Operador de posición

Operador en mecánica cuántica

En mecánica cuántica , el operador de posición es el operador que corresponde a la posición observable de una partícula .

Cuando el operador de posición se considera con un dominio suficientemente amplio (por ejemplo, el espacio de distribuciones templadas ), sus valores propios son los posibles vectores de posición de la partícula. ^[1]

En una dimensión, si por el símbolo

$${\displaystyle |x\rangle }$$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle x}$

Por lo tanto, denotando el operador de posición mediante el símbolo  (en la literatura encontramos también otros símbolos para el operador de posición, por ejemplo (de la mecánica lagrangiana), etc.) podemos escribir ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}}$

$${\displaystyle X|x\rangle =x|x\rangle ,}$$

${\displaystyle x}$

Una posible realización del estado unitario con posición es la distribución (función) delta de Dirac centrada en la posición , a menudo denotada por . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta _{x}}$

En mecánica cuántica, la familia ordenada (continua) de todas las distribuciones de Dirac, es decir, la familia

$${\displaystyle \delta =(\delta _{x})_{x\in \mathbb {R} },}$$

dual al espacio de funciones de onda ${\displaystyle X}$

Es fundamental observar que existe sólo un endomorfismo lineal continuo en el espacio de distribuciones templadas tal que ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle X(\delta _{x})=x\delta _{x},}$$

${\displaystyle x}$

$${\displaystyle X(\psi )=\mathrm {x} \psi ,}$$

${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$

$${\displaystyle \mathrm {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} :x\mapsto x.}$$

Introducción

En una dimensión –para una partícula confinada en una línea recta– el módulo cuadrado

$${\displaystyle |\psi |^{2}=\psi ^{*}\psi ,}$$

$${\displaystyle \psi :\mathbb {R} \to \mathbb {C} ,}$$

densidad de probabilidad ${\displaystyle x}$

En otros términos, si, en un determinado instante de tiempo, la partícula se encuentra en el estado representado por una función de onda cuadrada integrable y suponiendo que la función de onda sea de norma igual a 1, ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle L^{2}}$

$${\displaystyle \|\psi \|^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi |^{2}d\mathrm {x} =1,}$$

${\displaystyle [a,b]}$

$${\displaystyle \pi _{X}(\psi )([a,b])=\int _{a}^{b}|\psi |^{2}d\mathrm {x} .}$$

Por tanto, el valor esperado de una medición de la posición de la partícula es el valor ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \langle X\rangle _{\psi }=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} |\psi |^{2}d\mathrm {x} =\int _{\mathbb {R} }\psi ^{*}\mathrm {x} \psi \,d\mathrm {x} ,}$$

1. se supone que la partícula está en el estado ; ${\displaystyle \psi }$
2. la función se supone integrable, es decir de clase ; ${\displaystyle \mathrm {x} |\psi |^{2}}$ ${\displaystyle L^{1}}$
3. lo indicamos mediante la función de coordenadas del eje de posición. ${\displaystyle \mathrm {x} }$

Además, el operador de la mecánica cuántica correspondiente a la posición observable también se denota por ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle X={\hat {\mathrm {x} }},}$$

$${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)(x)=x\psi (x),}$$

${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x}$

El circunflejo sobre la función del lado izquierdo indica la presencia de un operador, por lo que se puede leer esta ecuación: ${\displaystyle \mathrm {x} }$

El resultado del operador de posición que actúa sobre cualquier función de onda es igual a la función de coordenadas multiplicada por la función de onda . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle \psi }$

O más simplemente:

El operador multiplica cualquier función de onda por la función de coordenadas . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$

Nota 1. Para ser más explícito, hemos introducido la función de coordenadas.

$${\displaystyle \mathrm {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} :x\mapsto x,}$$

inserción canónica

Nota 2. El valor esperado del operador de posición, sobre una función de onda (estado), se puede reinterpretar como un producto escalar: ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \langle X\rangle _{\psi }=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} |\psi |^{2}d\mathrm {x} =\int _{\mathbb {R} }\psi ^{*}(\mathrm {x} \psi )\,d\mathrm {x} =\langle \psi |X(\psi )\rangle ,}$$

${\displaystyle \psi \in L^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {x} \psi }$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {x} |\psi |^{2}}$ ${\displaystyle L^{1}}$

Nota 3. Estrictamente hablando, la posición observable se puede definir puntualmente como ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)(x)=x\psi (x),}$$

${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \psi \in L^{2}}$

$${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}\psi =\mathrm {x} \psi ,}$$

${\displaystyle \psi \in L^{2}}$

Propiedades básicas

En la definición anterior, como el lector atento podrá observar inmediatamente, no existe ninguna especificación clara de dominio y codominio para el operador de posición (en el caso de una partícula confinada a una línea). En la literatura, más o menos explícitamente, encontramos esencialmente tres direcciones principales para esta cuestión fundamental.

