Operador compacto en el espacio Hilbert

En la disciplina matemática del análisis funcional , el concepto de operador compacto en el espacio de Hilbert es una extensión del concepto de matriz que actúa sobre un espacio vectorial de dimensión finita; En el espacio de Hilbert , los operadores compactos son precisamente el cierre de operadores de rango finito (representables por matrices de dimensión finita) en la topología inducida por la norma del operador . Como tal, los resultados de la teoría de matrices a veces pueden extenderse a operadores compactos utilizando argumentos similares. Por el contrario, el estudio de operadores generales en espacios de dimensión infinita requiere a menudo un enfoque genuinamente diferente.

Por ejemplo, la teoría espectral de operadores compactos en espacios de Banach adopta una forma muy similar a la forma canónica de matrices de Jordan. En el contexto de los espacios de Hilbert, una matriz cuadrada es unitariamente diagonalizable si y sólo si es normal . Un resultado correspondiente es válido para operadores compactos normales en espacios de Hilbert. En términos más generales, se puede abandonar el supuesto de compacidad. Como se indicó anteriormente, las técnicas utilizadas para probar resultados, por ejemplo, el teorema espectral , en el caso no compacto suelen ser diferentes e involucran medidas valoradas por el operador en el espectro .

Se discutirán algunos resultados para operadores compactos en el espacio de Hilbert, comenzando con las propiedades generales antes de considerar subclases de operadores compactos.

Definición

Sea un espacio de Hilbert y sea el conjunto de operadores acotados en . Entonces, se dice que un operador es un operador compacto si la imagen de cada conjunto acotado es relativamente compacta . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T\in L(H)}$ ${\displaystyle T}$

Algunas propiedades generales

En esta sección enumeramos algunas propiedades generales de los operadores compactos.

Si X e Y son espacios de Hilbert separables (de hecho, X Banach e Y normados serán suficientes), entonces T  : X → Y es compacto si y sólo si es secuencialmente continuo cuando se ve como un mapa desde X con la topología débil hasta Y (con la topología normal). (Ver (Zhu 2007, Teorema 1.14, p.11), y tenga en cuenta en esta referencia que la acotación uniforme se aplicará en la situación donde F ⊆ X satisface (∀φ ∈ Hom( X , K )) sup{ x** ( φ) = φ( x ): x } < ∞, donde K es el campo subyacente. Se aplica el principio de acotación uniforme ya que Hom( X , K ) con la topología normal será un espacio de Banach, y los mapas x**  : Hom ( X , K ) → K son homomorfismos continuos con respecto a esta topología.)

La familia de operadores compactos es una norma cerrada, bilateral, *-ideal en L ( H ). En consecuencia, un operador compacto T no puede tener un inverso acotado si H es de dimensión infinita. Si ST = TS = I , entonces el operador identidad sería compacto, una contradicción.

Si secuencias de operadores acotados B _n → B , C _n → C en la topología de operador fuerte y T es compacto, entonces converge a en norma. ^[1] Por ejemplo, considere el espacio de Hilbert con base estándar { e _n }. Sea P _m la proyección ortogonal en el tramo lineal de { e ₁ , ..., e _m }. La secuencia { P _m } converge fuertemente pero no de manera uniforme al operador de identidad I. Definir T por T es compacto y, como se afirmó anteriormente, P _m T → IT = T en la topología de operador uniforme: para todo x , ${\displaystyle B_{n}TC_{n}^{*}}$ ${\displaystyle BTC^{*}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbf {N} ),}$ ${\displaystyle Te_{n}={\tfrac {1}{n^{2}}}e_{n}.}$

$${\displaystyle \left\|P_{m}Tx-Tx\right\|\leq \left({\frac {1}{m+1}}\right)^{2}\|x\|.}$$

Observe que cada P _m es un operador de rango finito. Un razonamiento similar muestra que si T es compacto, entonces T es el límite uniforme de alguna secuencia de operadores de rango finito.

Por el carácter cerrado de las normas del ideal de los operadores compactos, lo contrario también es cierto.

El cociente C*-álgebra de L ( H ) módulo de los operadores compactos se llama álgebra de Calkin , en la que se pueden considerar las propiedades de un operador hasta la perturbación compacta.

