Operador de posición

Operador en mecánica cuántica

En mecánica cuántica , el operador de posición es el operador que corresponde a la posición observable de una partícula .

Cuando se considera el operador de posición con un dominio suficientemente amplio (por ejemplo, el espacio de distribuciones templadas ), sus valores propios son los posibles vectores de posición de la partícula. ^[1]

En una dimensión, si por el símbolo denotamos el vector propio unitario del operador de posición correspondiente al valor propio , entonces, representa el estado de la partícula en el que sabemos con certeza encontrar la partícula misma en la posición . $${\displaystyle |x\rangle }$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle x}$

Por lo tanto, denotando el operador de posición con el símbolo podemos escribir para cada posición real . ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X|x\rangle =x|x\rangle ,}$$ ${\displaystyle x}$

Una posible realización del estado unitario con posición es la distribución delta (función) de Dirac centrada en la posición , a menudo denotada por . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta _{x}}$

En mecánica cuántica, la familia ordenada (continua) de todas las distribuciones de Dirac, es decir, la familia se llama base de posición (unitaria), simplemente porque es una base propia (unitaria) del operador de posición en el espacio de distribuciones templadas . $${\displaystyle \delta =(\delta _{x})_{x\in \mathbb {R} },}$$ ${\displaystyle X}$

Es fundamental observar que existe solo un endomorfismo lineal continuo en el espacio de distribuciones templadas tal que para cada punto real . Es posible demostrar que el único endomorfismo anterior está necesariamente definido por para cada distribución templada , donde denota la función de coordenadas de la línea de posición, definida desde la línea real hacia el plano complejo por ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X(\delta _{x})=x\delta _{x},}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle X(\psi )=\mathrm {x} \psi ,}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ $${\displaystyle \mathrm {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} :x\mapsto x.}$$

Introducción

Consideremos que se representa el estado cuántico de una partícula en un determinado instante de tiempo mediante una función de onda integrable cuadrada . Por ahora, supongamos una dimensión espacial (es decir, la partícula "confinada" a una línea recta). Si la función de onda está normalizada , entonces el módulo cuadrado representa la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en alguna posición de la línea real, en un determinado momento. Es decir, si entonces la probabilidad de encontrar la partícula en el rango de posiciones es ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle |\psi |^{2}=\psi ^{*}\psi ,}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \|\psi \|^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi |^{2}d\mathrm {x} =1,}$$ ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle \pi _{X}(\psi )([a,b])=\int _{a}^{b}|\psi |^{2}d\mathrm {x} .}$$

Por lo tanto, el valor esperado de una medición de la posición de la partícula es donde es la función de coordenadas , que es simplemente la incrustación canónica de la línea de posición en el plano complejo. ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \langle X\rangle _{\psi }=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} |\psi |^{2}d\mathrm {x} =\int _{\mathbb {R} }\psi ^{*}(\mathrm {x} \psi )\,d\mathrm {x} =\langle \psi |X(\psi )\rangle ,}$$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ $${\displaystyle \mathrm {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} :x\mapsto x,}$$

Estrictamente hablando, la posición observable puede definirse punto por punto como para cada función de onda y para cada punto de la línea real. En el caso de clases de equivalencia, la definición se lee directamente de la siguiente manera: Es decir, el operador de posición multiplica cualquier función de onda por la función de coordenadas . ${\displaystyle X={\hat {\mathrm {x} }}}$ $${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)(x)=x\psi (x),}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \psi \in L^{2}}$ $${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}\psi =\mathrm {x} \psi ,\quad \forall \psi \in L^{2}.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$

Tres dimensiones

La generalización a tres dimensiones es sencilla.

La función de onda del espacio-tiempo es ahora y el valor esperado del operador de posición en el estado es donde se toma la integral sobre todo el espacio. El operador de posición es ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \left\langle {\hat {\mathbf {r} }}\right\rangle _{\psi }=\int \mathbf {r} |\psi |^{2}d^{3}\mathbf {r} }$$ $${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} \psi =\mathbf {r} \psi .}$$

Propiedades básicas

En la definición anterior, que se refiere al caso de una partícula confinada en una línea, el lector atento puede observar que no existe ninguna especificación clara del dominio y del codominio para el operador de posición. En la literatura, de manera más o menos explícita, encontramos esencialmente tres direcciones principales para abordar esta cuestión.

