Diádicas

Tensor de segundo orden en álgebra vectorial

En matemáticas , específicamente en álgebra multilineal , un tensor diádico o diádico es un tensor de segundo orden , escrito en una notación que se ajusta al álgebra vectorial .

Existen numerosas formas de multiplicar dos vectores euclidianos . El producto escalar toma dos vectores y devuelve un escalar , mientras que el producto vectorial ^[a] devuelve un pseudovector . Ambos tienen varias interpretaciones geométricas significativas y se utilizan ampliamente en matemáticas, física e ingeniería . El producto diádico toma dos vectores y devuelve un tensor de segundo orden llamado diádico en este contexto. Un diádico se puede utilizar para contener información física o geométrica, aunque en general no hay una forma directa de interpretarlo geométricamente.

El producto diádico es distributivo respecto de la suma de vectores y asociativo respecto de la multiplicación escalar . Por lo tanto, el producto diádico es lineal en ambos operandos. En general, se pueden sumar dos diádicos para obtener otro diádico y multiplicarlos por números para escalar el diádico. Sin embargo, el producto no es conmutativo ; cambiar el orden de los vectores da como resultado un diádico diferente.

El formalismo del álgebra diádica es una extensión del álgebra vectorial que incluye el producto diádico de vectores. El producto diádico también es asociativo con los productos puntuales y cruzados con otros vectores, lo que permite combinar los productos puntuales, cruzados y diádicos para obtener otros escalares, vectores o diádicos.

También tiene algunos aspectos del álgebra matricial , ya que los componentes numéricos de los vectores se pueden organizar en vectores fila y columna , y los de los tensores de segundo orden en matrices cuadradas . Además, los productos puntuales, cruzados y diádicos se pueden expresar en forma matricial. Las expresiones diádicas pueden parecerse mucho a los equivalentes matriciales.

El producto escalar de una diádica con un vector da otro vector, y tomando el producto escalar de este resultado se obtiene un escalar derivado de la diádica. El efecto que una determinada diádica tiene sobre otros vectores puede proporcionar interpretaciones físicas o geométricas indirectas.

La notación diádica fue establecida por primera vez por Josiah Willard Gibbs en 1884. La notación y la terminología son relativamente obsoletas en la actualidad. Sus usos en física incluyen la mecánica de medios continuos y el electromagnetismo .

En este artículo, las variables en negrita y mayúsculas denotan diádicas (incluidas las díadas), mientras que las variables en negrita y minúsculas denotan vectores. Una notación alternativa utiliza barras dobles y simples, respectivamente, por encima o por debajo.

Definiciones y terminología

Productos diádicos, externos y tensoriales

Una díada es un tensor de orden dos y rango uno, y es el producto diádico de dos vectores ( vectores complejos en general), mientras que un diádico es un tensor general de orden dos (que puede ser de rango completo o no).

Existen varios términos y notaciones equivalentes para este producto:

• el producto diádico de dos vectores y se denota por (yuxtapuestos; sin símbolos, signos de multiplicación, cruces, puntos, etc.) ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} }$
• el producto externo de dos vectores columna y se denota y define como o , donde significa transpuesta , ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$
• el producto tensorial de dos vectores y se denota , ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} }$

En el contexto diádico, todos tienen la misma definición y significado, y se utilizan como sinónimos, aunque el producto tensorial es un ejemplo del uso más general y abstracto del término.

Espacio euclidiano tridimensional

Para ilustrar el uso equivalente, considere el espacio euclidiano tridimensional , siendo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} \end{aligned}}}$

sean dos vectores donde _{i, j, k (también denominados e1, e2, e3} ) son los vectores base estándar en este espacio vectorial ( ver también coordenadas cartesianas ₎ . Entonces el producto diádico de _a y b puede representarse como una suma:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {ab} =\qquad &a_{1}b_{1}\mathbf {ii} +a_{1}b_{2}\mathbf {ij} +a_{1}b_{3}\mathbf {ik} \\{}+{}&a_{2}b_{1}\mathbf {ji} +a_{2}b_{2}\mathbf {jj} +a_{2}b_{3}\mathbf {jk} \\{}+{}&a_{3}b_{1}\mathbf {ki} +a_{3}b_{2}\mathbf {kj} +a_{3}b_{3}\mathbf {kk} \end{aligned}}}$

o por extensión a partir de vectores fila y columna, una matriz 3×3 (también resultado del producto externo o producto tensorial de a y b ):

${\displaystyle \mathbf {ab} \equiv \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \equiv \mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{pmatrix}}.}$

Una díada es un componente de la diádica (un monomio de la suma o equivalentemente una entrada de la matriz): el producto diádico de un par de vectores base escalares multiplicado por un número.

