Desaparecer en el infinito

En matemáticas , se dice que una función se desvanece en el infinito si sus valores se aproximan a 0 a medida que la entrada crece sin límites. Hay dos formas diferentes de definir esto: una definición se aplica a funciones definidas en espacios vectoriales normados y la otra se aplica a funciones definidas en espacios localmente compactos . Aparte de esta diferencia, ambas nociones corresponden a la noción intuitiva de agregar un punto en el infinito y requerir que los valores de la función se acerquen arbitrariamente a cero a medida que uno se acerca a él. Esta definición se puede formalizar en muchos casos agregando un punto (real) en el infinito .

Definiciones

Se dice que una función en un espacio vectorial normado se desvanece en el infinito si la función se acerca a medida que la entrada crece sin límites (es decir, cuando ). O bien, ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(x)\to 0}$ ${\displaystyle \|x\|\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }f(x)=0}$

en el caso específico de funciones sobre la recta real.

Por ejemplo, la función

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}$

definida en la recta real se desvanece en el infinito.

Alternativamente, una función en un espacio localmente compacto se desvanece en el infinito , si dado cualquier número positivo , existe un subconjunto compacto tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle K\subseteq \Omega }$

${\displaystyle |f(x)|<\varepsilon }$

siempre que el punto se encuentre fuera de ^{[1] [2]} En otras palabras, para cada número positivo , el conjunto tiene cierre compacto. Para un espacio localmente compacto dado, el conjunto de tales funciones ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \left\{x\in X:\|f(x)\|\geq \varepsilon \right\}}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {K} }$

valorado en el que es o forma un - espacio vectorial con respecto a la multiplicación y adición escalar puntual , que a menudo se denota ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle C_{0}(\Omega ).}$

A modo de ejemplo, la función

${\displaystyle h(x,y)={\frac {1}{x+y}}}$

donde y son reales mayores o iguales a 1 y corresponden al punto en se desvanece en el infinito. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 1}^{2}}$

Un espacio normado es localmente compacto si y solo si es de dimensión finita, por lo que en este caso particular hay dos definiciones diferentes de una función "que se desvanece en el infinito". Las dos definiciones podrían ser incoherentes entre sí: si en un espacio de Banach de dimensión infinita , entonces se desvanece en el infinito según la definición, pero no según la definición de conjunto compacto. ${\displaystyle f(x)=\|x\|^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f(x)\|\to 0}$

Disminuyendo rápidamente

Si se afina el concepto, se puede observar más de cerca la tasa de desaparición de funciones en el infinito. Una de las intuiciones básicas del análisis matemático es que la transformada de Fourier intercambia condiciones de suavidad con condiciones de tasa de desaparición en el infinito. Las funciones de prueba de rápida disminución de la teoría de distribución templada son funciones suaves que son

${\displaystyle O\left(|x|^{-N}\right)}$

para todos , como , y tales que todas sus derivadas parciales satisfacen también la misma condición. Esta condición se establece de modo que sea autodual bajo la transformada de Fourier, de modo que la teoría de distribución correspondiente de distribuciones templadas tendrá la misma propiedad. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle |x|\to \infty }$

Véase también

• Infinito  – Concepto matemático
• Línea real extendida proyectivamente  – Números reales con un punto añadido en el infinito
• Cero de una función  : punto donde el valor de la función es cero

Citas

1. "Función que se desvanece en el infinito - Enciclopedia de Matemáticas" www.encyclopediaofmath.org . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
2. "Desaparición en el infinito en nLab". ncatlab.org . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .

Referencias

• Hewitt, E y Stromberg, K (1963). Análisis real y abstracto . Springer-Verlag.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )