Integración por partes

Método matemático en cálculo

En cálculo , y más generalmente en análisis matemático , la integración por partes o integración parcial es un proceso que encuentra la integral de un producto de funciones en términos de la integral del producto de su derivada y antiderivada . Se utiliza con frecuencia para transformar la antiderivada de un producto de funciones en una antiderivada para la que se puede encontrar una solución más fácilmente. La regla puede considerarse como una versión integral de la regla del producto de la diferenciación ; de hecho, se deriva utilizando la regla del producto.

La fórmula de integración por partes establece: $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

O bien, dejando y mientras y la fórmula se puede escribir de forma más compacta: ${\displaystyle u=u(x)}$ ${\displaystyle du=u'(x)\,dx}$ ${\displaystyle v=v(x)}$ ${\displaystyle dv=v'(x)\,dx,}$ $${\displaystyle \int u\,dv\ =\ uv-\int v\,du.}$$

La primera expresión se escribe como una integral definida y la segunda como una integral indefinida. La aplicación de los límites apropiados a la segunda expresión debería dar como resultado la primera, pero la segunda no es necesariamente equivalente a la primera.

El matemático Brook Taylor descubrió la integración por partes y publicó por primera vez la idea en 1715. ^{[1] [2]} Existen formulaciones más generales de la integración por partes para las integrales de Riemann-Stieltjes y Lebesgue-Stieltjes . El análogo discreto para las secuencias se denomina suma por partes .

Teorema

Producto de dos funciones

El teorema se puede derivar de la siguiente manera. Para dos funciones continuamente diferenciables y , la regla del producto establece: ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle v(x)}$

$${\displaystyle {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).}$$

Integrando ambos lados con respecto a , ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \int {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\,dx=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}$$

y observando que una integral indefinida es una antiderivada se obtiene

$${\displaystyle u(x)v(x)=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}$$

donde no se escribe la constante de integración . Esto da como resultado la fórmula de integración por partes :

$${\displaystyle \int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx,}$$

o en términos de los diferenciales , ${\displaystyle du=u'(x)\,dx}$ ${\displaystyle dv=v'(x)\,dx,\quad }$

$${\displaystyle \int u(x)\,dv=u(x)v(x)-\int v(x)\,du.}$$

Esto debe entenderse como una igualdad de funciones con una constante no especificada añadida a cada lado. Tomando la diferencia de cada lado entre dos valores y y aplicando el teorema fundamental del cálculo se obtiene la versión integral definida: La integral original contiene la derivada v' ; para aplicar el teorema, uno debe encontrar v , la antiderivada de v' , luego evaluar la integral resultante ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle x=b}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.}$$ ${\displaystyle \int uv'\,dx}$ ${\displaystyle \int vu'\,dx.}$

Validez para funciones menos suaves

No es necesario que y sea continuamente diferenciable. La integración por partes funciona si es absolutamente continua y la función designada es integrable según Lebesgue (pero no necesariamente continua). ^[3] (Si tiene un punto de discontinuidad, entonces su antiderivada puede no tener derivada en ese punto). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle v}$

Si el intervalo de integración no es compacto , entonces no es necesario que sea absolutamente continua en todo el intervalo ni que sea integrable según Lebesgue en el intervalo, como lo demostrarán un par de ejemplos (en los que y son continuas y continuamente diferenciables). Por ejemplo, si ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle u(x)=e^{x}/x^{2},\,v'(x)=e^{-x}}$$

${\displaystyle u}$no es absolutamente continua en el intervalo [1, ∞) , pero sin embargo:

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}$$

siempre que se tome como el límite de como y siempre que los dos términos del lado derecho sean finitos. Esto solo es cierto si elegimos De manera similar, si ${\displaystyle \left[u(x)v(x)\right]_{1}^{\infty }}$ ${\displaystyle u(L)v(L)-u(1)v(1)}$ ${\displaystyle L\to \infty }$ ${\displaystyle v(x)=-e^{-x}.}$

$${\displaystyle u(x)=e^{-x},\,v'(x)=x^{-1}\sin(x)}$$

${\displaystyle v'}$no es integrable según Lebesgue en el intervalo [1, ∞) , pero sin embargo

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}$$con la misma interpretación.

