En matemáticas , el potencial newtoniano o potencial de Newton es un operador en cálculo vectorial que actúa como el inverso del laplaciano negativo , en funciones que son suaves y decaen lo suficientemente rápido en el infinito. Como tal, es un objeto fundamental de estudio en la teoría del potencial . En su naturaleza general, es un operador integral singular , definido por convolución con una función que tiene una singularidad matemática en el origen, el núcleo newtoniano que es la solución fundamental de la ecuación de Laplace . Recibe su nombre de Isaac Newton , quien lo descubrió por primera vez y demostró que era una función armónica en el caso especial de tres variables , donde sirvió como el potencial gravitatorio fundamental en la ley de gravitación universal de Newton . En la teoría del potencial moderna, el potencial newtoniano se considera en cambio como un potencial electrostático .
El potencial newtoniano de una función integrable con soporte compacto se define como la convolución donde el núcleo newtoniano en dimensión se define por
Aquí ω d es el volumen de la unidad d -bola (a veces las convenciones de signos pueden variar; compare (Evans 1998) y (Gilbarg y Trudinger 1983)). Por ejemplo, para tenemos
El potencial newtoniano w de f es una solución de la ecuación de Poisson , es decir, la operación de tomar el potencial newtoniano de una función es una inversa parcial del operador de Laplace. Entonces w será una solución clásica, que es dos veces diferenciable, si f está acotada y es localmente continua en el sentido de Hölder , como lo demostró Otto Hölder . Era una cuestión abierta si la continuidad por sí sola también es suficiente. Henrik Petrini demostró que esto era incorrecto al dar un ejemplo de una f continua para la cual w no es dos veces diferenciable. La solución no es única, ya que la adición de cualquier función armónica a w no afectará la ecuación. Este hecho se puede utilizar para demostrar la existencia y unicidad de soluciones al problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson en dominios adecuadamente regulares y para funciones f adecuadamente bien comportadas : primero se aplica un potencial newtoniano para obtener una solución y luego se ajusta agregando una función armónica para obtener los datos de contorno correctos.
El potencial newtoniano se define de manera más amplia como la convolución cuando μ es una medida de Radon con soporte compacto . Satisface la ecuación de Poisson en el sentido de distribuciones . Además, cuando la medida es positiva , el potencial newtoniano es subarmónico en Rd .
Si f es una función continua con soporte compacto (o, más generalmente, una medida finita) que es rotacionalmente invariante , entonces la convolución de f con Γ satisface para x fuera del soporte de f
En la dimensión d = 3, esto se reduce al teorema de Newton de que la energía potencial de una masa pequeña fuera de una distribución de masa esféricamente simétrica mucho más grande es la misma que si toda la masa del objeto más grande estuviera concentrada en su centro.
Cuando la medida μ está asociada a una distribución de masa en una hipersuperficie suficientemente lisa S (una superficie de Lyapunov de clase Hölder C 1,α ) que divide R d en dos regiones D + y D − , entonces el potencial newtoniano de μ se denomina potencial de capa simple . Los potenciales de capa simples son continuos y resuelven la ecuación de Laplace excepto en S . Aparecen de forma natural en el estudio de la electrostática en el contexto del potencial electrostático asociado a una distribución de carga en una superficie cerrada. Si d μ = f d H es el producto de una función continua en S con la medida de Hausdorff ( d − 1)-dimensional , entonces en un punto y de S , la derivada normal sufre una discontinuidad de salto f ( y ) al cruzar la capa. Además, la derivada normal de w es una función continua bien definida en S . Esto hace que las capas simples sean particularmente adecuadas para el estudio del problema de Neumann para la ecuación de Laplace.