Operador compacto autoadjunto

Se dice que un operador acotado T en un espacio de Hilbert H es autoadjunto si T = T* , o equivalentemente,

$${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle ,\quad x,y\in H.}$$

De ello se deduce que ⟨ Tx , x ⟩ es real para todo x ∈ H , por lo tanto los valores propios de T , cuando existen, son reales. Cuando un subespacio lineal cerrado L de H es invariante bajo T , entonces la restricción de T a L es un operador autoadjunto en L y, además, el complemento ortogonal L ^⊥ de L también es invariante bajo T. Por ejemplo, el espacio H se puede descomponer como la suma directa ortogonal de dos subespacios lineales cerrados T –invariantes: el núcleo de T y el complemento ortogonal (ker T ) ^⊥ del núcleo (que es igual al cierre del rango de T , para cualquier operador autoadjunto acotado). Estos hechos básicos juegan un papel importante en la demostración del siguiente teorema espectral.

El resultado de la clasificación para matrices hermitianas n × n es el teorema espectral : si M = M* , entonces M es unitariamente diagonalizable y la diagonalización de M tiene entradas reales. Sea T un operador compacto autoadjunto en un espacio de Hilbert H. Probaremos la misma afirmación para T : el operador T puede diagonalizarse mediante un conjunto ortonormal de vectores propios, cada uno de los cuales corresponde a un valor propio real.

Teorema espectral

Teorema Para cada operador compacto autoadjunto T en un espacio de Hilbert real o complejo H , existe una base ortonormal de H que consta de vectores propios de T. Más específicamente, el complemento ortogonal del núcleo de T admite una base ortonormal finita de vectores propios de T , o una base ortonormal contablemente infinita { e _n } de vectores propios de T , con sus correspondientes valores propios { λ _n } ⊂ R , tal que λ _norte → 0 .

En otras palabras, un operador autoadjunto compacto puede diagonalizarse unitariamente. Este es el teorema espectral.

Cuando H es separable , se puede mezclar la base { e _n } con una base ortonormal contable para el núcleo de T , y obtener una base ortonormal { f _n } para H , que consiste en vectores propios de T con valores propios reales { μ _n } tales que μ _norte → 0 .

Corolario Para cada operador compacto autoadjunto T en un espacio de Hilbert H real o complejo separable de dimensión infinita , existe una base ortonormal infinita numerable { f _n } de H que consta de vectores propios de T , con sus correspondientes valores propios { μ _n } ⊂ R , tal que μ _norte → 0 .

La idea

Analicemos primero la prueba de dimensión finita. Demuestra que el teorema espectral para una matriz hermitiana n × n T depende de mostrar la existencia de un vector propio x . Una vez hecho esto, Hermiticity implica que tanto el tramo lineal como el complemento ortogonal de x ( de dimensión n -1) son subespacios invariantes de T. El resultado deseado se obtiene luego por inducción para . ${\displaystyle T_{x^{\perp }}}$

La existencia de un vector propio se puede demostrar de (al menos) dos formas alternativas:

1. Se puede argumentar algebraicamente: el polinomio característico de T tiene una raíz compleja, por lo tanto T tiene un valor propio con un vector propio correspondiente.
2. Los valores propios se pueden caracterizar variacionalmente: El valor propio más grande es el máximo en la esfera unitaria cerrada de la función f : R ^{2 n} → R definida por f ( x ) = x*Tx = ⟨ Tx , x ⟩ .

Nota. En el caso de dimensión finita, parte del primer enfoque funciona con mucha mayor generalidad; cualquier matriz cuadrada, no necesariamente hermitiana, tiene un vector propio. Esto simplemente no es cierto para los operadores generales en espacios de Hilbert. En dimensiones infinitas, tampoco es inmediato cómo generalizar el concepto de polinomio característico.

El teorema espectral para el caso autoadjunto compacto se puede obtener de manera análoga: se encuentra un vector propio extendiendo el segundo argumento de dimensión finita anterior y luego se aplica la inducción. Primero esbozamos el argumento a favor de las matrices.

