La distribución semicircular de Wigner , llamada así en honor al físico Eugene Wigner , es la distribución de probabilidad en [− R , R ] cuya función de densidad de probabilidad f es un semicírculo escalado (es decir, una semielipse) centrado en (0, 0):
para − R ≤ x ≤ R , y f ( x ) = 0 si |x| > R . El parámetro R se denomina comúnmente parámetro de "radio" de la distribución.
La distribución surge como la distribución límite de los valores propios de muchas matrices simétricas aleatorias , es decir, a medida que las dimensiones de la matriz aleatoria se acercan al infinito. La distribución del espaciado o brechas entre valores propios se aborda mediante la suposición de Wigner, de nombre similar .
Debido a la simetría, todos los momentos de orden impar de la distribución de Wigner son cero. Para números enteros positivos n , el segundo momento n de esta distribución es
En el caso especial típico de que R = 2 , esta secuencia coincide con los números catalanes 1, 2, 5, 14, etc. En concreto, el segundo momento es R 2 ⁄ 4 y el cuarto momento es R 4 ⁄ 8 , lo que muestra que el exceso de curtosis es −1 . [1] Como se puede calcular utilizando el teorema del residuo , la transformada de Stieltjes de la distribución de Wigner viene dada por
para números complejos z con parte imaginaria positiva, donde se considera que la raíz cuadrada compleja tiene parte imaginaria positiva. [2]
La distribución de Wigner coincide con una distribución beta escalada y desplazada : si Y es una variable aleatoria con distribución beta con parámetros α = β = 3 ⁄ 2 , entonces la variable aleatoria 2 RY – R exhibe una distribución de semicírculo de Wigner con radio R. Mediante esta transformación es directo calcular algunas cantidades estadísticas para la distribución de Wigner en términos de las de las distribuciones beta, que son mejor conocidas. [3] En particular, es directo recuperar la función característica de la distribución de Wigner a partir de la de Y :
donde 1 F 1 es la función hipergeométrica confluente y J 1 es la función de Bessel de primer tipo . Asimismo, la función generadora de momento se puede calcular como
donde I 1 es la función de Bessel modificada de primer tipo . Las igualdades finales en las dos líneas anteriores son identidades bien conocidas que relacionan la función hipergeométrica confluente con las funciones de Bessel. [4]
Los polinomios de Chebyshev de tercera clase son polinomios ortogonales con respecto a la distribución del semicírculo de Wigner de radio 1 . [5]
En la teoría de la probabilidad libre , el papel de la distribución semicircular de Wigner es análogo al de la distribución normal en la teoría de la probabilidad clásica. Es decir, en la teoría de la probabilidad libre, el papel de los cumulantes lo ocupan los "acumulantes libres", cuya relación con los cumulantes ordinarios es simplemente que el papel del conjunto de todas las particiones de un conjunto finito en la teoría de los cumulantes ordinarios es reemplazado por el conjunto. de todas las particiones que no se cruzan de un conjunto finito. Así como los acumulantes de grado mayor que 2 de una distribución de probabilidad son todos cero si y solo si la distribución es normal, así también los acumulantes libres de grado mayor que 2 de una distribución de probabilidad son todos cero si y solo si la distribución es Distribución en semicírculo de Wigner.
