En matemáticas , un operador integral de Hilbert-Schmidt es un tipo de transformada integral . Específicamente, dado un dominio Ω en el espacio euclidiano n - dimensional R n , entonces la función integrable al cuadrado k : Ω × Ω → C perteneciente a L 2 (Ω×Ω) tal que
se llama núcleo de Hilbert-Schmidt y el operador integral asociado T : L 2 (Ω) → L 2 (Ω) dado por
se llama operador integral de Hilbert-Schmidt . [1] [2] Entonces T es un operador de Hilbert-Schmidt con norma de Hilbert-Schmidt
Los operadores integrales de Hilbert-Schmidt son continuos y compactos . [3]
El concepto de operador de Hilbert-Schmidt puede extenderse a cualquier espacio de Hausdorff localmente compacto . Específicamente, sea L 2 ( X ) un espacio de Hilbert separable y X un espacio de Hausdorff localmente compacto equipado con una medida de Borel positiva . La condición inicial del núcleo k en Ω ⊆ R n puede reinterpretarse como exigir que k pertenezca a L 2 ( X × X ) . Entonces el operador
es compacto . Si
entonces T también es autoadjunto y por tanto se aplica el teorema espectral . Esta es una de las construcciones fundamentales de tales operadores, que a menudo reduce los problemas sobre espacios vectoriales de dimensión infinita a preguntas sobre espacios propios de dimensión finita bien entendidos. [4]