1. El operador de posición se define en el subespacio de formado por aquellas clases de equivalencia cuyo producto por la incrustación también vive en el espacio . En este caso el operador de posición ${\displaystyle D_{X}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle L^{2}}$
   $${\displaystyle X:D_{X}\to L^{2}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$
   revela no continuo (ilimitado con respecto a la topología inducida por el producto escalar canónico de ), sin vectores propios, sin valores propios, en consecuencia con un espectro propio vacío (colección de sus valores propios). ${\displaystyle L^{2}}$
2. El operador de posición se define en el espacio de funciones de Schwartz con valores complejos (funciones complejas suaves definidas sobre la línea real y que decrecen rápidamente en el infinito con todas sus derivadas). El producto de una función de Schwartz por incrustación vive siempre en el espacio , que es un subconjunto de . En este caso el operador de posición ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$
   $${\displaystyle X:{\mathcal {S}}_{1}\to {\mathcal {S}}_{1}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$
   revela continuo (con respecto a la topología canónica de ), inyectivo, sin vectores propios, sin valores propios, en consecuencia con espectro propio vacío (colección de sus valores propios). Es (completamente) autoadjunto con respecto al producto escalar de en el sentido de que ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$
   $${\displaystyle \langle X(\psi )|\phi \rangle =\langle \psi |X(\phi )\rangle ,}$$
   para cada uno y perteneciente a su dominio . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$
3. Esta es, en la práctica, la opción más adoptada en la literatura sobre mecánica cuántica, aunque nunca se subraya explícitamente. El operador de posición se define en el espacio de distribuciones templadas valoradas complejas (dual topológico del espacio funcional de Schwartz ). El producto de una distribución templada por la incrustación vive siempre en el espacio que lo contiene . En este caso el operador de posición ${\displaystyle {\mathcal {S}}'_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}'_{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$
   $${\displaystyle X:{\mathcal {S}}'_{1}\to {\mathcal {S}}'_{1}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$
   revela continuo (con respecto a la topología canónica de ), sobreyectivo, dotado de familias completas de vectores propios, valores propios reales y con espectro propio (colección de sus valores propios) igual a la recta real. Es autoadjunto con respecto al producto escalar de en el sentido de que su operador transpuesto ${\displaystyle {\mathcal {S}}'_{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$
   $${\displaystyle {}^{t}X:{\mathcal {S}}_{1}\to {\mathcal {S}}_{1}:\phi \mapsto \mathrm {x} \phi ,}$$
   que es el operador de posición en el espacio funcional de Schwartz, es autoadjunto:
   $${\displaystyle \left\langle \left.\,{}^{t}X(\phi )\right|\psi \right\rangle =\left\langle \phi |\,{}^{t}X(\psi )\right\rangle ,}$$
   para cada función (de prueba) y perteneciente al espacio . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$

Estados propios

Las funciones propias del operador de posición (en el espacio de distribuciones templadas), representadas en el espacio de posiciones , son funciones delta de Dirac .

Prueba informal. Para mostrar que los posibles vectores propios del operador de posición deben ser necesariamente distribuciones delta de Dirac, supongamos quees un estado propio del operador de posición con valor propio. Escribimos la ecuación de valores propios en coordenadas de posición, ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x_{0}}$

$${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}\psi (x)=\mathrm {x} \psi (x)=x_{0}\psi (x)}$$

recordando que simplemente multiplica las funciones de onda por la función , en la representación de posición. Dado que la función es variable mientras que es constante, debe ser cero en todas partes excepto en el punto . Claramente, ninguna función continua satisface tales propiedades, y no podemos definir simplemente la función de onda como un número complejo en ese punto porque su norma sería 0 y no 1. Esto sugiere la necesidad de un "objeto funcional" concentrado en el punto. punto y con integral distinta de 0: cualquier múltiplo del delta de Dirac con centro en . QED ${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}}$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

La solución normalizada de la ecuación.

$${\displaystyle \mathrm {x} \psi =x_{0}\psi }$$

$${\displaystyle \psi (x)=\delta (x-x_{0}),}$$

$${\displaystyle \psi =\delta _{x_{0}}.}$$

Prueba. Aquí demostramos rigurosamente que

$${\displaystyle \mathrm {x} \delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0}}.}$$

De hecho, recordando que el producto de cualquier función por la distribución de Dirac centrada en un punto es el valor de la función en ese punto multiplicado por la distribución de Dirac misma, obtenemos inmediatamente

$${\displaystyle \mathrm {x} \delta _{x_{0}}=\mathrm {x} (x_{0})\delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0}}.}$$

Significado de la onda delta de Dirac. Aunque tales estados de Dirac son físicamente irrealizables y, estrictamente hablando, no son funciones, la distribución de Dirac centrada en puede considerarse como un "estado ideal" cuya posición se conoce exactamente (cualquier medida de la posición siempre devuelve el valor propio ). Por tanto, según el principio de incertidumbre , no se sabe nada sobre el impulso de tal estado. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Tres dimensiones

La generalización a tres dimensiones es sencilla.

