos). ${\textstyle 2{\sqrt {bcs(s-a)}}{\big /}(b+c)}$

Lado dividido por una altitud

Cualquier altitud caída desde un vértice hacia un lado opuesto o su extensión dividirá ese lado o su extensión en longitudes racionales.

Medianas

El cuadrado del doble de cualquier mediana de un triángulo entero es un número entero, porque la fórmula general para el cuadrado de la mediana m _a ² al lado a es , dando (2 m _a ) ²  = 2 b ²  + 2 c ²  −  a ² (y lo mismo para las medianas hacia los otros lados). ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}$

Circunradio e inradio

Debido a que el cuadrado del área de un triángulo entero es racional, el cuadrado de su circunradio también es racional, al igual que el cuadrado del inradio .

La relación entre el inradio y el circunradio de un triángulo entero es racional y equivale al semiperímetro sy el área T. ${\displaystyle 4T^{2}/sabc}$

El producto del inradio y el circunradio de un triángulo entero es racional, igual a ${\displaystyle abc{\big /}2(a+b+c).}$

Por tanto, la distancia al cuadrado entre el incentro y el circuncentro de un triángulo entero, dada por el teorema de Euler , es racional. ${\displaystyle R^{2}-2Rr}$

Triángulos heronianos

Todos los triángulos heronianos se pueden colocar en una red con cada vértice en un punto de la red. ^[7]

Formula general

Un triángulo de Heron, también conocido como triángulo de Heron o triángulo de Hero , es un triángulo con lados enteros y área entera. Todo triángulo heroniano tiene lados proporcionales a ^[8]

${\displaystyle a=n(m^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle b=m(n^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle c=(m+n)(mn-k^{2})}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=mn(m+n)}$

${\displaystyle {\text{Area}}=mnk(m+n)(mn-k^{2})}$

para números enteros m , n y k sujetos a las restricciones:

${\displaystyle \gcd {(m,n,k)}=1}$

${\displaystyle mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)}$

${\displaystyle m\geq n\geq 1.}$

El factor de proporcionalidad es generalmente racional donde q = mcd ( a , b , c ) reduce el triángulo heroniano generado a su primitivo y aumenta este primitivo al tamaño requerido. ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle p}$

triángulos pitagóricos

Un triángulo pitagórico es rectángulo y heroniano. Sus tres lados enteros se conocen como triplete pitagórico o triplete pitagórico o tríada pitagórica . ^[9] Todas las ternas pitagóricas con hipotenusa que son primitivas (los lados no tienen factor común ) pueden generarse mediante ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\,}$

${\displaystyle b=2mn,\,}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2},\,}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=m(m+n)\,}$

${\displaystyle {\text{Area}}=mn(m^{2}-n^{2})\,}$

donde m y n son enteros coprimos y uno de ellos es par con m  >  n .

Todo número par mayor que 2 puede ser cateto de un triángulo pitagórico (no necesariamente primitivo) porque si el cateto está dado por y elegimos como otro cateto entonces la hipotenusa es . ^[10] Esta es esencialmente la fórmula de generación anterior establecida en 1 y permitiendo un rango de 2 a infinito. ${\displaystyle a=2m}$ ${\displaystyle b=(a/2)^{2}-1=m^{2}-1}$ ${\displaystyle c=m^{2}+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

Triángulos pitagóricos con altura entera desde la hipotenusa

No existen triángulos pitagóricos primitivos con altura entera desde la hipotenusa. Esto se debe a que el doble del área es igual a cualquier base multiplicada por la altura correspondiente: 2 veces el área es igual a ab y cd , donde d es la altura desde la hipotenusa c . Las longitudes de los tres lados de un triángulo primitivo son coprimos, por lo que están en forma completamente reducida; dado que c no puede ser igual a 1 en ningún triángulo pitagórico primitivo, d no puede ser un número entero. ${\displaystyle d=ab/c}$

Sin embargo, cualquier triángulo pitagórico con catetos x ,  y e hipotenusa z puede generar un triángulo pitagórico con una altitud entera, ampliando los lados por la longitud de la hipotenusa z . Si d es la altitud, entonces el triángulo pitagórico generado con altitud entera viene dado por ^[11]

