Operador subnormal

En matemáticas , especialmente en teoría de operadores , los operadores subnormales son operadores acotados en un espacio de Hilbert definido debilitando los requisitos de los operadores normales . ^[1] Algunos ejemplos de operadores subnormales son las isometrías y los operadores de Toeplitz con símbolos analíticos.

Definición

Sea H un espacio de Hilbert. Se dice que un operador acotado A en H es subnormal si A tiene una extensión normal . En otras palabras, A es subnormal si existe un espacio de Hilbert K tal que H pueda estar incluido en K y existe un operador normal N de la forma

${\displaystyle N={\begin{bmatrix}A&B\\0&C\end{bmatrix}}}$

para algunos operadores limitados

${\displaystyle B:H^{\perp }\rightarrow H,\quad {\mbox{and}}\quad C:H^{\perp }\rightarrow H^{\perp }.}$

Normalidad, cuasinormalidad y subnormalidad.

Operadores normales

Todo operador normal es subnormal por definición, pero lo contrario no es cierto en general. Se puede obtener una clase simple de ejemplos debilitando las propiedades de los operadores unitarios . Un operador unitario es una isometría con rango denso . Consideremos ahora una isometría A cuyo rango no es necesariamente denso. Un ejemplo concreto de ello es el desplazamiento unilateral , que no es normal. Pero A es subnormal y esto puede demostrarse explícitamente. Defina un operador U en

${\displaystyle H\oplus H}$

por

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}A&I-AA^{*}\\0&-A^{*}\end{bmatrix}}.}$

El cálculo directo muestra que U es unitario, por lo tanto , una extensión normal de A. El operador U se llama dilatación unitaria de la isometría A.

Operadores cuasinormales

Se dice que un operador A es cuasinormal si A conmuta con A*A . ^[2] Un operador normal es, por tanto, cuasinormal; lo contrario no es cierto. Un contraejemplo lo ofrece, como antes, el desplazamiento unilateral. Por tanto, la familia de operadores normales es un subconjunto adecuado de operadores cuasinormales y subnormales. Una pregunta natural es cómo se relacionan los operadores cuasinormales y subnormales.

Demostraremos que un operador cuasinormal es necesariamente subnormal pero no al revés. Por tanto, los operadores normales son una subfamilia propia de operadores cuasinormales, que a su vez están contenidos en los operadores subnormales. Para argumentar la afirmación de que un operador cuasinormal es subnormal, recuerde la siguiente propiedad de los operadores cuasinormales:

Hecho: Un operador acotado A es cuasinormal si y sólo si en su descomposición polar A = UP , la isometría parcial U y el operador positivo P conmutan. ^[3]

Dado un A cuasinormal , la idea es construir dilataciones para U y P de una manera lo suficientemente agradable como para que todo conmute. Supongamos por el momento que U es una isometría. Sea V la dilatación unitaria de U ,

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}U&I-UU^{*}\\0&-U^{*}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}U&D_{U^{*}}\\0&-U^{*}\end{bmatrix}}.}$

Definir

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}P&0\\0&P\end{bmatrix}}.}$

El operador N = VQ es claramente una extensión de A. Demostramos que es una extensión normal mediante cálculo directo. Unitaridad de V significa

${\displaystyle N^{*}N=QV^{*}VQ=Q^{2}={\begin{bmatrix}P^{2}&0\\0&P^{2}\end{bmatrix}}.}$

Por otro lado,

${\displaystyle NN^{*}={\begin{bmatrix}UP^{2}U^{*}+D_{U^{*}}P^{2}D_{U^{*}}&-D_{U^{*}}P^{2}U\\-U^{*}P^{2}D_{U^{*}}&U^{*}P^{2}U\end{bmatrix}}.}$

Debido a que UP = PU y P es autoadjunto, tenemos U*P = PU* y D _U* P = D _U* P . La comparación de entradas muestra que N es normal. Esto demuestra que la cuasinormalidad implica subnormalidad.

Para ver un contraejemplo que muestra que lo contrario no es cierto, considere nuevamente el desplazamiento unilateral A . El operador B = A + s para algunos escalares s sigue siendo subnormal. Pero si B es cuasinormal, un cálculo sencillo muestra que A*A = AA* , lo cual es una contradicción.

Extensión normal mínima

No unicidad de las extensiones normales.