1. El operador de posición se define en el subespacio de formado por aquellas clases de equivalencia cuyo producto por la incrustación reside en el espacio . En este caso el operador de posición se revela no continuo (ilimitado respecto de la topología inducida por el producto escalar canónico de ), sin vectores propios, sin valores propios y en consecuencia con espectro puntual vacío . ${\displaystyle D_{X}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle X:D_{X}\subset L^{2}\to L^{2}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$ ${\displaystyle L^{2}}$
2. El operador de posición se define en el espacio de Schwartz (es decir, el espacio nuclear de todas las funciones complejas suaves definidas en la recta real cuyas derivadas son rápidamente decrecientes). En este caso, el operador de posición revela que es continuo (con respecto a la topología canónica de ), inyectivo, sin vectores propios, sin valores propios y, en consecuencia, con espectro puntual vacío. Es (totalmente) autoadjunto con respecto al producto escalar de en el sentido de que ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ $${\displaystyle X:{\mathcal {S}}\subset L^{2}\to {\mathcal {S}}\subset L^{2}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle \langle X(\psi )|\phi \rangle =\langle \psi |X(\phi )\rangle ,\quad \forall \psi ,\phi \in {\mathcal {S}}.}$$
3. El operador de posición se define en el espacio dual de (es decir, el espacio nuclear de distribuciones templadas ). Como es un subespacio de , el producto de una distribución templada por la incrustación siempre vive . En este caso, el operador de posición revela que es continuo (con respecto a la topología canónica de ), sobreyectivo, dotado de familias completas de vectores propios generalizados y valores propios generalizados reales. Es autoadjunto con respecto al producto escalar de en el sentido de que su operador transpuesto es autoadjunto, es decir ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$ $${\displaystyle X:{\mathcal {S}}^{\times }\to {\mathcal {S}}^{\times }:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle {}^{t}X:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}:\phi \mapsto \mathrm {x} \phi ,}$$ $${\displaystyle \left\langle \left.\,{}^{t}X(\phi )\right|\psi \right\rangle =\left\langle \phi |\,{}^{t}X(\psi )\right\rangle ,\quad \forall \psi ,\phi \in {\mathcal {S}}.}$$

El último caso es, en la práctica, la opción más ampliamente adoptada en la literatura de mecánica cuántica, aunque nunca se subraya explícitamente. ^{[ cita requerida ]} Aborda la posible ausencia de vectores propios extendiendo el espacio de Hilbert a un espacio de Hilbert manipulado : ^[2] proporcionando así una noción matemáticamente rigurosa de vectores propios y valores propios. ^[3] $${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset L^{2}\subset {\mathcal {S}}^{\times },}$$

Estados propios

Las funciones propias del operador de posición (en el espacio de distribuciones templadas), representadas en el espacio de posición , son funciones delta de Dirac .

Prueba informal. Para demostrar que los posibles vectores propios del operador de posición deben ser necesariamente distribuciones delta de Dirac, supongamos quees un estado propio del operador de posición con valor propio. Escribimos la ecuación del valor propio en coordenadas de posición, recordando quesimplemente multiplica las funciones de onda por la función, en la representación de posición. Dado que la funciónes variable mientras quees una constante,debe ser cero en todas partes excepto en el punto. Claramente, ninguna función continua satisface tales propiedades, y no podemos simplemente definir la función de onda como un número complejo en ese punto porque su-norma sería 0 y no 1. Esto sugiere la necesidad de un "objeto funcional" concentrado en el puntoy con una integral distinta de 0: cualquier múltiplo del delta de Dirac centrado en. La solución normalizada de la ecuación es o mejor tal que De hecho, recordando que el producto de cualquier función por la distribución de Dirac centrada en un punto es el valor de la función en ese punto por la propia distribución de Dirac, obtenemos inmediatamente Aunque tales estados de Dirac son físicamente irrealizables y, estrictamente hablando, no son funciones, la distribución de Dirac centrada enpuede considerarse como un "estado ideal" cuya posición se conoce con exactitud (cualquier medición de la posición siempre devuelve el valor propio). Por lo tanto, por el principio de incertidumbre , no se sabe nada sobre el momento de tal estado. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}\psi (x)=\mathrm {x} \psi (x)=x_{0}\psi (x)}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}}$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle \mathrm {x} \psi =x_{0}\psi }$$ $${\displaystyle \psi (x)=\delta (x-x_{0}),}$$ $${\displaystyle \psi =\delta _{x_{0}},}$$ $${\displaystyle \mathrm {x} \delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0}}.}$$ $${\displaystyle \mathrm {x} \delta _{x_{0}}=\mathrm {x} (x_{0})\delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0}}.}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Espacio de momento

Generalmente, en mecánica cuántica, por representación en el espacio de momento entendemos la representación de estados y observables con respecto a la base de momento unitario canónico. $${\displaystyle \eta =\left(\left[(2\pi \hbar )^{-{\frac {1}{2}}}e^{(\iota /\hbar )(\mathrm {x} |p)}\right]\right)_{p\in \mathbb {R} }.}$$