${\displaystyle (a,b,c,d)=(xz,yz,z^{2},xy).\,}$

En consecuencia, todos los triángulos pitagóricos con catetos a y b , hipotenusa c y altura entera d desde la hipotenusa, con , que necesariamente satisfacen tanto a ²  +  b ²  = c ² como , son generados por ^{[12] [11]} ${\displaystyle \gcd(a,b,c,d)=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{a^{2}}}+{\tfrac {1}{b^{2}}}={\tfrac {1}{d^{2}}}}$

${\displaystyle a=(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2}),\,}$

${\displaystyle b=2mn(m^{2}+n^{2}),\,}$

${\displaystyle c=(m^{2}+n^{2})^{2},\,}$

${\displaystyle d=2mn(m^{2}-n^{2}),\,}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=m(m+n)(m^{2}+n^{2})\,}$

${\displaystyle {\text{Area}}=mn(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})^{2}\,}$

para enteros coprimos m , n con m  >  n .

Triángulos heronianos con lados en progresión aritmética

Un triángulo con lados enteros y área entera tiene lados en progresión aritmética si y solo si ^[13] los lados son ( b – d , b , b + d ), donde

${\displaystyle b=2(m^{2}+3n^{2})/g,}$

${\displaystyle d=(m^{2}-3n^{2})/g,}$

y donde g es el máximo común divisor de y ${\displaystyle m^{2}-3n^{2},}$ ${\displaystyle 2mn,}$ ${\displaystyle m^{2}+3n^{2}.}$

Triángulos heronianos con un ángulo igual al doble de otro

Todos los triángulos heronianos con B = 2 A son generados por ^[14] ya sea

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{4}}k^{2}(s^{2}+r^{2})^{2},\\[5mu]b&={\tfrac {1}{2}}k^{2}(s^{4}-r^{4}),\\[5mu]c&={\tfrac {1}{4}}k^{2}(3s^{4}-10s^{2}r^{2}+3r^{4}),\\[5mu]{\text{Area}}&={\tfrac {1}{2}}k^{2}csr(s^{2}-r^{2}),\end{aligned}}}$

con números enteros k , s , r tales que o ${\displaystyle s^{2}>3r^{2},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{4}}q^{2}(u^{2}+v^{2})^{2},\\[5mu]b&=q^{2}uv(u^{2}+v^{2}),\\[5mu]c&={\tfrac {1}{4}}q^{2}(14u^{2}v^{2}-u^{4}-v^{4}),\\[5mu]{\text{Area}}&={\tfrac {1}{2}}q^{2}cuv(v^{2}-u^{2}),\end{aligned}}}$

con números enteros q , u , v tales que y ${\displaystyle v>u}$ ${\displaystyle v^{2}<(7+4{\sqrt {3}})u^{2}.}$

Ningún triángulo heroniano con B = 2 A es isósceles o triángulos rectángulos porque todas las combinaciones de ángulos resultantes generan ángulos con senos no racionales , dando un área o lado no racional.

Triángulos isósceles de Heron

Todos los triángulos isósceles de Heron son descomponibles. Se forman uniendo dos triángulos pitagóricos congruentes a lo largo de cualquiera de sus catetos comunes, de modo que los lados iguales del triángulo isósceles sean las hipotenusas de los triángulos pitagóricos y la base del triángulo isósceles sea el doble del otro cateto pitagórico. En consecuencia, cada triángulo pitagórico es la base de dos triángulos heronianos isósceles, ya que la unión puede realizarse a lo largo de cualquier cateto. Todos los pares de triángulos heronianos isósceles están dados por múltiplos racionales de ^[15]

${\displaystyle a=2(u^{2}-v^{2}),}$

${\displaystyle b=u^{2}+v^{2},}$

${\displaystyle c=u^{2}+v^{2},}$

y

${\displaystyle a=4uv,}$

${\displaystyle b=u^{2}+v^{2},}$

${\displaystyle c=u^{2}+v^{2},}$

para enteros coprimos u y v con u > v y u + v impar.

