Transformación de Stieltjes

En matemáticas , la transformación de Stieltjes S _ρ ( z ) de una medida de densidad ρ en un intervalo real I es la función de la variable compleja z definida fuera de I por la fórmula

$${\displaystyle S_{\rho }(z)=\int _{I}{\frac {\rho (t)\,dt}{z-t}},\qquad z\in \mathbb {C} \setminus I.}$$

En determinadas condiciones podemos reconstruir la función de densidad ρ a partir de su transformación de Stieltjes gracias a la fórmula inversa de Stieltjes-Perron. Por ejemplo, si la densidad ρ es continua en todo el intervalo I , se tendrá dentro de este intervalo

$${\displaystyle \rho (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {S_{\rho }(x-i\varepsilon )-S_{\rho }(x+i\varepsilon )}{2i\pi }}.}$$

Conexiones con momentos de medidas

Si la medida de densidad ρ tiene momentos de cualquier orden definidos para cada entero por la igualdad $${\displaystyle m_{n}=\int _{I}t^{n}\,\rho (t)\,dt,}$$

entonces la transformación de Stieltjes de ρ admite para cada entero n la expansión asintótica en la vecindad del infinito dada por $${\displaystyle S_{\rho }(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {m_{k}}{z^{k+1}}}+o\left({\frac {1}{z^{n+1}}}\right).}$$

Bajo ciertas condiciones se puede obtener la expansión completa como serie de Laurent : $${\displaystyle S_{\rho }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m_{n}}{z^{n+1}}}.}$$

Relaciones con polinomios ortogonales

La correspondencia define un producto interno en el espacio de funciones continuas en el intervalo I. ${\textstyle (f,g)\mapsto \int _{I}f(t)g(t)\rho (t)\,dt}$

Si { P _n } es una secuencia de polinomios ortogonales para este producto, podemos crear la secuencia de polinomios secundarios asociados mediante la fórmula $${\displaystyle Q_{n}(x)=\int _{I}{\frac {P_{n}(t)-P_{n}(x)}{t-x}}\rho (t)\,dt.}$$

Parece que es una aproximación de Padé de S _ρ ( z ) en un entorno del infinito, en el sentido de que ${\textstyle F_{n}(z)={\frac {Q_{n}(z)}{P_{n}(z)}}}$ $${\displaystyle S_{\rho }(z)-{\frac {Q_{n}(z)}{P_{n}(z)}}=O\left({\frac {1}{z^{2n}}}\right).}$$

Como estas dos secuencias de polinomios satisfacen la misma relación de recurrencia en tres términos, podemos desarrollar una fracción continua para la transformación de Stieltjes cuyos convergentes sucesivos son las fracciones F _n ( z ) .

La transformación de Stieltjes también se puede utilizar para construir a partir de la densidad ρ una medida eficaz para transformar los polinomios secundarios en un sistema ortogonal. (Para más detalles, consulte el artículo sobre la medida secundaria ).

Véase también

• Polinomios ortogonales
• Polinomios secundarios
• Medida secundaria

Referencias

• HS Wall (1948). Teoría analítica de fracciones continuas . D. Van Nostrand Company Inc.