En matemáticas , el abuso de notación ocurre cuando un autor usa una notación matemática de una manera que no es del todo formalmente correcta, pero que podría ayudar a simplificar la exposición o sugerir la intuición correcta (mientras posiblemente minimiza los errores y la confusión al mismo tiempo). Sin embargo, dado que el concepto de corrección formal/sintáctica depende tanto del tiempo como del contexto, ciertas notaciones en matemáticas que están marcadas como abuso en un contexto podrían ser formalmente correctas en uno o más contextos. Pueden ocurrir abusos de notación dependientes del tiempo cuando se introducen notaciones nuevas en una teoría algún tiempo antes de que la teoría se formalice por primera vez; estos pueden corregirse formalmente solidificando y/o mejorando la teoría. El abuso de notación debe contrastarse con el mal uso de la notación, que no tiene los beneficios de presentación del primero y debe evitarse (como el mal uso de constantes de integración [1] ).
Un concepto relacionado es el abuso del lenguaje o el abuso de terminología, donde se hace mal uso de un término , en lugar de una notación. Abuso del lenguaje es una expresión casi sinónima de abusos que no son de notación por naturaleza. Por ejemplo, mientras que la palabra representación designa propiamente un homomorfismo de grupo de un grupo G a GL( V ) , donde V es un espacio vectorial , es común llamar a V "una representación de G ". Otro abuso común del lenguaje consiste en identificar dos objetos matemáticos diferentes, pero canónicamente isomórficos . [2] Otros ejemplos incluyen identificar una función constante con su valor, identificar un grupo con una operación binaria con el nombre de su conjunto subyacente, o identificar el espacio euclidiano de dimensión tres equipado con un sistema de coordenadas cartesiano . [3]
Muchos objetos matemáticos constan de un conjunto , a menudo llamado conjunto subyacente, equipado con alguna estructura adicional, como una operación matemática o una topología . Es un abuso común de notación utilizar la misma notación para el conjunto subyacente y el objeto estructurado (un fenómeno conocido como supresión de parámetros [3] ). Por ejemplo, puede denotar el conjunto de los números enteros , el grupo de números enteros junto con la suma , o el anillo de números enteros con la suma y la multiplicación . En general, no hay problema con esto si el objeto al que se hace referencia se comprende bien, y evitar tal abuso de notación podría incluso hacer que los textos matemáticos sean más pedantes y más difíciles de leer. Cuando este abuso de notación puede resultar confuso, se pueden distinguir entre estas estructuras denotando el grupo de números enteros con suma y el anillo de números enteros.
De manera similar, un espacio topológico consta de un conjunto X (el conjunto subyacente) y una topología que se caracteriza por un conjunto de subconjuntos de X (los conjuntos abiertos ). Lo más frecuente es que se considere sólo una topología en X , por lo que normalmente no hay problema en referirse a X como el conjunto subyacente y el par que consta de X y su topología , aunque sean objetos matemáticos técnicamente distintos. Sin embargo, puede ocurrir en algunas ocasiones que se consideren dos topologías diferentes simultáneamente en un mismo conjunto. En cuyo caso, hay que tener cuidado y utilizar notación como y para distinguir entre los diferentes espacios topológicos.
En muchos libros de texto se pueden encontrar frases como "Sea una función...". Esto es un abuso de notación, ya que el nombre de la función denota el valor de para el elemento de su dominio. Las frases más precisas y correctas incluyen "Sea una función de la variable ..." o "Sea una función ...". Este abuso de notación se usa ampliamente, ya que simplifica la formulación y el uso sistemático de una notación correcta rápidamente. se vuelve pedante.
Un abuso similar de notación ocurre en oraciones como "Consideremos la función ...", cuando en realidad es una expresión polinómica , no una función per se. La función que se asocia a se puede denotar. Sin embargo, este abuso de notación se usa ampliamente, ya que es más conciso pero generalmente no confunde.
Muchas estructuras matemáticas se definen mediante una propiedad caracterizante (a menudo una propiedad universal ). Una vez definida esta propiedad deseada, puede haber varias formas de construir la estructura, y los resultados correspondientes son objetos formalmente diferentes, pero que tienen exactamente las mismas propiedades (es decir, isomórficos ). Como no hay forma de distinguir estos objetos isomórficos a través de sus propiedades, lo habitual es considerarlos iguales, incluso si esto es formalmente incorrecto. [2]
Un ejemplo de esto es el producto cartesiano , que a menudo se considera asociativo:
Pero, estrictamente hablando, esto no es cierto: si , y , la identidad implicaría que y , y entonces no significaría nada. Sin embargo, estas igualdades pueden legitimarse y hacerse rigurosas en la teoría de categorías , utilizando la idea de un isomorfismo natural .
Otro ejemplo de abusos similares ocurre en afirmaciones como "hay dos grupos no abelianos de orden 8", que en términos más estrictos significa "hay dos clases de isomorfismo de grupos no abelianos de orden 8".
Hacer referencia a una clase de equivalencia de una relación de equivalencia mediante x en lugar de [ x ] es un abuso de notación. Formalmente, si un conjunto X está dividido por una relación de equivalencia ~, entonces para cada x ∈ X , la clase de equivalencia { y ∈ X | y ~ x } se denota [ x ]. Pero en la práctica, si el resto de la discusión se centra en las clases de equivalencia en lugar de en los elementos individuales del conjunto subyacente, entonces es común eliminar los corchetes en la discusión.
Por ejemplo, en aritmética modular , se puede formar un grupo finito de orden n dividiendo los números enteros mediante la relación de equivalencia " x ~ y si y sólo si x ≡ y (mod n )". Los elementos de ese grupo serían entonces [0], [1], ..., [ n − 1], pero en la práctica normalmente se denotan simplemente como 0, 1, ..., n − 1.
Otro ejemplo es el espacio de (clases de) funciones medibles sobre un espacio de medidas , o clases de funciones integrables de Lebesgue , donde la relación de equivalencia es igualdad " casi en todas partes ".
Los términos "abuso del lenguaje" y "abuso de notación" dependen del contexto. Escribir " f : A → B " para una función parcial de A a B es casi siempre un abuso de notación, pero no en un contexto teórico de categorías , donde f puede verse como un morfismo en la categoría de conjuntos y funciones parciales.