Triángulos heronianos cuyo perímetro es cuatro veces un número primo

Se ha demostrado que un triángulo heroniano cuyo perímetro es cuatro veces un primo está asociado únicamente con el primo y que el primo es congruente con o módulo . ^{[16] [17]} Es bien sabido que un número primo de este tipo puede dividirse de forma única en números enteros y tales que (ver Números idoneos de Euler ). Además, se ha demostrado que tales triángulos heronianos son primitivos ya que el lado más pequeño del triángulo tiene que ser igual al primo que es un cuarto de su perímetro. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p=m^{2}+2n^{2}}$

En consecuencia, todos los triángulos heronianos primitivos cuyo perímetro es cuatro veces un número primo pueden generarse mediante

${\displaystyle a=m^{2}+2n^{2}}$

${\displaystyle b=m^{2}+4n^{2}}$

${\displaystyle c=2(m^{2}+n^{2})}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=2a=2(m^{2}+2n^{2})}$

${\displaystyle {\text{Area}}=2mn(m^{2}+2n^{2})}$

para números enteros y tales que sean primos. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m^{2}+2n^{2}}$

Además, la factorización del área es prima . Sin embargo, el área de un triángulo heroniano siempre es divisible por . Esto da el resultado de que, aparte de cuándo y cuál, se obtienen todos los demás emparejamientos de y deben ser impares con solo uno de ellos divisible por . ${\displaystyle 2mnp}$ ${\displaystyle p=m^{2}+2n^{2}}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle p=3,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 3}$

Triángulos heronianos con bisectrices de ángulos racionales

Si en un triángulo heroniano la bisectriz del ángulo , la bisectriz del ángulo y la bisectriz del ángulo tienen una relación racional con los tres lados entonces no sólo sino también , y deben ser ángulos heronianos. Es decir, si ambos ángulos y son heronianos , entonces el complemento de , también debe ser un ángulo heroniano, de modo que las tres bisectrices sean racionales. Esto también es evidente si se multiplica: ${\displaystyle w_{a}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle w_{b}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle w_{c}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\beta }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\gamma }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\beta }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\gamma }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha +{\tfrac {1}{2}}\beta }$

${\displaystyle w_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)}}\cdot {\sqrt {bc}}}{b+c}}\quad w_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-b)}}\cdot {\sqrt {ac}}}{a+c}}\quad w_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-c)}}\cdot {\sqrt {ab}}}{a+b}}}$

juntos. Es decir, a través de éste se obtiene:

${\displaystyle w_{a}\cdot w_{b}\cdot w_{c}={\frac {8s\cdot J\cdot a\cdot b\cdot c}{(a+b)(a+c)(b+c)}},}$

donde denota el semiperímetro y el área del triángulo. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle J}$

Todos los triángulos heronianos con bisectrices de ángulos racionales son generados por ^[18]

${\displaystyle a=mn(p^{2}+q^{2})}$

${\displaystyle b=pq(m^{2}+n^{2})}$

${\displaystyle c=(mq+np)(mp-nq)}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=s=(a+b+c)/2=mp(mq+np)}$

${\displaystyle s-a=mq(mp-nq)}$

${\displaystyle s-b=np(mp-nq)}$

${\displaystyle s-c=nq(mq+np)}$

${\displaystyle {\text{Area}}=J=mnpq(mq+np)(mp-nq)}$

donde estan tales que ${\displaystyle m,n,p,q}$

${\displaystyle m=t^{2}-u^{2}}$

${\displaystyle n=2tu}$

${\displaystyle p=v^{2}-w^{2}}$

${\displaystyle q=2vw}$

¿ Dónde están los números enteros arbitrarios tales que ${\displaystyle t,u,v,w}$

${\displaystyle t}$y coprimo, ${\displaystyle u}$

${\displaystyle v}$y coprimo. ${\displaystyle w}$

Triángulos heronianos con números enteros inradius y exradii

Hay infinitos triángulos heronianos (no pitagóricos) primitivos descomponibles e infinitos indescomponibles con radios enteros para el círculo interior y cada círculo exterior . ^{[19] : Thms. 3 y 4} Una familia de unos descomponibles está dada por