Dado que la esfera unitaria cerrada S en R ^{2 n} es compacta y f es continua, f ( S ) es compacta en la línea real, por lo tanto f alcanza un máximo en S , en algún vector unitario y . Según el teorema del multiplicador de Lagrange , y satisface

$${\displaystyle \nabla f=\nabla y^{*}Ty=\lambda \cdot \nabla y^{*}y}$$

Ty = λ y

Alternativamente, sea z ∈ C ⁿ cualquier vector. Observe que si un vector unitario y maximiza ⟨ Tx , x ⟩ en la esfera unitaria (o en la bola unitaria), también maximiza el cociente de Rayleigh :

$${\displaystyle g(x)={\frac {\langle Tx,x\rangle }{\|x\|^{2}}},\qquad 0\neq x\in \mathbf {C} ^{n}.}$$

Considere la función:

$${\displaystyle {\begin{cases}h:\mathbf {R} \to \mathbf {R} \\h(t)=g(y+tz)\end{cases}}}$$

Por cálculo, h ′(0) = 0 , es decir,

$${\displaystyle {\begin{aligned}h'(0)&=\lim _{t\to 0}{\frac {h(t)-h(0)}{t-0}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {g(y+tz)-g(y)}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left({\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle }{\|y+tz\|^{2}}}-{\frac {\langle Ty,y\rangle }{\|y\|^{2}}}\right)\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left({\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle -\langle Ty,y\rangle }{\|y\|^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{\|y\|^{2}}}\lim _{t\to 0}{\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle -\langle Ty,y\rangle }{t}}\\&={\frac {1}{\|y\|^{2}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle }{\langle y+tz,y+tz\rangle }}\right)(0)\\&=0.\end{aligned}}}$$

Definir:

$${\displaystyle m={\frac {\langle Ty,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}}$$

Después de un poco de álgebra, la expresión anterior se convierte en ( Re denota la parte real de un número complejo)

$${\displaystyle \operatorname {Re} (\langle Ty-my,z\rangle )=0.}$$

Pero z es arbitrario, por lo tanto Ty − my = 0 . Éste es el quid de la prueba del teorema espectral en el caso matricial.

Tenga en cuenta que si bien los multiplicadores de Lagrange se generalizan al caso de dimensión infinita, se pierde la compacidad de la esfera unitaria. Aquí es donde resulta útil la suposición de que el operador T sea compacto.

Detalles

Reclamación   Si T es un operador compacto autoadjunto en un espacio de Hilbert distinto de cero H y

$${\displaystyle m(T):=\sup {\bigl \{}|\langle Tx,x\rangle |:x\in H,\,\|x\|\leq 1{\bigr \}},}$$

mTmTT

Si m ( T ) = 0 , entonces T = 0 por la identidad de polarización , y este caso es claro. Considere la función

$${\displaystyle {\begin{cases}f:H\to \mathbf {R} \\f(x)=\langle Tx,x\rangle \end{cases}}}$$

Reemplazando T por − T si es necesario, se puede suponer que el supremo de f en la bola unitaria cerrada B ⊂ H es igual a m ( T ) > 0 . Si f alcanza su máximo m ( T ) en B en algún vector unitario y , entonces, por el mismo argumento usado para las matrices, y es un vector propio de T , con su correspondiente valor propio λ = ⟨ λy , y ⟩ = ⟨ Ty , y ⟩ = f ( y ) = m ( T ) .

Según el teorema de Banach-Alaoglu y la reflexividad de H , la bola unitaria cerrada B es débilmente compacta. Además, la compacidad de T significa (ver arriba) que T  : X con la topología débil → X con la topología normal es continua ^{[ disputada ]} . Estos dos hechos implican que f es continua en B equipado con la topología débil y, por lo tanto, f alcanza su máximo m en B en algún y ∈ B . Por maximalidad, lo que a su vez implica que y también maximiza el cociente de Rayleigh g ( x ) (ver arriba). Esto muestra que y es un vector propio de T y finaliza la prueba de la afirmación. ${\displaystyle \|y\|=1,}$

Nota. La compacidad de T es crucial. En general, f no necesita ser continua para la topología débil en la bola unitaria B. Por ejemplo, sea T el operador identidad, que no es compacto cuando H es de dimensión infinita. Tome cualquier secuencia ortonormal { y _n }. Entonces y _n converge débilmente a 0, pero lim f ( y _n ) = 1 ≠ 0 = f (0).

