En matemáticas , una subálgebra C* hereditaria de un álgebra C* es un tipo particular de subálgebra C* cuya estructura está estrechamente relacionada con la del álgebra C* más grande. AC*-subálgebra B de A es una subálgebra C* hereditaria si para todos a ∈ A y b ∈ B tales que 0 ≤ a ≤ b , tenemos a ∈ B . [1]
Existe una correspondencia biyectiva entre los ideales cerrados de izquierda y las subálgebras C* hereditarias de A. Si L ⊂ A es un ideal izquierdo cerrado, sea L * la imagen de L bajo la operación *. El conjunto L * es un ideal recto y L * ∩ L es una subálgebra C*. De hecho, L * ∩ L es hereditario y la aplicación L ↦ L * ∩ L es una biyección. De esta correspondencia se deduce que todo ideal cerrado es una subálgebra C* hereditaria. Otro corolario es que una subálgebra C* hereditaria de un álgebra C* simple también es simple.
Si p es una proyección de A (o una proyección del álgebra multiplicadora de A ), entonces pAp es una subálgebra C* hereditaria conocida como esquina de A. De manera más general, dado un positivo a ∈ A , la clausura del conjunto aAa es la subálgebra C* hereditaria más pequeña que contiene a , denotada por Her( a ). Si A es separable , entonces toda subálgebra C* hereditaria tiene esta forma.
Estas subálgebras C* hereditarias pueden aportar alguna idea sobre la noción de subequivalencia de Cuntz. En particular, si a y b son elementos positivos de un C*-álgebra A , entonces si b ∈ Her( a ). Por lo tanto, a ~ b si Her( a ) = Her( b ).
Si A es unital y el elemento positivo a es invertible, entonces Her( a ) = A . Esto sugiere la siguiente noción para el caso no unital: se dice que a ∈ A es estrictamente positivo si Her( a ) = A . Por ejemplo, en el álgebra C* K ( H ) de operadores compactos que actúan en el espacio de Hilbert H , un operador compacto es estrictamente positivo si y sólo si su rango es denso en H . Un álgebra C* conmutativa contiene un elemento estrictamente positivo si y sólo si el espectro del álgebra es σ-compacto . De manera más general, un álgebra C* contiene un elemento estrictamente positivo si y sólo si el álgebra tiene una identidad aproximada secuencial .