${\displaystyle a=4n^{2}}$

${\displaystyle b=(2n+1)(2n^{2}-2n+1)}$

${\displaystyle c=(2n-1)(2n^{2}+2n+1)}$

${\displaystyle r=2n-1}$

${\displaystyle r_{a}=2n+1}$

${\displaystyle r_{b}=2n^{2}}$

${\displaystyle r_{c}={\text{Area}}=2n^{2}(2n-1)(2n+1);}$

y una familia de indescomponibles está dada por

${\displaystyle a=5(5n^{2}+n-1)}$

${\displaystyle b=(5n+3)(5n^{2}-4n+1)}$

${\displaystyle c=(5n-2)(5n^{2}+6n+2)}$

${\displaystyle r=5n-2}$

${\displaystyle r_{a}=5n+3}$

${\displaystyle r_{b}=5n^{2}+n-1}$

${\displaystyle r_{c}={\text{Area}}=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1).}$

Triángulos heronianos como caras de un tetraedro

Existen tetraedros que tienen volumen de valores enteros y triángulos de Heron como caras . Un ejemplo tiene un borde de 896, el borde opuesto de 190 y los otros cuatro bordes de 1073; dos caras tienen áreas de 436800 y las otras dos tienen áreas de 47120, mientras que el volumen es 62092800. ^{[9] : p.107}

Triángulos heronianos en una red 2D

Una red 2D es una matriz regular de puntos aislados donde, si se elige un punto como origen cartesiano (0, 0), todos los demás puntos están en ( x, y ), donde x e y abarcan todos los números enteros positivos y negativos. . Un triángulo reticular es cualquier triángulo dibujado dentro de una red 2D de manera que todos los vértices se encuentran en puntos de la red. Según el teorema de Pick, un triángulo reticular tiene un área racional que es un número entero o un medio entero (tiene un denominador de 2). Si el triángulo reticular tiene lados enteros, entonces es heroniano con área entera. ^[20]

Además, se ha demostrado que todos los triángulos heronianos se pueden dibujar como triángulos reticulares. ^{[21] [22]} En consecuencia, un triángulo entero es heroniano si y sólo si se puede dibujar como un triángulo reticular.

Hay infinitos triángulos heronianos (no pitagóricos) primitivos que se pueden colocar en una red de números enteros con todos los vértices, el incentro y los tres excentros en puntos de la red. Dos familias de tales triángulos son las que tienen las parametrizaciones dadas anteriormente en los triángulos #Heronianos con radios enteros y exradios. ^{[19] : Thm. 5}

Triángulos automedianos enteros

Un triángulo automediano es aquel cuyas medianas están en las mismas proporciones (en orden opuesto) que los lados. Si x , y y z son los tres lados de un triángulo rectángulo, ordenados en orden creciente por tamaño, y si 2 x  <  z , entonces z , x  +  y e y  −  x son los tres lados de un triángulo automediano. Por ejemplo, el triángulo rectángulo con lados de longitud 5, 12 y 13 se puede usar de esta manera para formar el triángulo automediano entero no trivial (es decir, no equilátero) más pequeño, con lados de longitud 13, 17 y 7. ^{[ 23]}

En consecuencia, utilizando la fórmula de Euclides , que genera triángulos pitagóricos primitivos, es posible generar triángulos automedianos enteros primitivos como

${\displaystyle a=|m^{2}-2mn-n^{2}|}$

${\displaystyle b=m^{2}+2mn-n^{2}}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2}}$

con y coprimo e impar, y   (si la cantidad dentro de los signos   del valor absoluto es negativa) o (si esa cantidad es positiva) para satisfacer la desigualdad del triángulo . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle n<m<n{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle m>(2+{\sqrt {3}})n}$

Una característica importante del triángulo automediano es que los cuadrados de sus lados forman una progresión aritmética . Específicamente, entonces ${\displaystyle c^{2}-a^{2}=b^{2}-c^{2}}$ ${\displaystyle 2c^{2}=a^{2}+b^{2}.}$

Triángulos enteros con propiedades de ángulo específicas

Triángulos enteros con bisectriz de ángulo racional

Una familia de triángulos con lados enteros y con bisectriz racional del ángulo A viene dada por ^[24] ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle a=2(k^{2}-m^{2}),}$

${\displaystyle b=(k-m)^{2},}$

${\displaystyle c=(k+m)^{2},}$

${\displaystyle d={\frac {2km(k^{2}-m^{2})}{k^{2}+m^{2}}},}$

con números enteros . ${\displaystyle k>m>0}$

Triángulos enteros con n sectores enteros de todos los ángulos

Existen infinitos triángulos no semejantes en los que los tres lados y las bisectrices de cada uno de los tres ángulos son números enteros. ^[25]