Sea T un operador compacto en un espacio de Hilbert H. Una secuencia ortonormal finita (posiblemente vacía) o contablemente infinita { e _n } de vectores propios de T , con sus correspondientes valores propios distintos de cero, se construye mediante inducción de la siguiente manera. Sea H ₀ = H y T ₀ = T . Si m ( T ₀ ) = 0, entonces T = 0 y la construcción se detiene sin producir ningún vector propio e _n . Supongamos que se han encontrado vectores propios ortonormales e ₀ , ..., e _{n − 1} de T. Entonces E _n  := span( e ₀ , ..., e _{n − 1} ) es invariante bajo T , y por autoadjunción, el complemento ortogonal H _n de En _n es un subespacio invariante de T . Sea T _n la restricción de T a H _n . Si m ( T _n ) = 0, entonces T _n = 0 y la construcción se detiene. De lo contrario, según la afirmación aplicada a T _n , existe una norma uno vector propio e _n de T en H _n , con el correspondiente valor propio distinto de cero λ _n = ± m ( T _n ) .

Sea F = (span{ e _n }) ^⊥ , donde { e _n } es la secuencia finita o infinita construida por el proceso inductivo; por autoadjunción, F es invariante bajo T . Sea S la restricción de T a F. Si el proceso se detuvo después de un número finito de pasos, con el último vector e _{m −1} , entonces F = H _m y S = T _m = 0 por construcción. En el caso infinito, la compacidad de T y la convergencia débil de e _n a 0 implican que Te _n = λ _n e _n → 0 , por lo tanto λ _n → 0 . Dado que F está contenido en H _n para cada n , se deduce que m ( S ) ≤ m ({ T _n }) = | λ _norte | para cada n , por lo tanto m ( S ) = 0. Esto implica nuevamente que S = 0 .

El hecho de que S = 0 significa que F está contenido en el núcleo de T. Por el contrario, si x ∈ ker( T ) entonces, por autoadjunción, x es ortogonal a todo vector propio { e _n } con valor propio distinto de cero. De ello se deduce que F = ker( T ) y que { e _n } es una base ortonormal para el complemento ortogonal del núcleo de T. Se puede completar la diagonalización de T seleccionando una base ortonormal del núcleo. Esto prueba el teorema espectral.

Una prueba más corta pero más abstracta es la siguiente: según el lema de Zorn , seleccione U para que sea un subconjunto máximo de H con las siguientes tres propiedades: todos los elementos de U son vectores propios de T , tienen norma uno y dos elementos distintos de U son ortogonales. Sea F el complemento ortogonal del tramo lineal de U. Si F ≠ {0}, es un subespacio invariante no trivial de T y, según la afirmación inicial, debe existir una norma, un vector propio y de T en F. Pero entonces U ∪ { y } contradice la maximalidad de U . De ello se deduce que F = {0}, por lo tanto, el intervalo ( U ) es denso en H. Esto muestra que U es una base ortonormal de H que consta de vectores propios de T.

calculo funcional

Si T es compacto en un espacio de Hilbert H de dimensión infinita , entonces T no es invertible, por lo tanto σ( T ), el espectro de T , siempre contiene 0. El teorema espectral muestra que σ( T ) consta de los valores propios { λ _n } de T y de 0 (si 0 aún no es un valor propio). El conjunto σ( T ) es un subconjunto compacto de números complejos, y los valores propios son densos en σ( T ).

Cualquier teorema espectral puede reformularse en términos de un cálculo funcional . En el contexto actual tenemos:

Teorema. Sea C (σ( T )) el álgebra C* de funciones continuas en σ( T ). Existe un homomorfismo isométrico único Φ : C (σ( T )) → L ( H ) tal que Φ(1) = I y, si f es la función identidad f ( λ ) = λ , entonces Φ( f ) = T . Además, σ( f ( T )) = f (σ( T )) .