Dado un operador subnormal A , su extensión normal B no es única. Por ejemplo, sea A el desplazamiento unilateral, en l ² ( N ). Una extensión normal es el desplazamiento bilateral B en l ² ( Z ) definido por

${\displaystyle B(\ldots ,a_{-1},{{\hat {a}}_{0}},a_{1},\ldots )=(\ldots ,{{\hat {a}}_{-1}},a_{0},a_{1},\ldots ),}$

donde ˆ denota la posición ceroésima. B se puede expresar en términos de la matriz del operador.

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}A&I-AA^{*}\\0&A^{*}\end{bmatrix}}.}$

Otra extensión normal viene dada por la dilatación unitaria B' de A definida anteriormente:

${\displaystyle B'={\begin{bmatrix}A&I-AA^{*}\\0&-A^{*}\end{bmatrix}}}$

cuya acción se describe por

${\displaystyle B'(\ldots ,a_{-2},a_{-1},{{\hat {a}}_{0}},a_{1},a_{2},\ldots )=(\ldots ,-a_{-2},{{\hat {a}}_{-1}},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ).}$

Minimalidad

Por tanto, estamos interesados ​​en la extensión normal que es, en cierto sentido, la más pequeña. Más precisamente, se dice que un operador normal B que actúa sobre un espacio de Hilbert K es una extensión mínima de un subnormal A si K' ⊂ K es un subespacio reductor de B y H ⊂ K' , entonces K' = K. (Un subespacio es un subespacio reductor de B si es invariante tanto bajo B como bajo B* ). ^[4]

Se puede demostrar que si dos operadores B ₁ y B ₂ son extensiones mínimas de K ₁ y K ₂ , respectivamente, entonces existe un operador unitario.

${\displaystyle U:K_{1}\rightarrow K_{2}.}$

Además, se cumple la siguiente relación entrelazada:

${\displaystyle UB_{1}=B_{2}U.\,}$

Esto se puede demostrar de manera constructiva. Considere el conjunto S formado por vectores de la siguiente forma:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i}=h_{0}+B_{1}^{*}h_{1}+(B_{1}^{*})^{2}h_{2}+\cdots +(B_{1}^{*})^{n}h_{n}\quad {\text{where}}\quad h_{i}\in H.}$

Sea K' ⊂ K ₁ el subespacio que es el cierre del tramo lineal de S . Por definición, K' es invariante bajo B ₁ * y contiene H . La normalidad de B ₁ y el supuesto de que H es invariante bajo B ₁ implican que K' es invariante bajo B ₁ . Por lo tanto, K' = K ₁ . El espacio de Hilbert K ₂ se puede identificar exactamente de la misma manera. Ahora definimos el operador U de la siguiente manera:

${\displaystyle U\sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i}=\sum _{i=0}^{n}(B_{2}^{*})^{i}h_{i}}$

Porque

${\displaystyle \left\langle \sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i},\sum _{j=0}^{n}(B_{1}^{*})^{j}h_{j}\right\rangle =\sum _{ij}\langle h_{i},(B_{1})^{i}(B_{1}^{*})^{j}h_{j}\rangle =\sum _{ij}\langle (B_{2})^{j}h_{i},(B_{2})^{i}h_{j}\rangle =\left\langle \sum _{i=0}^{n}(B_{2}^{*})^{i}h_{i},\sum _{j=0}^{n}(B_{2}^{*})^{j}h_{j}\right\rangle ,}$

, el operador U es unitario. El cálculo directo también muestra ( aquí se necesita la suposición de que tanto B ₁ como B ₂ son extensiones de A )

${\displaystyle {\text{if }}g=\sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i},}$

${\displaystyle {\text{then }}UB_{1}g=B_{2}Ug=\sum _{i=0}^{n}(B_{2}^{*})^{i}Ah_{i}.}$

Cuando no se supone que B ₁ y B ₂ sean mínimos, el mismo cálculo muestra que la afirmación anterior se cumple textualmente, siendo U una isometría parcial .

Referencias

1. John B. Conway (1991), "11", La teoría de los operadores subnormales, American Mathematical Soc., pág. 27, ISBN 978-0-8218-1536-6, recuperado el 15 de junio de 2017
2. John B. Conway (1991), "11", La teoría de los operadores subnormales, American Mathematical Soc., pág. 29, ISBN 978-0-8218-1536-6, recuperado el 15 de junio de 2017
3. John B. Conway; Robert F. Olin (1977), Un cálculo funcional para operadores subnormales II, American Mathematical Soc., pág. 51, ISBN 978-0-8218-2184-8, recuperado el 15 de junio de 2017
4. John B. Conway (1991), La teoría de los operadores subnormales, American Mathematical Soc., págs. 38–, ISBN 978-0-8218-1536-6, recuperado el 15 de junio de 2017