Existen infinitos triángulos no semejantes en los que los tres lados y los dos trisectores de cada uno de los tres ángulos son números enteros. ^[25]

Sin embargo, para n > 3 no existen triángulos en los que los tres lados y los ( n  – 1) n -sectores de cada uno de los tres ángulos sean números enteros. ^[25]

Triángulos enteros con un ángulo con un coseno racional dado

Algunos triángulos enteros con un ángulo en el vértice A que tienen el coseno racional h / k ( h < 0 o > 0; k > 0) están dados por ^[26]

${\displaystyle a=p^{2}-2pqh+q^{2}k^{2},}$

${\displaystyle b=p^{2}-q^{2}k^{2},}$

${\displaystyle c=2qk(p-qh),}$

donde p y q son enteros positivos coprimos tales que p > qk .

Triángulos enteros con un ángulo de 60° (ángulos en progresión aritmética)

Todos los triángulos enteros con un ángulo de 60° tienen sus ángulos en progresión aritmética. Todos estos triángulos son proporcionales a: ^[5]

${\displaystyle a=4mn,}$

${\displaystyle b=3m^{2}+n^{2},}$

${\displaystyle c=2mn+|3m^{2}-n^{2}|}$

con enteros coprimos m , n y 1 ≤  n ≤  mo  3 m  ≤  n . A partir de aquí, todas las soluciones primitivas se pueden obtener dividiendo a , b y c por su máximo común divisor.

También se pueden generar triángulos enteros con un ángulo de 60° mediante ^[27]

${\displaystyle a=m^{2}-mn+n^{2},}$

${\displaystyle b=2mn-n^{2},}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},}$

con enteros coprimos m , n con 0 <  n  <  m (el ángulo de 60° es opuesto al lado de longitud a ). A partir de aquí, todas las soluciones primitivas se pueden obtener dividiendo a , b y c por su máximo común divisor (por ejemplo, una solución de triángulo equilátero se obtiene tomando m = 2 y n = 1 , pero esto produce a = b = c = 3 , que no es una solución primitiva). Véase también ^{[28] [29]}

Más precisamente, si , entonces , de lo contrario . Dos parejas diferentes y generan el mismo triple. Desafortunadamente, los dos pares pueden tener un mcd de 3, por lo que no podemos evitar duplicados simplemente omitiendo ese caso. En cambio, se pueden evitar duplicados yendo solo hasta . Aún necesitamos dividir por 3 si el mcd es 3. La única solución bajo las restricciones anteriores es para . Con esta restricción adicional, todos los triples se pueden generar de forma única. ${\displaystyle m\equiv -n\!{\pmod {3}}}$ ${\displaystyle \gcd(a,b,c)=3}$ ${\displaystyle \gcd(a,b,c)=1}$ ${\displaystyle (m,n)}$ ${\displaystyle (m,m-n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m/2}$ ${\displaystyle n=m/2}$ ${\displaystyle (3,3,3)\equiv (1,1,1)}$ ${\displaystyle m=2,n=1}$ ${\displaystyle n\leq m/2}$

Un triple de Eisenstein es un conjunto de números enteros que son las longitudes de los lados de un triángulo donde uno de los ángulos mide 60 grados.

Triángulos enteros con un ángulo de 120°

Se pueden generar triángulos enteros con un ángulo de 120° mediante ^[30]

${\displaystyle a=m^{2}+mn+n^{2},}$

${\displaystyle b=2mn+n^{2},}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},}$

con enteros coprimos m ,  n con 0 <  n  <  m (el ángulo de 120° es opuesto al lado de longitud a ). A partir de aquí, todas las soluciones primitivas se pueden obtener dividiendo a , b y c por su máximo común divisor. La solución más pequeña, para m = 2 y n = 1, es el triángulo de lados (3,5,7). Ver también. ^{[28] [29]}