Así como los vectores base (y unitarios) estándar i , j , k , tienen las representaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} &={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {j} &={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {k} &={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

(que se pueden transponer), las díadas base (y unidad) estándar tienen la representación:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {ii} &={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ij} &={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ik} &={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ji} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ki} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Para un ejemplo numérico simple en la base estándar:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=2\mathbf {ij} +{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathbf {ji} -8\pi \mathbf {jk} +{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\mathbf {kk} \\[2pt]&=2{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-8\pi {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\[2pt]&={\begin{pmatrix}0&2&0\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&0&-8\pi \\0&0&{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

norte-espacio euclidiano dimensional

Si el espacio euclidiano es N - dimensional , y

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\mathbf {e} _{i}=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+{\ldots }+a_{N}\mathbf {e} _{N}\\\mathbf {b} &=\sum _{j=1}^{N}b_{j}\mathbf {e} _{j}=b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +b_{N}\mathbf {e} _{N}\end{aligned}}}$

donde e _i y e _j son los vectores base estándar en N -dimensiones (el índice i en e _i selecciona un vector específico, no un componente del vector como en a _i ), entonces en forma algebraica su producto diádico es:

${\displaystyle \mathbf {ab} =\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{N}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}.}$

Esto se conoce como la forma no iónica de la diádica. Su producto externo/tensor en forma matricial es:

${\displaystyle \mathbf {ab} =\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots &a_{1}b_{N}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots &a_{2}b_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{N}b_{1}&a_{N}b_{2}&\cdots &a_{N}b_{N}\end{pmatrix}}.}$

Un polinomio diádico A , también conocido como diádico, se forma a partir de múltiples vectores a _i y b _j :

${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {a} _{1}\mathbf {b} _{1}+\mathbf {a} _{2}\mathbf {b} _{2}+\mathbf {a} _{3}\mathbf {b} _{3}+\ldots }$

Se dice que una diádica que no se puede reducir a una suma de menos de N díadas es completa. En este caso, los vectores que la forman no son coplanares, ^{[ dudoso – discutir ]} véase Chen (1983).

Clasificación

La siguiente tabla clasifica las diádicas:

Identidades

Las siguientes identidades son una consecuencia directa de la definición del producto tensorial: ^[1]

1. Compatible con la multiplicación escalar :

   ${\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\mathbf {b} =\mathbf {a} (\alpha \mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} \mathbf {b} )}$

   para cualquier escalar . ${\displaystyle \alpha }$
2. Distributiva sobre suma vectorial :

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {a} \mathbf {c} \\(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\mathbf {c} &=\mathbf {a} \mathbf {c} +\mathbf {b} \mathbf {c} \end{aligned}}}$

Álgebra diádica

Producto de diádico y vectorial

Hay cuatro operaciones definidas sobre un vector y una diádica, construidas a partir de los productos definidos sobre vectores.

Producto de diádico y diádico

Hay cinco operaciones para que una diádica se convierta en otra diádica. Sean a , b , c , d vectores reales. Entonces:

Dejar

${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i},\quad \mathbf {B} =\sum _{j}\mathbf {c} _{j}\mathbf {d} _{j}}$

sean dos diádicas generales, tenemos:

Producto de doble punto

La primera definición del producto de doble punto es el producto interno de Frobenius ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\right)\\&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\right)\\&=\sum _{i,j}(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j})(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j})\\&=\mathbf {A} {}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {B} \end{aligned}}}$

Además, dado que,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}&=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{j}^{\mathsf {T}}\right)^{\mathsf {T}}\\&=\sum _{i,j}\mathbf {b} _{i}\mathbf {a} _{j}^{\mathsf {T}}\end{aligned}}}$

lo entendemos,

${\displaystyle \mathbf {A} {}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {B} =\mathbf {A} {\underline {{}_{\centerdot }^{\centerdot }}}\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}}$

Por lo tanto, la segunda definición posible del producto de doble punto es simplemente la primera con una transposición adicional en la segunda diádica. Por estas razones, se prefiere la primera definición del producto de doble punto, aunque algunos autores aún usan la segunda.

Producto de doble cruzamiento

Podemos ver que, para cualquier díada formada por dos vectores a y b , su producto cruzado doble es cero.

${\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\times }\left(\mathbf {ab} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {a} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {b} \right)=0}$

Sin embargo, por definición, un producto doble cruzado diádico sobre sí mismo generalmente no será cero. Por ejemplo, un A diádico compuesto por seis vectores diferentes

${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}}$

tiene un producto doble cruzado propio distinto de cero

${\displaystyle \mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} =2\left[\left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)\left(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}\right)+\left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)\left(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}\right)+\left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)\left(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1}\right)\right]}$

Contracción tensorial

El factor de expansión o espolón surge de la expansión formal de la diádica en una base de coordenadas al reemplazar cada producto diádico por un producto escalar de vectores:

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |=\qquad &A_{11}\mathbf {i} \cdot \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \cdot \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \cdot \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \cdot \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \cdot \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \cdot \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{11}+A_{22}+A_{33}\end{aligned}}}$

En notación de índice, esta es la contracción de los índices en la diádica:

${\displaystyle |\mathbf {A} |=\sum _{i}A_{i}{}^{i}}$

Sólo en tres dimensiones, el factor de rotación surge al reemplazar cada producto diádico por un producto vectorial.

