Criterio sobre convergencia de series.
En matemáticas , la prueba M de Weierstrass es una prueba para determinar si una serie infinita de funciones converge de manera uniforme y absoluta . Se aplica a series cuyos términos son funciones acotadas con valores reales o complejos , y es análoga a la prueba de comparación para determinar la convergencia de series de números reales o complejos. Lleva el nombre del matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897).
Declaración
Prueba M de Weierstrass.
Supongamos que ( f n ) es una secuencia de funciones con valores reales o complejos definidas en un conjunto A , y que hay una secuencia de números no negativos ( M n ) que satisfacen las condiciones
para todos y todas , y![{\displaystyle n\geq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\en A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
converge.
Entonces la serie
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
converge absoluta y uniformemente en A .
Una serie que satisface la hipótesis se llama normalmente convergente . El resultado se utiliza a menudo en combinación con el teorema del límite uniforme . Juntos dicen que si, además de las condiciones anteriores, el conjunto A es un espacio topológico y las funciones f n son continuas en A , entonces la serie converge a una función continua.
Prueba
Considere la secuencia de funciones.
![{\displaystyle S_{n}(x)=\sum _ {k=1}^{n}f_{k}(x).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Dado que la serie converge y M n ≥ 0 para cada n , entonces por el criterio de Cauchy ,![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0:\exists N:\forall m>n>N:\sum _ {k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para el N elegido ,
![{\displaystyle \forall x\in A:\forall m>n>N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{m}f_{k}(x)\ derecha|{\overset {(1)}{\leq }}\sum _{k=n+1}^{m}|f_{k}(x)|\leq \sum _{k=n+1} ^{m}M_{k}<\varepsilon .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(La desigualdad (1) se deriva de la desigualdad triangular .)
La secuencia S n ( x ) es, por tanto, una secuencia de Cauchy en R o C y, por completitud , converge a algún número S ( x ) que depende de x . Para n > N podemos escribir
![{\displaystyle \left|S(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\lim _{m\to \infty }S_{m}(x)-S_{n}(x) \right|=\lim _{m\to \infty }\left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|\leq \varepsilon .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Dado que N no depende de x , esto significa que la secuencia S n de sumas parciales converge uniformemente a la función S. Por tanto, por definición, la serie converge uniformemente.![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De manera análoga, se puede demostrar que converge uniformemente.![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|f_{k}(x)|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Generalización
Una versión más general de la prueba M de Weierstrass se cumple si el codominio común de las funciones ( f n ) es un espacio de Banach , en cuyo caso la premisa
![{\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
será reemplazado por
,
¿Dónde está la norma en el espacio de Banach? Para ver un ejemplo del uso de esta prueba en un espacio de Banach, consulte el artículo Derivada de Fréchet .![{\displaystyle \|\cdot \|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
- Rudin, Walter (mayo de 1986). Análisis Real y Complejo . McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas. ISBN 0-07-054234-1.
- Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas.
- Whittaker, et al ; Watson, GN (1927). Un curso de análisis moderno (Cuarta ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 49.