La función de onda espacio-temporal es ahora y el valor esperado del operador de posición en el estado es ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \left\langle {\hat {\mathbf {r} }}\right\rangle _{\psi }=\int \mathbf {r} |\psi |^{2}d^{3}\mathbf {r} }$$

$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} \psi =\mathbf {r} \psi .}$$

Espacio de impulso

Generalmente, en mecánica cuántica, por representación en el espacio de momento entendemos la representación de estados y observables con respecto a la base canónica del momento unitario.

$${\displaystyle \eta =\left(\left[(2\pi \hbar )^{-{\frac {1}{2}}}e^{(\iota /\hbar )(\mathrm {x} |p)}\right]\right)_{p\in \mathbb {R} }.}$$

En el espacio de impulso , el operador de posición en una dimensión está representado por el siguiente operador diferencial

$${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}=i\hbar {\frac {d}{d\mathrm {p} }}=i{\frac {d}{d\mathrm {k} }},}$$

dónde:

• la representación del operador de posición en la base del momento está naturalmente definida por , para cada función de onda (distribución templada) ; ${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}(\psi )_{P}=\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)_{P}}$ ${\displaystyle \psi }$
• ${\displaystyle \mathrm {p} }$representa la función de coordenadas en la línea de impulso y la función de vector de onda está definida por . ${\displaystyle \mathrm {k} }$ ${\displaystyle \mathrm {k} =\mathrm {p} /\hbar }$

Formalismo en L 2 ( R , C )

Consideremos, por ejemplo, el caso de una partícula sin espín que se mueve en una dimensión espacial (es decir, en una línea). El espacio de estados para tal partícula contiene el espacio L 2 ( espacio de Hilbert ) de funciones de valores complejos e integrables al cuadrado (con respecto a la medida de Lebesgue ) en la línea real . ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$

El operador de posición en , ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle Q:D_{Q}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\psi \mapsto \mathrm {q} \psi ,}$$

^{[2] [3]}

$${\displaystyle Q(\psi )(x)=x\psi (x)=\mathrm {q} (x)\psi (x),}$$

x ${\displaystyle \psi \in D_{Q}}$

$${\displaystyle D_{Q}=\left\{\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\mid \mathrm {q} \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\right\},}$$

${\displaystyle \mathrm {q} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

Dado que todas las funciones continuas con soporte compacto se encuentran en D ( Q ), Q está densamente definido . Q , al ser simplemente una multiplicación por x , es un operador autoadjunto , por lo que satisface el requisito de un observable de mecánica cuántica.

Inmediatamente de la definición podemos deducir que el espectro consiste en toda la línea real y que Q tiene un espectro puramente continuo , por lo tanto, no tiene valores propios discretos .

El caso tridimensional se define de manera análoga. Mantendremos el supuesto unidimensional en la siguiente discusión.

Teoría de la medida en L 2 ( R , C )

Como ocurre con cualquier observable de mecánica cuántica , para analizar la medición de la posición , necesitamos calcular la resolución espectral del operador de posición.

$${\displaystyle X:D_{X}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$

$${\displaystyle X=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\mu _{X}(\lambda )=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} \,\mu _{X}=\mu _{X}(\mathrm {x} ),}$$

${\displaystyle \mu _{X}}$

Dado que el operador de es simplemente el operador de multiplicación por la función de incrustación , su resolución espectral es simple. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$

Para un subconjunto de Borel de la línea real, denotemos la función indicadora de . Vemos que la medida valorada en proyección ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \chi _{B}}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle \mu _{X}:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to \mathrm {Pr} ^{\perp }\left(L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )\right)}$$

$${\displaystyle \mu _{X}(B)(\psi )=\chi _{B}\psi ,}$$

${\displaystyle \mu _{X}(B)}$ ${\displaystyle B}$

Por lo tanto, si el sistema está preparado en un estado , entonces la probabilidad de que la posición medida de la partícula pertenezca a un conjunto de Borel es ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle \|\mu _{X}(B)(\psi )\|^{2}=\|\chi _{B}\psi \|^{2}=\int _{B}|\psi |^{2}\ \mu =\pi _{X}(\psi )(B),}$$

${\displaystyle \mu }$

Después de cualquier medición destinada a detectar la partícula dentro del subconjunto B, la función de onda colapsa a cualquiera de los dos

$${\displaystyle {\frac {\mu _{X}(B)\psi }{\|\mu _{X}(B)\psi \|}}={\frac {\chi _{B}\psi }{\|\chi _{B}\psi \|}}}$$

$${\displaystyle {\frac {(1-\chi _{B})\psi }{\|(1-\chi _{B})\psi \|}},}$$

${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$

Ver también

• Espacio de posición y momento
• Operador de momento
• Operador de traducción (mecánica cuántica)

Referencias

1. Atkins, PW (1974). Quanta: un manual de conceptos . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-855493-1.
2. McMahon, D. (2006). Mecánica cuántica desmitificada (2ª ed.). Mc Graw Hill. ISBN 0-07-145546-9.
3. Peleg, Y.; Pnini, R.; Zaarur, E.; Hecht, E. (2010). Mecánica cuántica (2ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0071623582.