El mapa de cálculo funcional Φ se define de forma natural: sea { e _n } una base ortonormal de vectores propios para H , con sus correspondientes valores propios { λ _n }; para f ∈ C (σ( T )) , el operador Φ( f ), diagonal con respecto a la base ortonormal { e _n }, se define estableciendo

$${\displaystyle \Phi (f)(e_{n})=f(\lambda _{n})e_{n}}$$

nf

$${\displaystyle \|\Phi (f)\|=\sup _{\lambda _{n}\in \sigma (T)}|f(\lambda _{n})|=\|f\|_{C(\sigma (T))}.}$$

Las otras propiedades de Φ pueden verificarse fácilmente. Por el contrario, cualquier homomorfismo Ψ que satisfaga los requisitos del teorema debe coincidir con Φ cuando f es un polinomio. Según el teorema de aproximación de Weierstrass , las funciones polinómicas son densas en C (σ( T )), y se deduce que Ψ = Φ . Esto muestra que Φ es único.

El cálculo funcional continuo más general se puede definir para cualquier operador lineal acotado autoadjunto (o incluso normal, en el caso complejo) en un espacio de Hilbert. El caso compacto descrito aquí es un ejemplo particularmente simple de este cálculo funcional.

Diagonalización simultánea

Considere un espacio de Hilbert H (por ejemplo, el C ⁿ de dimensión finita ) y un conjunto conmutador de operadores autoadjuntos. Luego, en condiciones adecuadas, se puede diagonalizar simultáneamente (unitariamente). Verbigracia. , existe una base ortonormal Q que consta de vectores propios comunes para los operadores, es decir, ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Hom} (H,H)}$

$${\displaystyle (\forall {q\in Q,T\in {\mathcal {F}}})(\exists {\sigma \in \mathbf {C} })(T-\sigma )q=0}$$

Lema  :  supongamos que todos los operadores son compactos. Entonces, cada subespacio cerrado invariante distinto de cero tiene un vector propio común para . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle S\subseteq H}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Prueba

Caso I: todos los operadores tienen cada uno exactamente un valor propio en . Tome cualquiera de longitud unitaria. Es un vector propio común. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S}$

Caso II: hay algún operador con al menos 2 valores propios on y let . Dado que T es compacto y α es distinto de cero, tenemos un subespacio invariante distinto de cero de dimensión finita (y por lo tanto cerrado) (debido a que todos los operadores conmutan con T , tenemos para y , eso ). En particular, dado que α es solo uno de los valores propios de on , definitivamente tenemos . Por lo tanto, en principio podríamos argumentar por inducción sobre dimensión, obteniendo que tiene un vector propio común para . ${\displaystyle T\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0\neq \alpha \in \sigma (T\upharpoonright S)}$ ${\displaystyle S':=\ker(T\upharpoonright S-\alpha )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle T'\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x\in \ker(T\upharpoonright S-\alpha )}$ ${\displaystyle (T-\alpha )(T'x)=(T'(T~x)-\alpha T'x)=0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \dim S'<\dim S}$ ${\displaystyle S'\subseteq S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Teorema 1  :  si todos los operadores son compactos, entonces los operadores se pueden diagonalizar simultáneamente (unitariamente). ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Prueba

El siguiente conjunto

$${\displaystyle \mathbf {P} =\{A\subseteq H:A{\text{ is an orthonormal set of common eigenvectors for }}{\mathcal {F}}\},}$$

está parcialmente ordenado por inclusión. Esto claramente tiene la propiedad Zorn. Entonces, tomando Q como miembro máximo, si Q es una base para todo el espacio de Hilbert H , hemos terminado. Si este no fuera el caso, entonces , es fácil ver que este sería un subespacio cerrado no trivial e invariante; y, por lo tanto, según el lema anterior, allí se encontraría un vector propio común para los operadores (necesariamente ortogonal a Q ). Pero entonces habría una extensión adecuada de Q dentro de P ; una contradicción con su maximalidad. ${\displaystyle S=\langle Q\rangle ^{\bot }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Teorema 2  :  si hay un operador compacto inyectivo en ; entonces los operadores pueden diagonalizarse simultáneamente (unitariamente). ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Prueba

