La distribución de semicírculo de Wigner , llamada así en honor al físico Eugene Wigner , es la distribución de probabilidad definida en el dominio [− R , R ] cuya función de densidad de probabilidad f es un semicírculo escalado, es decir, una semielipse, centrada en (0, 0):
para − R ≤ x ≤ R , y f ( x ) = 0 si |x| > R . El parámetro R se conoce comúnmente como el parámetro "radio" de la distribución.
La distribución surge como la distribución límite de los valores propios de muchas matrices aleatorias simétricas , es decir, a medida que las dimensiones de la matriz aleatoria se acercan al infinito. La distribución del espaciamiento o los huecos entre los valores propios se aborda mediante la suposición de Wigner, que tiene un nombre similar .
Debido a la simetría, todos los momentos de orden impar de la distribución de Wigner son cero. Para los números enteros positivos n , el 2 n -ésimo momento de esta distribución es
En el caso especial típico de que R = 2 , esta secuencia coincide con los números Catalan 1, 2, 5, 14, etc. En particular, el segundo momento es R 2 ⁄ 4 y el cuarto momento es R 4 ⁄ 8 , lo que demuestra que la curtosis en exceso es −1 . [1] Como se puede calcular utilizando el teorema del residuo , la transformada de Stieltjes de la distribución de Wigner está dada por
para números complejos z con parte imaginaria positiva, donde la raíz cuadrada compleja se toma como si tuviera parte imaginaria positiva. [2]
La distribución de Wigner coincide con una distribución beta escalada y desplazada : si Y es una variable aleatoria distribuida en beta con parámetros α = β = 3 ⁄ 2 , entonces la variable aleatoria 2 RY – R exhibe una distribución de semicírculo de Wigner con radio R . Mediante esta transformación es sencillo calcular directamente algunas cantidades estadísticas para la distribución de Wigner en términos de aquellas para las distribuciones beta, que son más conocidas. [3]
Los polinomios de Chebyshev de segundo tipo son polinomios ortogonales con respecto a la distribución del semicírculo de Wigner de radio 1. [ 4]
La función característica de la distribución de Wigner se puede determinar a partir de la de la variable beta Y :
donde 1 F 1 es la función hipergeométrica confluente y J 1 es la función de Bessel de primer tipo .
Asimismo, la función generadora de momentos se puede calcular como
donde I 1 es la función de Bessel modificada de primera especie . Las igualdades finales en ambas líneas anteriores son identidades bien conocidas que relacionan la función hipergeométrica confluente con las funciones de Bessel. [5]
En la teoría de la probabilidad libre , el papel de la distribución de semicírculo de Wigner es análogo al de la distribución normal en la teoría de la probabilidad clásica. Es decir, en la teoría de la probabilidad libre, el papel de los cumulantes lo ocupan los "cumulantes libres", cuya relación con los cumulantes ordinarios es simplemente que el papel del conjunto de todas las particiones de un conjunto finito en la teoría de los cumulantes ordinarios se reemplaza por el conjunto de todas las particiones no cruzadas de un conjunto finito. Así como los cumulantes de grado superior a 2 de una distribución de probabilidad son todos cero si y solo si la distribución es normal, así también, los cumulantes libres de grado superior a 2 de una distribución de probabilidad son todos cero si y solo si la distribución es la distribución de semicírculo de Wigner.
