Convergencia débil (espacio de Hilbert)

Tipo de convergencia en espacios de Hilbert

En matemáticas , la convergencia débil en un espacio de Hilbert es la convergencia de una secuencia de puntos en la topología débil .

Definición

Se dice que una secuencia de puntos en un espacio de Hilbert H converge débilmente a un punto x en H si ${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\langle x_{n},y\rangle =\langle x,y\rangle }$

para todo y en H . Aquí se entiende por producto interno en el espacio de Hilbert. la notación ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle x_{n}\rightharpoonup x}$

A veces se utiliza para denotar este tipo de convergencia.

Propiedades

• Si una secuencia converge fuertemente (es decir, si converge en norma), entonces también converge débilmente.
• Dado que todo conjunto cerrado y acotado es relativamente compacto débilmente (su cierre en la topología débil es compacto), toda secuencia acotada en un espacio de Hilbert H contiene una subsecuencia débilmente convergente. Tenga en cuenta que los conjuntos cerrados y acotados no son, en general, débilmente compactos en espacios de Hilbert (considere el conjunto que consiste en una base ortonormal en un espacio de Hilbert de dimensión infinita que es cerrado y acotado pero no débilmente compacto ya que no contiene 0). Sin embargo, los conjuntos acotados y débilmente cerrados son débilmente compactos, por lo que todo conjunto cerrado acotado convexo es débilmente compacto. ${\displaystyle x_{n}}$
• Como consecuencia del principio de acotación uniforme , toda secuencia débilmente convergente está acotada.
• La norma es (secuencialmente) débilmente semicontinua inferior : si converge débilmente a x , entonces ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle \Vert x\Vert \leq \liminf _{n\to \infty }\Vert x_{n}\Vert ,}$

y esta desigualdad es estricta siempre que la convergencia no sea fuerte. Por ejemplo, infinitas secuencias ortonormales convergen débilmente a cero, como se demuestra a continuación.

• Si es débil y , entonces es fuerte: ${\displaystyle x_{n}\to x}$ ${\displaystyle \lVert x_{n}\rVert \to \lVert x\rVert }$ ${\displaystyle x_{n}\to x}$

${\displaystyle \langle x-x_{n},x-x_{n}\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x_{n},x_{n}\rangle -\langle x_{n},x\rangle -\langle x,x_{n}\rangle \rightarrow 0.}$

• Si el espacio de Hilbert es de dimensión finita, es decir, un espacio euclidiano , entonces la convergencia débil y fuerte son equivalentes.

Ejemplo

Las primeras tres funciones de la secuencia en . Como converge débilmente a . ${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(nx)}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f=0}$

El espacio de Hilbert es el espacio de las funciones integrables al cuadrado en el intervalo equipado con el producto interno definido por ${\displaystyle L^{2}[0,2\pi ]}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{2\pi }f(x)\cdot g(x)\,dx,}$

(ver espacio L p ). La secuencia de funciones definida por ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$

${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(nx)}$

converge débilmente a la función cero en , como la integral ${\displaystyle L^{2}[0,2\pi ]}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(nx)\cdot g(x)\,dx.}$

tiende a cero para cualquier función integrable al cuadrado cuando llega al infinito, que es según el lema de Riemann-Lebesgue , es decir ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \langle f_{n},g\rangle \to \langle 0,g\rangle =0.}$

Aunque tiene un número creciente de ceros a medida que llega al infinito, por supuesto no es igual a la función cero para ninguno . Tenga en cuenta que no converge a 0 en las normas o . Esta disimilitud es una de las razones por las que este tipo de convergencia se considera "débil". ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$ ${\displaystyle L_{2}}$

Convergencia débil de secuencias ortonormales.

Considere una secuencia que fue construida para ser ortonormal, es decir, ${\displaystyle e_{n}}$

${\displaystyle \langle e_{n},e_{m}\rangle =\delta _{mn}}$

donde es igual a uno si m = n y cero en caso contrario. Afirmamos que si la secuencia es infinita, entonces converge débilmente a cero. Una prueba sencilla es la siguiente. Para x ∈ H , tenemos ${\displaystyle \delta _{mn}}$

${\displaystyle \sum _{n}|\langle e_{n},x\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}}$( Desigualdad de Bessel )

donde la igualdad se cumple cuando { e _n } es una base espacial de Hilbert. Por lo tanto

${\displaystyle |\langle e_{n},x\rangle |^{2}\rightarrow 0}$(dado que la serie anterior converge, su secuencia correspondiente debe llegar a cero)

es decir

${\displaystyle \langle e_{n},x\rangle \rightarrow 0.}$

Teorema de Banach-Saks

El teorema de Banach-Saks establece que toda secuencia acotada contiene una subsecuencia y un punto x tal que ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n_{k}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}x_{n_{k}}}$

converge fuertemente a x cuando N tiende al infinito.

Generalizaciones

La definición de convergencia débil puede extenderse a los espacios de Banach . Se dice que una secuencia de puntos en un espacio de Banach B converge débilmente a un punto x en B si para cualquier funcional lineal acotado definido en , es decir, para cualquiera en el espacio dual . Si es un espacio Lp en y , entonces cualquiera de ellos tiene la forma para algunos , donde está la medida en y son índices conjugados . ${\displaystyle (x_{n})}$ $${\displaystyle f(x_{n})\to f(x)}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle p<+\infty }$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x)=\int _{\Omega }x\,y\,d\mu }$$ ${\displaystyle y\in \,L^{q}(\Omega )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$

En el caso de que sea un espacio de Hilbert, entonces, según el teorema de representación de Riesz , para algunos en , se obtiene la definición de convergencia débil del espacio de Hilbert. ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle f(\cdot )=\langle \cdot ,y\rangle }$$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B}$

Ver también

• Topología dual
• Topologías de operadores : topologías en el conjunto de operadores en un espacio de Hilbert

Referencias