Arreglar inyectable compacto. Entonces tenemos, según la teoría espectral de operadores simétricos compactos en espacios de Hilbert: ${\displaystyle T_{0}\in {\mathcal {F}}}$

$${\displaystyle H={\overline {\bigoplus _{\lambda \in \sigma (T_{0})}\ker(T_{0}-\sigma )}},}$$

donde es un subconjunto discreto y contable de números reales positivos, y todos los espacios propios son de dimensión finita. Dado que es un conjunto de conmutación, tenemos que todos los espacios propios son invariantes. Dado que los operadores restringidos a los espacios propios (que son de dimensión finita) son automáticamente todos compactos, podemos aplicar el Teorema 1 a cada uno de ellos y encontrar bases ortonormales Q _σ para . Como T ₀ es simétrico, tenemos que ${\displaystyle \sigma (T_{0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \ker(T_{0}-\sigma )}$

$${\displaystyle Q:=\bigcup _{\sigma \in \sigma (T_{0})}Q_{\sigma }}$$

es un conjunto ortonormal (contable). También es, según la descomposición que establecimos primero, una base para H.

Teorema 3  :  si H es un espacio de Hilbert de dimensión finita y un conjunto conmutativo de operadores, cada uno de los cuales es diagonalizable; entonces los operadores pueden diagonalizarse simultáneamente. ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Hom} (H,H)}$

Prueba

Caso I: todos los operadores tienen exactamente un valor propio. Entonces cualquier base para H servirá.

Caso II: Fije un operador con al menos dos valores propios y deje que sea un operador simétrico. Ahora sea α un valor propio de . Entonces es fácil ver que ambos: ${\displaystyle T_{0}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle P\in \operatorname {Hom} (H,H)^{\times }}$ ${\displaystyle P^{-1}T_{0}P}$ ${\displaystyle P^{-1}T_{0}P}$

$${\displaystyle \ker \left(P^{-1}~T_{0}(P-\alpha )\right),\quad \ker \left(P^{-1}~T_{0}(P-\alpha )\right)^{\bot }}$$

son subespacios invariantes no triviales . Por inducción sobre dimensión tenemos que existen bases linealmente independientes Q ₁ , Q ₂ para los subespacios, lo que demuestra que los operadores en pueden ser simultáneamente diagonalizables en los subespacios. Esto demuestra claramente que los operadores pueden diagonalizarse simultáneamente. ${\displaystyle P^{-1}{\mathcal {F}}P}$ ${\displaystyle P^{-1}{\mathcal {F}}P}$ ${\displaystyle P(Q_{1}\cup Q_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Observe que no tuvimos que utilizar directamente la maquinaria de matrices en esta prueba. Hay otras versiones que sí lo hacen.

Podemos reforzar lo anterior en el caso en el que todos los operadores simplemente conmutan con su adjunto; en este caso eliminamos el término "ortogonal" de la diagonalización. Hay resultados más débiles para los operadores que surgen de las representaciones debidas a Weyl-Peter. Sea G un grupo de Haardorff localmente compacto fijo, y (el espacio de funciones cuadradas integrables medibles con respecto a la medida de Haar única a escala en G ). Considere la acción de turno continuo: ${\displaystyle H=L^{2}(G)}$

$${\displaystyle {\begin{cases}G\times H\to H\\(gf)(x)=f(g^{-1}x)\end{cases}}}$$

Entonces, si G fuera compacto, entonces hay una descomposición única de H en una suma directa contable de subespacios invariantes, irreducibles y de dimensión finita (esto es esencialmente una diagonalización de la familia de operadores ). Si G no fuera compacto, sino abeliano, entonces no se logra la diagonalización, pero obtenemos una descomposición continua única de H en subespacios invariantes unidimensionales. ${\displaystyle G\subseteq U(H)}$

Operador normal compacto

La familia de matrices hermitianas es un subconjunto adecuado de matrices que son unitariamente diagonalizables. Una matriz M es unitariamente diagonalizable si y sólo si es normal, es decir, M*M = MM* . Afirmaciones similares se aplican a los operadores normales compactos.

Sea T compacto y T*T = TT* . Aplicar la descomposición cartesiana a T : definir

$${\displaystyle R={\frac {T+T^{*}}{2}},\quad J={\frac {T-T^{*}}{2i}}.}$$

Los operadores compactos autoadjuntos R y J se denominan partes real e imaginaria de T, respectivamente. T es compacto significa T* , en consecuencia, R y J son compactos. Además, la normalidad de T implica que R y J conmutan. Por lo tanto, se pueden diagonalizar simultáneamente, de lo que se desprende la afirmación.