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} \rangle =\qquad &A_{11}\mathbf {i} \times \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \times \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \times \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \times \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \times \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{12}\mathbf {k} -A_{13}\mathbf {j} -A_{21}\mathbf {k} \\{}+{}&A_{23}\mathbf {i} +A_{31}\mathbf {j} -A_{32}\mathbf {i} \\[6pt]=\qquad &\left(A_{23}-A_{32}\right)\mathbf {i} +\left(A_{31}-A_{13}\right)\mathbf {j} +\left(A_{12}-A_{21}\right)\mathbf {k} \\\end{aligned}}}$

En notación de índice, esta es la contracción de A con el tensor de Levi-Civita.

${\displaystyle \langle \mathbf {A} \rangle =\sum _{jk}{\epsilon _{i}}^{jk}A_{jk}.}$

Unidad diádica

Existe una unidad diádica, denotada por I , tal que, para cualquier vector a ,

${\displaystyle \mathbf {I} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} =\mathbf {a} }$

Dada una base de 3 vectores a , b y c , con base recíproca , la diádica unitaria se expresa por ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }},{\hat {\mathbf {b} }},{\hat {\mathbf {c} }}}$

${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {a} {\hat {\mathbf {a} }}+\mathbf {b} {\hat {\mathbf {b} }}+\mathbf {c} {\hat {\mathbf {c} }}}$

En la base estándar (para las definiciones de i , j , k, véase la sección anterior § Espacio euclidiano tridimensional ),

${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {ii} +\mathbf {jj} +\mathbf {kk} }$

Explícitamente, el producto escalar a la derecha de la unidad diádica es

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} &=(\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\cdot \mathbf {a} \\&=\mathbf {i} (\mathbf {i} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {j} (\mathbf {j} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {k} (\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} )\\&=\mathbf {i} a_{x}+\mathbf {j} a_{y}+\mathbf {k} a_{z}\\&=\mathbf {a} \end{aligned}}}$

y a la izquierda

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} &=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {i} )\mathbf {i} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {j} )\mathbf {j} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {k} \\&=a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} \\&=\mathbf {a} \end{aligned}}}$

La matriz correspondiente es

${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

Esto se puede plantear sobre bases más cuidadosas (explicando lo que podría significar el contenido lógico de la "notación yuxtapuesta") utilizando el lenguaje de los productos tensoriales. Si V es un espacio vectorial de dimensión finita , un tensor diádico en V es un tensor elemental en el producto tensorial de V con su espacio dual .

El producto tensorial de V y su espacio dual es isomorfo al espacio de aplicaciones lineales de V a V : un tensor diádico vf es simplemente la aplicación lineal que envía cualquier w en V a f ( w ) v . Cuando V es un n -espacio euclidiano, podemos usar el producto interno para identificar el espacio dual con V mismo, haciendo que un tensor diádico sea un producto tensorial elemental de dos vectores en el espacio euclidiano.

En este sentido, la unidad diádica ij es la función del 3-espacio a sí misma que envía a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k a a ₂ i , y jj envía esta suma a a ₂ j . Ahora se revela en qué sentido (preciso) ii + jj + kk es la identidad: envía a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k a sí misma porque su efecto es sumar cada vector unitario en la base estándar escalada por el coeficiente del vector en esa base.

Propiedades de las diádicas unitarias

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {I} \right)\cdot \left(\mathbf {b} \times \mathbf {I} \right)&=\mathbf {ba} -\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\mathbf {I} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\mathbf {b} \times \mathbf {a} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} &=(\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\mathbf {I} )\mathbf {I} -\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\\\mathbf {I} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\left(\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathrm {tr} \left(\mathbf {ab} \right)\end{aligned}}}$

donde "tr" denota la traza .

