Topología vaga

En matemáticas , particularmente en el área de análisis funcional y espacios vectoriales topológicos , la topología vaga es un ejemplo de la topología débil* que surge en el estudio de medidas en espacios de Hausdorff localmente compactos .

Sea un espacio de Hausdorff localmente compacto . Sea el espacio de medidas complejas de Radon en y denote el dual del espacio de Banach de funciones continuas complejas en que se desvanecen en el infinito dotado de la norma uniforme . Por el teorema de representación de Riesz es isométrico a La isometría asigna una medida a una función lineal ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M(X)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C_{0}(X)^{*}}$ ${\displaystyle C_{0}(X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X)^{*}.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle I_{\mu }(f):=\int _{X}f\,d\mu .}$

La topología vaga es la topología débil-* en La topología correspondiente en inducida por la isometría de también se llama topología vaga en Por lo tanto, en particular, una secuencia de medidas converge vagamente a una medida siempre que para todas las funciones de prueba ${\displaystyle C_{0}(X)^{*}.}$ ${\displaystyle M(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X)^{*}}$ ${\displaystyle M(X).}$ ${\displaystyle \left(\mu _{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f\in C_{0}(X),}$

${\displaystyle \int _{X}fd\mu _{n}\to \int _{X}fd\mu .}$

Tampoco es raro definir la topología vaga por dualidad con funciones continuas que tienen soporte compacto , es decir, una secuencia de medidas converge vagamente a una medida siempre que la convergencia anterior se cumpla para todas las funciones de prueba . Esta construcción da lugar a una topología diferente. En particular, la topología definida por dualidad con puede ser metrizable mientras que la topología definida por dualidad con no lo es. ${\displaystyle C_{c}(X),}$ ${\displaystyle \left(\mu _{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f\in C_{c}(X).}$ ${\displaystyle C_{c}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$

Una aplicación de esto es la teoría de la probabilidad : por ejemplo, el teorema del límite central es esencialmente una afirmación de que si son las medidas de probabilidad para ciertas sumas de variables aleatorias independientes , entonces convergen débilmente (y luego vagamente) a una distribución normal , es decir, la medida es "aproximadamente normal" para grandes ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Véase también

• Lista de topologías  – Lista de topologías concretas y espacios topológicos

Referencias

• Dieudonné, Jean (1970), "§13.4. La topología vaga", Tratado de análisis , vol. II, Academic Press.
• GB Folland , Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones, 2.a ed., John Wiley & Sons, Inc., 1999.

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