Álgebra de Calkin

En análisis funcional , el álgebra de Calkin , que lleva el nombre de John Williams Calkin , ^[1] es el cociente de B ( H ), el anillo de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita H , por el ideal K ( H ) de operadores compactos . ^[2] Aquí la suma en B ( H ) es la suma de operadores y la multiplicación en B ( H ) es la composición de operadores; es fácil verificar que estas operaciones convierten a B ( H ) en un anillo. Cuando también se incluye la multiplicación escalar, B ( H ) se convierte de hecho en un álgebra sobre el mismo campo en el que H es un espacio de Hilbert.

Propiedades

• Dado que K ( H ) es un ideal máximo de norma cerrada en B ( H ), el álgebra de Calkin es simple . De hecho, K ( H ) es el único ideal cerrado en B ( H ).

• Como cociente de un álgebra C* por un ideal bilateral, el álgebra de Calkin es un álgebra C* en sí misma y existe una secuencia corta y exacta.

${\displaystyle 0\to K(H)\to B(H)\to B(H)/K(H)\to 0}$

que induce una secuencia exacta cíclica de seis términos en la teoría K. Los operadores en B ( H ) que se asignan a un elemento invertible del álgebra de Calkin se denominan operadores de Fredholm , y su índice se puede describir tanto utilizando la teoría K como directamente. Se puede concluir, por ejemplo, que la colección de operadores unitarios en el álgebra de Calkin consta de clases de homotopía indexadas por los números enteros Z. Esto contrasta con B ( H ), donde los operadores unitarios están conectados por caminos.

• Como álgebra C*, el álgebra de Calkin no es isomorfa a un álgebra de operadores en un espacio de Hilbert separable. La construcción de Gelfand-Naimark-Segal implica que el álgebra de Calkin es isomorfa a un álgebra de operadores en un espacio de Hilbert no separable, pero mientras que para muchas otras álgebras C* existen descripciones explícitas de tales espacios de Hilbert, el álgebra de Calkin no tiene una representación explícita. ^{[ cita necesaria ]}

• Se demuestra que la existencia de un automorfismo externo del álgebra de Calkin es independiente de ZFC , según el trabajo de Phillips, Weaver y Farah. ^{[3] [4]}

Generalizaciones

• Se puede definir un álgebra de Calkin para cualquier espacio de Hilbert complejo de dimensión infinita, no solo para los separables.

• Se puede hacer una construcción análoga reemplazando H con un espacio de Banach , que también se llama álgebra de Calkin. ^[5]

• El álgebra de Calkin es el álgebra de Corona del álgebra de operadores compactos en un espacio de Hilbert.

Referencias

1. "Una comunidad de académicos, el Instituto de estudios avanzados, profesores y miembros 1930-1980" (PDF) . ias.edu . Archivado desde el original (PDF) el 24 de noviembre de 2011 . Consultado el 17 de enero de 2020 .
2. Calkin, JW (1 de octubre de 1941). "Congruencias y ideales bilaterales en el anillo de operadores acotados en el espacio de Hilbert". Los Anales de las Matemáticas . 42 (4): 839.doi : 10.2307/1968771.
3. Phillips, N. Christopher; Weaver, Nik (1 de julio de 2007). "El álgebra de Calkin tiene automorfismos externos". Revista de Matemáticas de Duke . 139 (1): 185-202. arXiv : matemáticas/0606594 . doi :10.1215/S0012-7094-07-13915-2.
4. Farah, Ilijas (1 de marzo de 2011). "Todos los automorfismos del álgebra de Calkin son internos". Anales de Matemáticas . 173 (2): 619–661. arXiv : 0705.3085 . doi : 10.4007/annals.2011.173.2.1.
5. Appell, Jürgen (2005). "Medidas de no compacidad, operadores de condensación y puntos fijos: una encuesta orientada a la aplicación". Teoría del punto fijo . 6 (2): 157–229.