Ejemplos

Proyección y rechazo de vectores

Un vector a distinto de cero siempre se puede dividir en dos componentes perpendiculares, uno paralelo (‖) a la dirección de un vector unitario n , y uno perpendicular (⊥) a él;

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp }}$

El componente paralelo se encuentra por proyección vectorial , que es equivalente al producto escalar de a con la diádica nn ,

${\displaystyle \mathbf {a} _{\parallel }=\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a} }$

y el componente perpendicular se encuentra a partir del rechazo vectorial , que es equivalente al producto escalar de a con la diádica I − nn ,

${\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }=\mathbf {a} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {I} -\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a} }$

Rotación diádica

Rotaciones 2d

La diádica

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {ji} -\mathbf {ij} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$

es un operador de rotación de 90° en sentido antihorario en 2d. Se puede puntear a la izquierda con un vector r = x i + y j para producir el vector,

${\displaystyle (\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {ji} \cdot \mathbf {i} -x\mathbf {ij} \cdot \mathbf {i} +y\mathbf {ji} \cdot \mathbf {j} -y\mathbf {ij} \cdot \mathbf {j} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j} ,}$

en resumen

${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\mathrm {rot} }}$

o en notación matricial

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}.}$

Para cualquier ángulo θ , la diádica de rotación 2d para una rotación en sentido antihorario en el plano es

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +\mathbf {J} \sin \theta =(\mathbf {ii} +\mathbf {jj} )\cos \theta +(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\sin \theta ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\;\cos \theta \end{pmatrix}}}$

donde I y J son como arriba, y la rotación de cualquier vector 2d a = a _x i + a _y j es

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} }$

Rotaciones 3D

Se puede realizar una rotación general 3D de un vector a , alrededor de un eje en la dirección de un vector unitario ω y en sentido antihorario a través del ángulo θ , utilizando la fórmula de rotación de Rodrigues en la forma diádica

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} \,,}$

donde la rotación diádica es

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +{\boldsymbol {\Omega }}\sin \theta +{\boldsymbol {\omega \omega }}(1-\cos \theta )\,,}$

y las entradas cartesianas de ω también forman las de la diádica

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\omega _{x}(\mathbf {kj} -\mathbf {jk} )+\omega _{y}(\mathbf {ik} -\mathbf {ki} )+\omega _{z}(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\,,}$

El efecto de Ω sobre a es el producto vectorial

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} }$

que es la forma diádica de la matriz producto vectorial con un vector columna.

Transformación de Lorentz

En relatividad especial , el impulso de Lorentz con velocidad v en la dirección de un vector unitario n se puede expresar como

${\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {r} '=[\mathbf {I} +(\gamma -1)\mathbf {nn} ]\cdot \mathbf {r} -\gamma v\mathbf {n} t}$

dónde

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

es el factor de Lorentz .

Términos relacionados

Algunos autores generalizan el término diádico a términos relacionados triádico , tetrádico y poliádico . ^[2]

Véase también

• Producto Kronecker
• Bivector
• Álgebra poliádica
• Vector unitario
• Multivector
• Forma diferencial
• Cuaterniones
• Campo (matemáticas)

Notas

Notas explicativas

1. El producto vectorial solo existe en espacios de producto interno orientados en tres y siete dimensiones y solo tiene buenas propiedades en espacios de producto interno tridimensionales. El producto exterior relacionado existe para todos los espacios vectoriales.

Citas

1. Spencer (1992), página 19.
2. Por ejemplo, IV Lindell y AP Kiselev (2001). "Métodos poliádicos en elastodinámica" (PDF) . Avances en la investigación electromagnética . 31 : 113–154. doi : 10.2528/PIER00051701 .

Referencias

• P. Mitiguy (2009). "Vectores y diádicas" (PDF) . Stanford , Estados Unidos.Capítulo 2
• Spiegel, señor; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Análisis vectorial, esquemas de Schaum . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
• AJM Spencer (1992). Mecánica del medio continuo . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43594-6..
• Morse, Philip M.; Feshbach, Herman (1953), "§1.6: Diádicas y otros operadores vectoriales", Métodos de física teórica, Volumen 1 , Nueva York: McGraw-Hill , págs. 54–92, ISBN 978-0-07-043316-8, Sr.  0059774.
• Ismo V. Lindell (1996). Métodos para el análisis de campos electromagnéticos . Wiley-Blackwell. ISBN 978-0-7803-6039-6..
• Hollis C. Chen (1983). Teoría de las ondas electromagnéticas: un enfoque sin coordenadas . McGraw Hill. ISBN 978-0-07-010688-8..
• K. Cahill (2013). Matemáticas físicas . Cambridge University Press. ISBN 978-1107005211.

Enlaces externos

• Análisis vectorial, un libro de texto para uso de estudiantes de matemáticas y física, basado en las conferencias de J. Willard Gibbs PhD LLD, Edwind Bidwell Wilson PhD
• Teoría de campos avanzada, IVLindel
• Análisis vectorial y diádico
• Introducción al análisis tensorial
• Nasa.gov, Fundamentos del análisis tensorial para estudiantes de física e ingeniería con una introducción a la teoría de la relatividad, JC Kolecki
• Nasa.gov, Una introducción a los tensores para estudiantes de Física e Ingeniería, JC Kolecki