También se pueden encontrar fácilmente ejemplos similares en los que y no son continuamente diferenciables. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

Además, si es una función de variación acotada en el segmento y es diferenciable en entonces ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle [a,b],}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }{\widetilde {\varphi }}(x)\,d({\widetilde {\chi }}_{[a,b]}(x){\widetilde {f}}(x)),}$$

donde denota la medida con signo correspondiente a la función de variación acotada , y las funciones son extensiones de a las cuales son respectivamente de variación acotada y diferenciables. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle d(\chi _{[a,b]}(x){\widetilde {f}}(x))}$ ${\displaystyle \chi _{[a,b]}(x)f(x)}$ ${\displaystyle {\widetilde {f}},{\widetilde {\varphi }}}$ ${\displaystyle f,\varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Producto de muchas funciones

Integrando la regla del producto para tres funciones multiplicadas, , , , se obtiene un resultado similar: ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle v(x)}$ ${\displaystyle w(x)}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}uv\,dw\ =\ {\Big [}uvw{\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}uw\,dv-\int _{a}^{b}vw\,du.}$$

En general, para los factores ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right)'\ =\ \sum _{j=1}^{n}u_{j}'(x)\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x),}$$

Lo que conduce a

$${\displaystyle \left[\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right]_{a}^{b}\ =\ \sum _{j=1}^{n}\int _{a}^{b}u_{j}'(x)\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x).}$$

Visualización

Interpretación gráfica del teorema. La curva representada está parametrizada por la variable t.

Consideremos una curva paramétrica . Suponiendo que la curva es localmente biunívoca e integrable , podemos definir ${\displaystyle (x,y)=(f(t),g(t))}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x(y)&=f(g^{-1}(y))\\y(x)&=g(f^{-1}(x))\end{aligned}}}$$

El área de la región azul es

$${\displaystyle A_{1}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)\,dy}$$

De manera similar, el área de la región roja es $${\displaystyle A_{2}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)\,dx}$$

El área total A ₁ + A ₂ es igual al área del rectángulo más grande, x ₂ y ₂ , menos el área del más pequeño, x ₁ y ₁ :

$${\displaystyle \overbrace {\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)\,dy} ^{A_{1}}+\overbrace {\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)\,dx} ^{A_{2}}\ =\ {\biggl .}x\cdot y(x){\biggl |}_{x_{1}}^{x_{2}}\ =\ {\biggl .}y\cdot x(y){\biggl |}_{y_{1}}^{y_{2}}}$$O, en términos de t , o, en términos de integrales indefinidas, esto se puede escribir como Reordenando: Por lo tanto, la integración por partes puede considerarse como la derivación del área de la región azul del área de los rectángulos y la de la región roja. $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}x(t)\,dy(t)+\int _{t_{1}}^{t_{2}}y(t)\,dx(t)\ =\ {\biggl .}x(t)y(t){\biggl |}_{t_{1}}^{t_{2}}}$$ $${\displaystyle \int x\,dy+\int y\,dx\ =\ xy}$$ $${\displaystyle \int x\,dy\ =\ xy-\int y\,dx}$$

Esta visualización también explica por qué la integración por partes puede ayudar a encontrar la integral de una función inversa f ⁻¹ ( x ) cuando se conoce la integral de la función f ( x ). De hecho, las funciones x ( y ) e y ( x ) son inversas, y la integral ∫ x  dy se puede calcular como se indicó anteriormente a partir de conocer la integral ∫ y  dx . En particular, esto explica el uso de la integración por partes para integrar funciones logarítmicas y trigonométricas inversas . De hecho, si es una función uno a uno diferenciable en un intervalo, entonces la integración por partes se puede utilizar para derivar una fórmula para la integral de en términos de la integral de . Esto se demuestra en el artículo, Integral de funciones inversas . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