Más precisamente, si , entonces , de lo contrario . Dado que el lado mayor a sólo se puede generar con un solo par, cada triplete primitivo se puede generar precisamente de dos maneras: una vez directamente con un mcd de 1 y otra indirectamente con un mcd de 3. Por lo tanto, para generar todos los primitivos se triplica de forma única, uno puede simplemente agregar una condición adicional. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle m\equiv n\!{\pmod {3}}}$ ${\displaystyle \gcd(a,b,c)=3}$ ${\displaystyle \gcd(a,b,c)=1}$ ${\displaystyle (m,n)}$ ${\displaystyle m\not \equiv n\!{\pmod {3}}}$

Triángulos enteros con un ángulo igual a un número racional arbitrario multiplicado por otro ángulo

Para enteros coprimos positivos h y k , el triángulo con los siguientes lados tiene ángulos , y , por lo tanto, dos ángulos en la proporción h  : k , y sus lados son números enteros: ^[31] ${\displaystyle h\alpha }$ ${\displaystyle k\alpha }$ ${\displaystyle \pi -(h+k)\alpha }$

${\displaystyle a=q^{h+k-1}{\frac {\sin h\alpha }{\sin \alpha }}=q^{k}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {h-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h}{2i+1}}p^{h-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle b=q^{h+k-1}{\frac {\sin k\alpha }{\sin \alpha }}=q^{h}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {k}{2i+1}}p^{k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle c=q^{h+k-1}{\frac {\sin(h+k)\alpha }{\sin \alpha }}=\sum _{0\leq i\leq {\frac {h+k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h+k}{2i+1}}p^{h+k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

donde y p y q son números enteros coprimos tales que . ${\displaystyle \alpha =\cos ^{-1}\!{\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{h+k}}<{\frac {p}{q}}<1}$

Triángulos enteros con un ángulo igual al doble de otro

Con el ángulo A en el lado opuesto y el ángulo B en el lado opuesto , algunos triángulos con B  = 2 A se generan mediante ^[32] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a=n^{2},}$

${\displaystyle b=mn,}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},}$

con números enteros m , n tales que 0 <  n  <  m  < 2 n .

Todos los triángulos con B  = 2 A (ya sean enteros o no) satisfacen ^[33] ${\displaystyle a(a+c)=b^{2}.}$

Triángulos enteros con un ángulo igual a 3/2 veces otro

La clase de equivalencia de triángulos similares se genera mediante ^[32] ${\displaystyle B={\tfrac {3}{2}}A}$

${\displaystyle a=mn^{3},}$

${\displaystyle b=n^{2}(m^{2}-n^{2}),}$

${\displaystyle c=(m^{2}-n^{2})^{2}-m^{2}n^{2},}$

con números enteros tales que , donde está la proporción áurea . ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle 0<\varphi n<m<2n}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}\approx 1.61803}$

Todos los triángulos con (ya sean lados enteros o no) satisfacen ${\displaystyle B={\tfrac {3}{2}}A}$ ${\displaystyle (b^{2}-a^{2})(b^{2}-a^{2}+bc)=a^{2}c^{2}.}$

Triangulos enteros con un angulo multiplicado por tres

Podemos generar la clase de equivalencia completa de triángulos similares que satisfacen B  = 3 A usando las fórmulas ^[34]

${\displaystyle a=n^{3},\,}$

${\displaystyle b=n(m^{2}-n^{2}),\,}$

${\displaystyle c=m(m^{2}-2n^{2}),\,}$

donde y son números enteros tales que . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}n<m<2n}$

Todos los triángulos con B = 3 A (ya sean de lados enteros o no) satisfacen ${\displaystyle ac^{2}=(b-a)^{2}(b+a).}$

Triángulos enteros con tres ángulos racionales.

El único triángulo entero con tres ángulos racionales (números racionales de grados, o fracciones equivalentemente racionales de una vuelta completa) es el triángulo equilátero . ^[2] Esto se debe a que los lados enteros implican tres cosenos racionales según la ley de los cosenos , y según el teorema de Niven, un coseno racional coincide con un ángulo racional si y sólo si el coseno es igual a 0, ±1/2 o ±1. Los únicos que dan un ángulo estrictamente entre 0° y 180° son el valor del coseno 1/2 con el ángulo de 60°, el valor del coseno –1/2 con el ángulo de 120° y el valor del coseno 0 con el ángulo de 90°. °. La única combinación de tres de estos, que permite el uso múltiple de cualquiera de ellos y que suman 180°, es tres ángulos de 60°.