En el espacio de momento , el operador de posición en una dimensión está representado por el siguiente operador diferencial $${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}=i\hbar {\frac {d}{d\mathrm {p} }}=i{\frac {d}{d\mathrm {k} }},}$$

dónde:

• La representación del operador de posición en la base del momento se define naturalmente por , para cada función de onda (distribución templada) ; ${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}(\psi )_{P}=\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)_{P}}$ ${\displaystyle \psi }$
• ${\displaystyle \mathrm {p} }$representa la función de coordenadas en la línea de momento y la función del vector de onda está definida por . ${\displaystyle \mathrm {k} }$ ${\displaystyle \mathrm {k} =\mathrm {p} /\hbar }$

Formalismo enyo2(R,do)

Consideremos el caso de una partícula sin espín que se mueve en una dimensión espacial. El espacio de estados para dicha partícula contiene , el espacio de Hilbert de funciones de valor complejo e integrables al cuadrado (con respecto a la medida de Lebesgue ) en la línea real . ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$

El operador de posición se define como el operador autoadjunto con dominio de definición y función de coordenadas que envía cada punto a sí mismo, tal que ^{[4] [5]} para cada punto definido y . $${\displaystyle Q:D_{Q}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\psi \mapsto \mathrm {q} \psi ,}$$ $${\displaystyle D_{Q}=\left\{\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\mid \mathrm {q} \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\right\},}$$ ${\displaystyle \mathrm {q} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle Q(\psi )(x)=x\psi (x)=\mathrm {q} (x)\psi (x),}$$ ${\displaystyle \psi \in D_{Q}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

Inmediatamente de la definición podemos deducir que el espectro está formado por toda la recta real y que tiene un espectro estrictamente continuo , es decir, no tiene un conjunto discreto de valores propios. ${\displaystyle Q}$

El caso tridimensional se define de forma análoga. En el análisis siguiente, mantendremos el supuesto unidimensional.

Teoría de la medición enyo2(R,do)

Al igual que con cualquier observable mecánico cuántico , para analizar la medición de la posición , necesitamos calcular la resolución espectral del operador de posición , que es donde está la denominada medida espectral del operador de posición. $${\displaystyle X:D_{X}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$ $${\displaystyle X=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\mu _{X}(\lambda )=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} \,\mu _{X}=\mu _{X}(\mathrm {x} ),}$$ ${\displaystyle \mu _{X}}$

Sea la función indicadora de un subconjunto de Borel de . Entonces la medida espectral se da por ie, como multiplicación por la función indicadora de . ${\displaystyle \chi _{B}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \psi \mapsto \mu _{X}(B)(\psi )=\chi _{B}\psi ,}$$ ${\displaystyle B}$

Por lo tanto, si el sistema se prepara en un estado , entonces la probabilidad de que la posición medida de la partícula pertenezca a un conjunto de Borel es donde es la medida de Lebesgue en la línea real. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \|\mu _{X}(B)(\psi )\|^{2}=\|\chi _{B}\psi \|^{2}=\int _{B}|\psi |^{2}\ \mu =\pi _{X}(\psi )(B),}$$ ${\displaystyle \mu }$

Después de cualquier medición que tenga como objetivo detectar la partícula dentro del subconjunto B, la función de onda colapsa a o donde es la norma del espacio de Hilbert en . $${\displaystyle {\frac {\mu _{X}(B)\psi }{\|\mu _{X}(B)\psi \|}}={\frac {\chi _{B}\psi }{\|\chi _{B}\psi \|}}}$$ $${\displaystyle {\frac {(1-\chi _{B})\psi }{\|(1-\chi _{B})\psi \|}},}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$

Véase también

• Espacio de posición y momento
• Operador de momento
• Operador de traducción (mecánica cuántica)

Notas

1. Atkins, PW (1974). Quanta: Un manual de conceptos . Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1.
2. de la Madrid Modino 2001, cap. 2.6.
3. de la Madrid Modino 2001, págs. 104-117.
4. McMahon, D. (2006). Mecánica cuántica desmitificada (2.ª ed.). Mc Graw Hill. ISBN 0-07-145546-9.
5. Peleg, Y.; Pnini, R.; Zaarur, E.; Hecht, E. (2010). Mecánica cuántica (2ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0071623582.

Referencias

• de la Madrid Modino, R. (2001). Mecánica cuántica en lenguaje espacial de Hilbert amañado (tesis doctoral). Universidad de Valladolid.