Aplicaciones

Encontrar antiderivadas

La integración por partes es un proceso heurístico más que puramente mecánico para resolver integrales; dada una única función para integrar, la estrategia típica es separar cuidadosamente esta única función en un producto de dos funciones u ( x ) v ( x ) de manera que la integral residual de la fórmula de integración por partes sea más fácil de evaluar que la función única. La siguiente forma es útil para ilustrar la mejor estrategia a adoptar:

$${\displaystyle \int uv\,dx=u\int v\,dx-\int \left(u'\int v\,dx\right)\,dx.}$$

En el lado derecho, u está diferenciada y v está integrada; por lo tanto, es útil elegir u como una función que se simplifica cuando se diferencia, o elegir v como una función que se simplifica cuando se integra. Como ejemplo simple, considere:

$${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx\,.}$$

Dado que la derivada de ln( x ) es ⁠1/incógnita⁠ , se hace (ln( x )) parte u ; ya que la antiderivada de ⁠1/x2^​⁠ es − ⁠1/incógnita⁠ , uno hace ⁠1/x2^​⁠ parte v . La fórmula ahora da:

$${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx=-{\frac {\ln(x)}{x}}-\int {\biggl (}{\frac {1}{x}}{\biggr )}{\biggl (}-{\frac {1}{x}}{\biggr )}\,dx\,.}$$

La antiderivada de − ⁠1/x2^​⁠ se puede encontrar con la regla de potencia y es ⁠1/incógnita⁠ .

Alternativamente, se pueden elegir u y v de manera que el producto u ′ (∫ v  dx ) se simplifique debido a la cancelación. Por ejemplo, supongamos que se desea integrar:

$${\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\,dx.}$$

Si elegimos u ( x ) = ln(|sin( x )|) y v ( x ) = sec ² x, entonces u se diferencia a usando la regla de la cadena y v se integra a tan x ; por lo que la fórmula da: ${\displaystyle {\frac {1}{\tan x}}}$

$${\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\,dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}\,dx\ .}$$

El integrando se simplifica a 1, por lo que la antiderivada es x . Encontrar una combinación simplificadora suele implicar experimentación.

En algunas aplicaciones, puede que no sea necesario garantizar que la integral producida por la integración por partes tenga una forma simple; por ejemplo, en el análisis numérico , puede ser suficiente que tenga una magnitud pequeña y, por lo tanto, contribuya solo con un pequeño término de error. En los ejemplos siguientes se muestran otras técnicas especiales.

Polinomios y funciones trigonométricas

Para calcular

$${\displaystyle I=\int x\cos(x)\,dx\,,}$$

dejar: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&=x\ &\Rightarrow \ &&du&=dx\\dv&=\cos(x)\,dx\ &\Rightarrow \ &&v&=\int \cos(x)\,dx=\sin(x)\end{alignedat}}}$$

entonces:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x)\,dx&=\int u\ dv\\&=u\cdot v-\int v\,du\\&=x\sin(x)-\int \sin(x)\,dx\\&=x\sin(x)+\cos(x)+C,\end{aligned}}}$$

donde C es una constante de integración .

Para mayores poderes en la forma ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \int x^{n}e^{x}\,dx,\ \int x^{n}\sin(x)\,dx,\ \int x^{n}\cos(x)\,dx\,,}$$

El uso repetido de la integración por partes permite evaluar integrales como estas; cada aplicación del teorema reduce la potencia de en uno. ${\displaystyle x}$

Funciones exponenciales y trigonométricas

Un ejemplo comúnmente utilizado para examinar el funcionamiento de la integración por partes es

$${\displaystyle I=\int e^{x}\cos(x)\,dx.}$$

Aquí, la integración por partes se realiza dos veces. Primero, sea

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&=\cos(x)\ &\Rightarrow \ &&du&=-\sin(x)\,dx\\dv&=e^{x}\,dx\ &\Rightarrow \ &&v&=\int e^{x}\,dx=e^{x}\end{alignedat}}}$$

entonces:

$${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)\,dx.}$$

Ahora, para evaluar la integral restante, utilizamos nuevamente la integración por partes, con:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&=\sin(x)\ &\Rightarrow \ &&du&=\cos(x)\,dx\\dv&=e^{x}\,dx\,&\Rightarrow \ &&v&=\int e^{x}\,dx=e^{x}.\end{alignedat}}}$$