Triángulos enteros con relación entera de circunradio a inradio

Las condiciones se conocen en términos de curvas elípticas para que un triángulo entero tenga una relación entera N del circunradio al inradio . ^{[35] [36]} El caso más pequeño, el del triángulo equilátero , tiene N = 2. En todo caso conocido, – es decir, es divisible por 8. ${\displaystyle N\equiv 2\!{\pmod {8}}}$ ${\displaystyle N-2}$

5-Con pares de triángulos

Un par de triángulos 5-Con es un par de triángulos que son similares pero no congruentes y que comparten tres ángulos y dos longitudes de lados. Los triángulos enteros primitivos 5-Con, en los que los cuatro lados enteros distintos (dos lados que aparecen cada uno en ambos triángulos y un otro lado en cada triángulo) no comparten ningún factor primo, tienen triples de lados

${\displaystyle (x^{3},x^{2}y,xy^{2})}$y ${\displaystyle (x^{2}y,xy^{2},y^{3})}$

para enteros coprimos positivos x e y . El ejemplo más pequeño es el par (8, 12, 18), (12, 18, 27), generado por x = 2, y = 3.

Triángulos enteros particulares

• El único triángulo con números enteros consecutivos para lados y área tiene lados (3, 4, 5) y área 6.
• El único triángulo con números enteros consecutivos para una altura y los lados tiene lados (13, 14, 15) y la altura del lado 14 es igual a 12.
• El triángulo (2, 3, 4) y sus múltiplos son los únicos triángulos con lados enteros en progresión aritmética y que tienen la propiedad del ángulo exterior complementario. ^{[37] [38] [39]} Esta propiedad establece que si el ángulo C es obtuso y si se deja caer un segmento desde B que se encuentra perpendicularmente con AC extendido en P, entonces ∠CAB=2∠CBP.
• El triángulo (3, 4, 5) y sus múltiplos son los únicos triángulos rectángulos enteros que tienen lados en progresión aritmética. ^[39]
• El triángulo (4, 5, 6) y sus múltiplos son los únicos triángulos en los que un ángulo es el doble de otro y tienen lados enteros en progresión aritmética. ^[39]
• El triángulo (3, 5, 7) y sus múltiplos son los únicos triángulos con un ángulo de 120° y que tienen lados enteros en progresión aritmética. ^[39]
• El único triángulo entero con área = semiperímetro ^[40] tiene lados (3, 4, 5).
• Los únicos triángulos enteros con área = perímetro tienen lados ^{[40] [41]} (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20) y ( 9, 10, 17). De ellos, los dos primeros, pero no los tres últimos, son triángulos rectángulos.
• Existen triángulos enteros con tres medianas racionales . ^{[9] : pág. 64} El más pequeño tiene lados (68, 85, 87). Otros incluyen (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) y (327, 386, 409).
• No existen triángulos pitagóricos isósceles. ^[15]
• Los únicos triángulos pitagóricos primitivos para los cuales el cuadrado del perímetro es igual a un múltiplo entero del área son (3, 4, 5) con perímetro 12 y área 6 y con una relación entre el perímetro al cuadrado y el área de 24; (5, 12, 13) con perímetro 30 y área 30 y con una relación entre el perímetro al cuadrado y el área de 30; y (9, 40, 41) con perímetro 90 y área 180 y con una relación entre el perímetro al cuadrado y el área de 45. ^[42]
• Existe un par único (hasta por similitud) de un triángulo rectángulo racional y un triángulo isósceles racional que tienen el mismo perímetro y la misma área. El par único consta del triángulo (377, 135, 352) y el triángulo (366, 366, 132). ^[43] No existe un par de tales triángulos si también se requiere que los triángulos sean triángulos integrales primitivos. ^[43] Los autores subrayan el hecho sorprendente de que la segunda afirmación puede demostrarse mediante una argumentación elemental (lo hacen en su apéndice A), mientras que la primera afirmación necesita matemáticas modernas y nada triviales.

Ver también

• Pentágono de Robbins , un pentágono cíclico con lados enteros y área entera
• Ladrillo de Euler , un cuboide con aristas enteras y diagonales de caras enteras
• Tetraedro § Tetraedros enteros

Referencias

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