Lema de Riemann-Lebesgue

Teorema en el análisis armónico

En matemáticas , el lema de Riemann-Lebesgue , que lleva el nombre de Bernhard Riemann y Henri Lebesgue , establece que la transformada de Fourier o transformada de Laplace de una función L 1 se anula en el infinito . Es importante en el análisis armónico y el análisis asintótico .

Declaración

Sea una función integrable, es decir, es una función medible tal que ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle \|f\|_{L^{1}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|\mathrm {d} x<\infty ,}$

y sea la transformada de Fourier de , es decir ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ,\ \xi \mapsto \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\cdot \xi }\mathrm {d} x.}$

Luego desaparece en el infinito: como . ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|\to 0}$ ${\displaystyle |\xi |\to \infty }$

Como la transformada de Fourier de una función integrable es continua, la transformada de Fourier es una función continua que se anula en el infinito. Si denota el espacio vectorial de funciones continuas que se anulan en el infinito, el lema de Riemann-Lebesgue puede formularse de la siguiente manera: La transformada de Fourier se aplica a . ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$

Prueba

Nos centraremos en el caso unidimensional , la prueba en dimensiones superiores es similar. Primero, supongamos que es continua y está soportada de forma compacta . Para , la sustitución conduce a ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \xi \neq 0}$ ${\displaystyle \textstyle x\to x+{\frac {\pi }{\xi }}}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }f(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} }f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi }\mathrm {d} x=-\int _{\mathbb {R} }f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} x}$.

Esto nos da una segunda fórmula para . Tomando la media de ambas fórmulas, llegamos a la siguiente estimación: ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$

${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|\leq {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left|f(x)-f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)\right|\mathrm {d} x}$.

Como es continua, converge a como para todo . Por lo tanto, converge a 0 como debido al teorema de convergencia dominada . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left|f(x)-f\left(x+{\tfrac {\pi }{\xi }}\right)\right|}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |\xi |\to \infty }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|}$ ${\displaystyle |\xi |\to \infty }$

Si es una función integrable arbitraria, puede aproximarse en la norma mediante una función continua con soporte compacto. Para , elija una función continua con soporte compacto tal que . Entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \|f-g\|_{L^{1}}\leq \varepsilon }$

${\displaystyle \limsup _{\xi \rightarrow \pm \infty }|{\hat {f}}(\xi )|\leq \limsup _{\xi \to \pm \infty }\left|\int (f(x)-g(x))\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\,\mathrm {d} x\right|+\limsup _{\xi \rightarrow \pm \infty }\left|\int g(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\,\mathrm {d} x\right|\leq \varepsilon +0=\varepsilon .}$

Como esto es válido para cualquier , se deduce que como . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|\to 0}$ ${\displaystyle |\xi |\to \infty }$

Otras versiones

El lema de Riemann-Lebesgue se cumple en una variedad de otras situaciones.

• Si , entonces el lema de Riemann-Lebesgue también es válido para la transformada de Laplace de , es decir, ${\displaystyle f\in L^{1}[0,\infty )}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-tz}\mathrm {d} t\to 0}$

como dentro del semiplano . ${\displaystyle |z|\to \infty }$ ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)\geq 0}$

• También se aplica una versión para las series de Fourier : si es una función integrable en un intervalo acotado, entonces los coeficientes de Fourier de tienden a 0 cuando . Esto se logra extendiendo por cero fuera del intervalo y luego aplicando la versión del lema de Riemann-Lebesgue a toda la línea real. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k\to \pm \infty }$ ${\displaystyle f}$

• Sin embargo, el lema de Riemann-Lebesgue no se cumple para distribuciones arbitrarias. Por ejemplo, la distribución de la función delta de Dirac tiene formalmente una integral finita sobre la línea real, pero su transformada de Fourier es una constante y no se anula en el infinito.

Aplicaciones

El lema de Riemann-Lebesgue se puede utilizar para demostrar la validez de las aproximaciones asintóticas para integrales. Los tratamientos rigurosos del método del descenso más pronunciado y del método de la fase estacionaria , entre otros, se basan en el lema de Riemann-Lebesgue.

Referencias

• Bochner S. , Chandrasekharan K. (1949). Transformadas de Fourier . Princeton University Press.
• Weisstein, Eric W. "Lema de Riemann-Lebesgue". MathWorld .