Entonces:

$${\displaystyle \int e^{x}\sin(x)\,dx=e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx.}$$

Poniendo todo esto junto,

$${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx.}$$

La misma integral aparece en ambos lados de esta ecuación. La integral se puede sumar simplemente a ambos lados para obtener

$${\displaystyle 2\int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C,}$$

que se reorganiza a

$${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx={\frac {1}{2}}e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C'}$$

donde nuevamente (y ) es una constante de integración . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C'={\frac {C}{2}}}$

Se utiliza un método similar para encontrar la integral de la secante al cubo .

Funciones multiplicadas por la unidad

Otros dos ejemplos bien conocidos son cuando se aplica la integración por partes a una función expresada como producto de 1 por sí misma. Esto funciona si se conoce la derivada de la función y también se conoce la integral de esta derivada. ${\displaystyle x}$

El primer ejemplo es . Lo escribimos así: ${\displaystyle \int \ln(x)dx}$

$${\displaystyle I=\int \ln(x)\cdot 1\,dx\,.}$$

Dejar:

$${\displaystyle u=\ln(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{x}}}$$ $${\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}$$

entonces:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln(x)\,dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln(x)-\int 1\,dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}}$$

donde es la constante de integración . ${\displaystyle C}$

El segundo ejemplo es la función tangente inversa : ${\displaystyle \arctan(x)}$

$${\displaystyle I=\int \arctan(x)\,dx.}$$

Reescribe esto como

$${\displaystyle \int \arctan(x)\cdot 1\,dx.}$$

Ahora vamos a:

$${\displaystyle u=\arctan(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{1+x^{2}}}}$$

$${\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}$$

entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arctan(x)\,dx&=x\arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=x\arctan(x)-{\frac {\ln(1+x^{2})}{2}}+C\end{aligned}}}$$

utilizando una combinación del método de la regla de la cadena inversa y la condición integral del logaritmo natural .

Regla LIATE

La regla LIATE es una regla empírica para la integración por partes. Consiste en elegir como u la función que aparece primero en la siguiente lista: ^[4]

• L – funciones logarítmicas : etc. ${\displaystyle \ln(x),\ \log _{b}(x),}$
• I – funciones trigonométricas inversas (incluidas las análogas hiperbólicas ): etc. ${\displaystyle \arctan(x),\ \operatorname {arcsec}(x),\ \operatorname {arsinh} (x),}$
• A – funciones algebraicas (como polinomios ): etc. ${\displaystyle x^{2},\ 3x^{50},}$
• T – funciones trigonométricas (incluyendo análogas hiperbólicas ): etc. ${\displaystyle \sin(x),\ \tan(x),\ \operatorname {sech} (x),}$
• E – funciones exponenciales : etc. ${\displaystyle e^{x},\ 19^{x},}$

La función que se va a utilizar como dv es la que aparece al final de la lista. La razón es que las funciones que se encuentran más abajo en la lista generalmente tienen antiderivadas más simples que las funciones que se encuentran por encima de ellas. La regla a veces se escribe como "DETAIL", donde D representa a dv y la parte superior de la lista es la función elegida como dv . Una alternativa a esta regla es la regla ILATE, donde las funciones trigonométricas inversas aparecen antes que las funciones logarítmicas.

Para demostrar la regla LIATE, considere la integral

$${\displaystyle \int x\cdot \cos(x)\,dx.}$$

Siguiendo la regla de LIATE, u = x , y dv = cos( x )  dx , por lo tanto du = dx , y v = sin( x ), lo que hace que la integral sea igual a $${\displaystyle x\cdot \sin(x)-\int 1\sin(x)\,dx,}$$ $${\displaystyle x\cdot \sin(x)+\cos(x)+C.}$$

En general, se intenta elegir u y dv de manera que du sea más simple que u y dv sea fácil de integrar. Si en cambio se eligiera cos( x ) como u y x dx como dv , tendríamos la integral

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}\cos(x)+\int {\frac {x^{2}}{2}}\sin(x)\,dx,}$$

lo cual, después de la aplicación recursiva de la fórmula de integración por partes, claramente resultaría en una recursión infinita y no conduciría a ninguna parte.

