Rango de una función

Subconjunto del codominio de una función

${\displaystyle f}$es una función del dominio X al codominio Y. El óvalo amarillo dentro de Y es la imagen de . A veces, "rango" se refiere a la imagen y, a veces, al codominio. ${\displaystyle f}$

En matemáticas , el rango de una función puede referirse a cualquiera de dos conceptos estrechamente relacionados:

• el codominio de la función , o
• la imagen de la función.

En algunos casos, el codominio y la imagen de una función son el mismo conjunto; a esta función se la llama sobreyectiva o sobreyectiva . Para cualquier función no sobreyectiva, el codominio y la imagen son diferentes; sin embargo, se puede definir una nueva función con la imagen de la función original como su codominio, donde Esta nueva función es sobreyectiva. ${\displaystyle f:X\to Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\tilde {Y}}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}:X\to {\tilde {Y}}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)=f(x).}$

Definiciones

Dados dos conjuntos X e Y , una relación binaria f entre X e Y es una función (de X a Y ) si para cada elemento x en X hay exactamente un y en Y tal que f relaciona x con y . Los conjuntos X e Y se denominan dominio y codominio de f , respectivamente. La imagen de la función f es el subconjunto de Y que consiste únicamente en aquellos elementos y de Y tales que hay al menos un x en X con f ( x ) = y .

Uso

Como el término "rango" puede tener diferentes significados, se considera una buena práctica definirlo la primera vez que se utiliza en un libro de texto o artículo. Los libros más antiguos, cuando utilizan la palabra "rango", tienden a utilizarla para referirse a lo que ahora se denomina codominio . [ ^1] Los libros más modernos, si utilizan la palabra "rango", generalmente la utilizan para referirse a lo que ahora se denomina imagen . [ ^2] Para evitar cualquier confusión, varios libros modernos no utilizan la palabra "rango" en absoluto. ^[3]

Elaboración y ejemplo

Dada una función

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

con dominio , el rango de , a veces denotado como , ^[4] puede referirse al codominio o conjunto objetivo (es decir, el conjunto en el que se restringe que caiga toda la salida de ), o a , la imagen del dominio de bajo (es decir, el subconjunto de que consiste en todas las salidas reales de ). La imagen de una función es siempre un subconjunto del codominio de la función. ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {ran} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {Range} (f)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Como ejemplo de los dos usos diferentes, considere la función tal como se usa en el análisis real (es decir, como una función que ingresa un número real y obtiene como salida su cuadrado). En este caso, su codominio es el conjunto de números reales , pero su imagen es el conjunto de números reales no negativos , ya que nunca es negativo si es real. Para esta función, si usamos "rango" para referirnos al codominio , se refiere a ; si usamos "rango" para referirnos a la imagen , se refiere a . ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {\displaystyle \mathbb {R} ^{}} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

En algunas funciones, la imagen y el codominio coinciden; estas funciones se denominan sobreyectivas o sobreyectivas . Por ejemplo, considere la función que ingresa un número real y obtiene como salida su doble. Para esta función, tanto el codominio como la imagen son el conjunto de todos los números reales, por lo que la palabra rango no es ambigua. ${\displaystyle f(x)=2x,}$

Incluso en los casos en que la imagen y el codominio de una función son diferentes, se puede definir de forma única una nueva función con su codominio como imagen de la función original. Por ejemplo, como función de los números enteros a los números enteros, la función de duplicación no es sobreyectiva porque solo los números enteros pares forman parte de la imagen. Sin embargo, una nueva función cuyo dominio son los números enteros y cuyo codominio son los números enteros pares es sobreyectiva, ya que la palabra rango es inequívoca. ${\displaystyle f(n)=2n}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(n)=2n}$ ${\displaystyle {\tilde {f}},}$

Véase también

• Biyección, inyección y sobreyección
• Gama esencial

Notas y referencias

1. Hungerford 1974, pág. 3; Childs 2009, pág. 140.
2. Dummit y Foote 2004, pág. 2.
3. Rudin 1991, pág. 99.
4. Weisstein, Eric W. "Range". mathworld.wolfram.com . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
5. Nykamp, ​​Duane. "Definición de rango". Math Insight . Consultado el 28 de agosto de 2020 .

Bibliografía

• Childs, Lindsay N. (2009). Childs, Lindsay N. (ed.). Una introducción concreta al álgebra superior . Textos de pregrado en matemáticas (3.ª ed.). Springer. doi :10.1007/978-0-387-74725-5. ISBN 978-0-387-74527-5.OCLC 173498962  .
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.OCLC 52559229  .
• Hungerford, Thomas W. (1974). Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 73. Springer. doi :10.1007/978-1-4612-6101-8. ISBN. 0-387-90518-9.OCLC 703268  .
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional (2.ª ed.). McGraw Hill. ISBN 0-07-054236-8.