Un operador compacto hiponormal (en particular, un operador subnormal ) es normal.

Operador unitario

El espectro de un operador unitario U se encuentra en el círculo unitario en el plano complejo; podría ser el círculo unitario completo. Sin embargo, si U es identidad más una perturbación compacta, U tiene sólo un espectro contable, que contiene 1 y posiblemente un conjunto finito o una secuencia que tiende a 1 en el círculo unitario. Más precisamente, supongamos U = I + C donde C es compacto. Las ecuaciones UU* = U*U = I y C = U − I muestran que C es normal. El espectro de C contiene 0, y posiblemente, un conjunto finito o una secuencia que tiende a 0. Dado que U = I + C , el espectro de U se obtiene desplazando el espectro de C en 1.

Ejemplos

• Sea H = L ² ([0, 1]) . El operador de multiplicación M definido por
  $${\displaystyle (Mf)(x)=xf(x),\quad f\in H,\,\,x\in [0,1]}$$
  es un operador autoadjunto acotado en H que no tiene vector propio y, por tanto, según el teorema espectral, no puede ser compacto.
• Un ejemplo de operador compacto en un espacio de Hilbert que no es autoadjunto es el operador de Volterra , definido para una función y un valor como ${\displaystyle f\in L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$
  $${\displaystyle V(f)(t)=\int _{0}^{t}f(s)\,ds.}$$
  Es el operador correspondiente a las ecuaciones integrales de Volterra .
• Defina un núcleo de Hilbert-Schmidt y su operador integral de Hilbert-Schmidt asociado como ${\displaystyle K:\Omega \times \Omega \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Omega =[0,1]}$ ${\displaystyle T_{K}:L^{2}(\Omega )\to L^{2}(\Omega )}$
  $${\displaystyle (T_{K}f)(x)=\int _{0}^{1}K(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y.}$$
  Entonces es un operador compacto; es un operador Hilbert-Schmidt con norma Hilbert-Schmidt . ${\displaystyle T_{K}}$ ${\displaystyle \|T_{k}\|_{\mathrm {HS} }=\|K\|_{L^{2}}}$
• ${\displaystyle T_{K}}$es un operador compacto autoadjunto si y sólo si es un núcleo hermitiano que, según el teorema de Mercer , puede representarse como ${\displaystyle K(x,y)}$
  $${\displaystyle K(x,y)=\sum \lambda _{n}\varphi _{n}(x){\overline {\varphi _{n}(y)}},}$$
  donde es una base ortonormal de vectores propios de , con valores propios y la suma converge absoluta y uniformemente en . ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}}$ ${\displaystyle T_{K}}$ ${\displaystyle \{\lambda _{n}\}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Ver también

• Álgebra de Calkin  : el cociente del anillo de operadores lineales acotados en el espacio de Hilbert separable de dimensión infinita por los operadores compactos idealesPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Operador compacto  – Tipo de operador lineal continuo
• Descomposición del espectro (análisis funcional)  : construcción en análisis funcional, útil para resolver ecuaciones diferenciales. Si se elimina el supuesto de compacidad, los operadores no necesitan tener espectro contable en general.
• Operador de Fredholm
• Descomposición de valores singulares # Operadores acotados en espacios de Hilbert  – Descomposición matricial: la noción de valores singulares se puede extender de matrices a operadores compactos.
• Teoría espectral de operadores compactos.
• Operador estrictamente singular

Referencias

1. Widom, H. (1976). "Comportamiento asintótico de determinantes y matrices de bloque de Toeplitz. II". Avances en Matemáticas . 21 (1): 1–29. doi : 10.1016/0001-8708(76)90113-4 .

• J. Blank, P. Exner y M. Havlicek, Operadores espaciales Hilbert en física cuántica , Instituto Americano de Física, 1994.
• M. Reed y B. Simon, Métodos de física matemática moderna I: análisis funcional , Academic Press, 1972.
• Zhu, Kehe (2007), Teoría del operador en espacios funcionales , Estudios y monografías matemáticas, vol. 138, Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0-8218-3965-2