Aunque es una regla práctica útil, existen excepciones a la regla LIATE. Una alternativa común es considerar las reglas en el orden "ILATE". Además, en algunos casos, los términos polinómicos deben dividirse de maneras no triviales. Por ejemplo, para integrar

$${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\,dx,}$$

Uno se pondría

$${\displaystyle u=x^{2},\quad dv=x\cdot e^{x^{2}}\,dx,}$$

de modo que

$${\displaystyle du=2x\,dx,\quad v={\frac {e^{x^{2}}}{2}}.}$$

Entonces

$${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\,dx=\int \left(x^{2}\right)\left(xe^{x^{2}}\right)\,dx=\int u\,dv=uv-\int v\,du={\frac {x^{2}e^{x^{2}}}{2}}-\int xe^{x^{2}}\,dx.}$$

Finalmente, esto da como resultado $${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\,dx={\frac {e^{x^{2}}\left(x^{2}-1\right)}{2}}+C.}$$

La integración por partes se utiliza a menudo como herramienta para demostrar teoremas en el análisis matemático .

Producto Wallis

El producto infinito de Wallis para ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \end{aligned}}}$$

Puede derivarse mediante integración por partes .

Identidad de la función gamma

La función gamma es un ejemplo de una función especial , definida como una integral impropia para . La integración por partes la ilustra como una extensión de la función factorial: ${\displaystyle z>0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{z-1}dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,d\left(e^{-x}\right)\\[6pt]&=-{\Biggl [}e^{-x}x^{z-1}{\Biggl ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-x}d\left(x^{z-1}\right)\\[6pt]&=0+\int _{0}^{\infty }\left(z-1\right)x^{z-2}e^{-x}dx\\[6pt]&=(z-1)\Gamma (z-1).\end{aligned}}}$$

Desde

$${\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\,dx=1,}$$

cuando es un número natural, es decir, , aplicando esta fórmula repetidamente se obtiene el factorial : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$

Uso en análisis armónico

La integración por partes se utiliza a menudo en el análisis armónico , en particular en el análisis de Fourier , para demostrar que las integrales que oscilan rápidamente con integrandos suficientemente suaves decaen rápidamente . El ejemplo más común de esto es su uso para demostrar que el decaimiento de la transformada de Fourier de una función depende de la suavidad de esa función, como se describe a continuación.

Transformada de Fourier de la derivada

Si es una función -veces continuamente diferenciable y todas las derivadas hasta la ésima decaen a cero en el infinito, entonces su transformada de Fourier satisface ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle ({\mathcal {F}}f^{(k)})(\xi )=(2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi ),}$$

donde es la derivada n de . (La constante exacta a la derecha depende de la convención de la transformada de Fourier utilizada ). Esto se demuestra al observar que ${\displaystyle f^{(k)}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dy}}e^{-2\pi iy\xi }=-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi },}$$

Entonces, utilizando la integración por partes en la transformada de Fourier de la derivada, obtenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {F}}f')(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f'(y)\,dy\\&=\left[e^{-2\pi iy\xi }f(y)\right]_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }(-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi })f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi \int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi {\mathcal {F}}f(\xi ).\end{aligned}}}$$

Aplicando esto de manera inductiva se obtiene el resultado para . Se puede utilizar un método similar para hallar la transformada de Laplace de una derivada de una función. ${\displaystyle k}$

Decaimiento de la transformada de Fourier

El resultado anterior nos habla de la desintegración de la transformada de Fourier, ya que se deduce que si y son integrables entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{(k)}}$

$${\displaystyle \vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq {\frac {I(f)}{1+\vert 2\pi \xi \vert ^{k}}},{\text{ where }}I(f)=\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigl (}\vert f(y)\vert +\vert f^{(k)}(y)\vert {\Bigr )}\,dy.}$$

En otras palabras, si satisface estas condiciones, entonces su transformada de Fourier decae en el infinito al menos tan rápido como 1/| ξ | ^k . En particular, si entonces la transformada de Fourier es integrable. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k\geq 2}$

La prueba utiliza el hecho, que es inmediato a partir de la definición de la transformada de Fourier , de que

$${\displaystyle \vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f(y)\vert \,dy.}$$

Usando la misma idea sobre la igualdad establecida al comienzo de esta subsección se obtiene

$${\displaystyle \vert (2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f^{(k)}(y)\vert \,dy.}$$

Sumando estas dos desigualdades y luego dividiendo por 1 + |2 π ξ ^k | se obtiene la desigualdad planteada.

Uso en teoría de operadores

Un uso de la integración por partes en la teoría de operadores es que muestra que −∆ (donde ∆ es el operador de Laplace ) es un operador positivo en (ver espacio L p ). Si es suave y está soportado de forma compacta, entonces, utilizando la integración por partes, tenemos ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle -\Delta f,f\rangle _{L^{2}}&=-\int _{-\infty }^{\infty }f''(x){\overline {f(x)}}\,dx\\[5pt]&=-\left[f'(x){\overline {f(x)}}\right]_{-\infty }^{\infty }+\int _{-\infty }^{\infty }f'(x){\overline {f'(x)}}\,dx\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f'(x)\vert ^{2}\,dx\geq 0.\end{aligned}}}$$

Otras aplicaciones

• Determinación de las condiciones de contorno en la teoría de Sturm-Liouville
• Derivación de la ecuación de Euler-Lagrange en el cálculo de variaciones

Integración repetida por partes

Considerando una segunda derivada de en la integral en el lado izquierdo de la fórmula para la integración parcial se sugiere una aplicación repetida a la integral en el lado derecho: ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle \int uv''\,dx=uv'-\int u'v'\,dx=uv'-\left(u'v-\int u''v\,dx\right).}$$

Extender este concepto de integración parcial repetida a derivadas de grado n conduce a $${\displaystyle {\begin{aligned}\int u^{(0)}v^{(n)}\,dx&=u^{(0)}v^{(n-1)}-u^{(1)}v^{(n-2)}+u^{(2)}v^{(n-3)}-\cdots +(-1)^{n-1}u^{(n-1)}v^{(0)}+(-1)^{n}\int u^{(n)}v^{(0)}\,dx.\\[5pt]&=\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}u^{(k)}v^{(n-1-k)}+(-1)^{n}\int u^{(n)}v^{(0)}\,dx.\end{aligned}}}$$

Este concepto puede ser útil cuando las integrales sucesivas de están fácilmente disponibles (por ejemplo, exponenciales simples o seno y coseno, como en las transformadas de Laplace o Fourier ), y cuando la derivada n- ésima de se anula (por ejemplo, como una función polinómica con grado ). La última condición detiene la repetición de la integración parcial, porque la integral RHS se anula. ${\displaystyle v^{(n)}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (n-1)}$

En el curso de la repetición anterior de integraciones parciales, las integrales y y se relacionan. Esto puede interpretarse como un "desplazamiento" arbitrario de las derivadas entre y dentro del integrando, y también resulta útil (véase la fórmula de Rodrigues ). $${\displaystyle \int u^{(0)}v^{(n)}\,dx\quad }$$ ${\displaystyle \quad \int u^{(\ell )}v^{(n-\ell )}\,dx\quad }$ ${\displaystyle \quad \int u^{(m)}v^{(n-m)}\,dx\quad {\text{ for }}1\leq m,\ell \leq n}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$

Integración tabular por partes

El proceso esencial de la fórmula anterior se puede resumir en una tabla; el método resultante se llama "integración tabular" ^[5] y apareció en la película Stand and Deliver (1988). ^[6]

Por ejemplo, considere la integral

$${\displaystyle \int x^{3}\cos x\,dx\quad }$$y tomar ${\displaystyle \quad u^{(0)}=x^{3},\quad v^{(n)}=\cos x.}$

Comience a enumerar en la columna A la función y sus derivadas subsiguientes hasta llegar a cero. Luego, enumere en la columna B la función y sus integrales subsiguientes hasta que el tamaño de la columna B sea el mismo que el de la columna A. El resultado es el siguiente: ${\displaystyle u^{(0)}=x^{3}}$ ${\displaystyle u^{(i)}}$ ${\displaystyle v^{(n)}=\cos x}$ ${\displaystyle v^{(n-i)}}$

El producto de las entradas de la fila i de las columnas A y B junto con el signo respectivo da las integrales pertinentes en el paso i en el curso de la integración repetida por partes. El paso i = 0 da la integral original. Para el resultado completo en el paso i > 0, la i- ésima integral debe sumarse a todos los productos anteriores ( 0 ≤ j < i ) de la j -ésima entrada de la columna A y la ( j + 1) -ésima entrada de la columna B (es decir, multiplicar la 1.ª entrada de la columna A por la 2.ª entrada de la columna B, la 2.ª entrada de la columna A por la 3.ª entrada de la columna B, etc. ...) con el j- ésimo signo dado. Este proceso se detiene de forma natural cuando el producto, que da la integral, es cero ( i = 4 en el ejemplo). El resultado completo es el siguiente (con los signos alternos en cada término):

$${\displaystyle \underbrace {(+1)(x^{3})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(3x^{2})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {(+1)(6x)(-\sin x)} _{j=2}+\underbrace {(-1)(6)(\cos x)} _{j=3}+\underbrace {\int (+1)(0)(\cos x)\,dx} _{i=4:\;\to \;C}.}$$

Esto produce

$${\displaystyle \underbrace {\int x^{3}\cos x\,dx} _{\text{step 0}}=x^{3}\sin x+3x^{2}\cos x-6x\sin x-6\cos x+C.}$$

La integración parcial repetida también resulta útil cuando, al derivar e integrar respectivamente las funciones y su producto, se obtiene un múltiplo del integrando original. En este caso, la repetición también puede terminarse con este índice i. Esto puede suceder, como es de esperar, con funciones exponenciales y trigonométricas. Consideremos como ejemplo ${\displaystyle u^{(i)}}$ ${\displaystyle v^{(n-i)}}$

$${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx.}$$

En este caso, el producto de los términos de las columnas A y B con el signo apropiado para el índice i = 2 da como resultado el negativo del integrando original (compare las filas i = 0 e i = 2 ).

$${\displaystyle \underbrace {\int e^{x}\cos x\,dx} _{\text{step 0}}=\underbrace {(+1)(e^{x})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(e^{x})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {\int (+1)(e^{x})(-\cos x)\,dx} _{i=2}.}$$

Observando que la integral en el lado derecho puede tener su propia constante de integración , y llevando la integral abstracta al otro lado, se obtiene: ${\displaystyle C'}$

$${\displaystyle 2\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x+C',}$$

Y por último:

$${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx={\frac {1}{2}}\left(e^{x}(\sin x+\cos x)\right)+C,}$$

dónde . ${\displaystyle C={\frac {C'}{2}}}$

Dimensiones superiores

La integración por partes se puede extender a funciones de varias variables aplicando una versión del teorema fundamental del cálculo a una regla de producto adecuada. Existen varios emparejamientos posibles de este tipo en el cálculo multivariante, que involucran una función escalar u y una función vectorial (campo vectorial) V . ^[7]

La regla del producto para la divergencia establece:

$${\displaystyle \nabla \cdot (u\mathbf {V} )\ =\ u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \ +\ \nabla u\cdot \mathbf {V} .}$$

Supongamos que es un subconjunto abierto y acotado de con un límite uniforme por partes . Al integrar con respecto a la forma de volumen estándar y aplicar el teorema de divergencia , se obtiene: ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma =\partial \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle d\Omega }$

$${\displaystyle \int _{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma \ =\ \int _{\Omega }\nabla \cdot (u\mathbf {V} )\,d\Omega \ =\ \int _{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \,d\Omega \ +\ \int _{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {V} \,d\Omega ,}$$

donde es el vector unitario normal externo al límite, integrado con respecto a su forma de volumen riemanniano estándar . Reordenando obtenemos: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle d\Gamma }$

$${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {V} \,d\Omega ,}$$

o en otras palabras, los requisitos de regularidad del teorema se pueden relajar. Por ejemplo, el límite solo necesita ser Lipschitz continuo y las funciones u , v solo necesitan estar en el espacio de Sobolev . $${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\operatorname {div} (\mathbf {V} )\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }\operatorname {grad} (u)\cdot \mathbf {V} \,d\Omega .}$$ ${\displaystyle \Gamma =\partial \Omega }$ ${\displaystyle H^{1}(\Omega )}$

La primera identidad de Green

Consideremos los campos vectoriales continuamente diferenciables y , donde es el i -ésimo vector base estándar para . Ahora apliquemos la integración anterior por partes a cada multiplicación del campo vectorial : ${\displaystyle \mathbf {U} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +u_{n}\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle v\mathbf {e} _{1},\ldots ,v\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle v\mathbf {e} _{i}}$

$${\displaystyle \int _{\Omega }u_{i}{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u_{i}v\,\mathbf {e} _{i}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}v\,d\Omega .}$$

Sumando i se obtiene una nueva fórmula de integración por partes:

$${\displaystyle \int _{\Omega }\mathbf {U} \cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }v\mathbf {U} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }v\,\nabla \cdot \mathbf {U} \,d\Omega .}$$

El caso en el que se menciona se conoce como la primera de las identidades de Green : ${\displaystyle \mathbf {U} =\nabla u}$ ${\displaystyle u\in C^{2}({\bar {\Omega }})}$

$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }v\,\nabla u\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }v\,\nabla ^{2}u\,d\Omega .}$$

Véase también

• Integración por partes para la integral de Lebesgue-Stieltjes
• Integración por partes para semimartingalas , involucrando su covariación cuadrática.
• Integración por sustitución
• Transformación de Legendre

Notas

1. "Brook Taylor". History.MCS.St-Andrews.ac.uk . Consultado el 25 de mayo de 2018 .
2. "Brook Taylor". Stetson.edu . Archivado desde el original el 3 de enero de 2018. Consultado el 25 de mayo de 2018 .
3. "Integración por partes". Enciclopedia de Matemáticas .
4. Kasube, Herbert E. (1983). "Una técnica para la integración por partes". The American Mathematical Monthly . 90 (3): 210–211. doi :10.2307/2975556. JSTOR  2975556.
5. Thomas, GB ; Finney, RL (1988). Cálculo y geometría analítica (7.ª ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-17069-8.
6. Horowitz, David (1990). "Integración tabular por partes" (PDF) . The College Mathematics Journal . 21 (4): 307–311. doi :10.2307/2686368. JSTOR  2686368.
7. Rogers, Robert C. (29 de septiembre de 2011). "El cálculo de varias variables" (PDF) .

Lectura adicional

• Louis Brand (10 de octubre de 2013). Cálculo avanzado: una introducción al análisis clásico. Courier Corporation. pp. 267–. ISBN 978-0-486-15799-3.
• Hoffmann, Laurence D.; Bradley, Gerald L. (2004). Cálculo para empresas, economía y ciencias sociales y biológicas (8.ª ed.). Págs. 450–464. ISBN 0-07-242432-X.
• Willard, Stephen (1976). Cálculo y sus aplicaciones . Boston: Prindle, Weber & Schmidt. pp. 193–214. ISBN 0-87150-203-8.
• Washington, Allyn J. (1966). Cálculo técnico con geometría analítica . Lectura: Addison-Wesley. pp. 218–245. ISBN 0-8465-8603-7.

Enlaces externos

• "Integración por partes", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Integración por partes: de MathWorld